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Forum "Schul-Analysis" - Stetigkeit der Signum-Funktion
Stetigkeit der Signum-Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Stetigkeit der Signum-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Mo 16.01.2006
Autor: Micchecker

Aufgabe
Untersuchen sie die Signum-Funktion auf Stetigkeit.

Hi!

Ich bin im LK Mathe 12 Klasse. Habe folgende Aufgabe bekommen:

Untersuchen sie die Signum-Funktion auf Stetigkeit. Wie die definiert ist, wisst ihr wahrscheinlich.

Ich weiß das sie für x=0 unstetig ist und für x ungleich 0 stetig ist. Aber wie zeige ich das nun, bzw. wie untersuche ich auf Stetigkeit am Besten?

Wäre sehr dankbar für eure Hilfe!

Gruß

Johannes
        
Bezug
Stetigkeit der Signum-Funktion: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:24 Di 17.01.2006
Autor: Kuebi

Hallo du!

Wie Stetigkeit definiert ist, ist uns denke ich bekannt! ;-)

Eine Möglichkeit die Unstetigkeit der Funktion sgn(x) zu zeigen ist die Folgende, ich hoffe Sie ist dir bekannt oder du kannst etwas damit anfangen:

Da 0 ein Häufungspunkt der Menge [mm] \IR [/mm] ist und f: [mm] \IR \to \IR [/mm] gilt:

f ist stetig in 0  [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] = f(0).

Da aber aber f(0) = 0 und  [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] entweder -1 (linksseitig) oder 1 (rechtsseitig) ist, gilt die Implikation der Aussage von rechts nicht. Folglich ist sgn(x) unstetig bei x=0.

Für x > 0 ist sgn(x) eine konstante Fkt. und für x < 0 ebenfalls. Und konstante Funktionen sind stetig.

[mm] \Rightarrow [/mm] sgn(x) stetig für x  [mm] \not= [/mm] 0, ansonten stetig.

Dann hoffe ich dass diese Erklärung nicht über das Ziel hinausschießt!

Vlg, Kübi :-)


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