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| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die Funktionen im Punkt (0,0) stetig sind:
a) f(x,y)= [mm] \bruch{3x^2y-y^3}{x^2+y^2}, \mbox{für (x,y) \not= (0,0)} [/mm] und (0,0) sonst
b) [mm] f(x,y)=\bruch{sin(x^3+y^4)}{x^2+y^2}, \mbox{für (x,y) \not= (0,0)} [/mm] und (0,0) sonst
c) [mm] f(x,y)=\bruch{x^2y}{x^4+y^2}, \mbox{für (x,y) \not= (0,0)} [/mm] und (0,0) sonst
(es tut mir leid, die case-Schreibweise wollte er partout nicht annehmen) |
Auch das Thema stetigkeit ist gute 4 Jahre her. Ich muss denke ich zeigen, dass der Grenzwert der Funktion gegen den Funktionswert des gegebenen Punktes geht. Hier also, dass [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y) [/mm] gegen f(0,0) geht. Sollte für der Punkt (0,0) den Funktionswert 1 haben, so muss der Grenzwert dann gegen 1 gehen. Richtig?
Ich hab noch nie den Grenzwert von ner Funktion mit 2 unbekannten berechnet. Der Übungsleiter hatte hier die Polarkoordinaten eingesetzt und dann r gegen die Stelle laufen lassen. Kann man den Grenzwert mit 2 variablen auch anders berechnen?
a) [mm] x=r*cos\phi [/mm] ; [mm] y=r*sin\phi
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{3r^3cos^2\phi * sin\phi-r^3*sin^3\phi}{r^2})= [/mm] 0
es strebt gegen den wert und ist damit in dem Punkt stetig
[mm] b)\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{sin(r^3cos^3\phi + r^4sin^4\phi)}{r^2}) \le \limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{r^3cos^3\phi + r^4sin^4\phi}{r^2})=0
[/mm]
ist auch stetig in dem Punkt
c) [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{r^3cos^2\phi * sin\phi}{r^3(r*cos^4\phi + \bruch{sin^2\phi}{r})}) [/mm] = [mm] \bruch{cos^2\phi * sin\phi}{\infty}=\infty
[/mm]
die Funktion ist nicht stetig in (0,0). reicht das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Di 07.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Entscheiden Sie, ob die Funktionen im Punkt (0,0) stetig
> sind:
> a) f(x,y)= [mm]\bruch{3x^2y-y^3}{x^2+y^2}, \mbox{für (x,y) \not= (0,0)}[/mm]
> und (0,0) sonst
>
> b) [mm]f(x,y)=\bruch{sin(x^3+y^4)}{x^2+y^2}, \mbox{für (x,y) \not= (0,0)}[/mm]
> und (0,0) sonst
>
> c) [mm]f(x,y)=\bruch{x^2y}{x^4+y^2}, \mbox{für (x,y) \not= (0,0)}[/mm]
> und (0,0) sonst
>
> (es tut mir leid, die case-Schreibweise wollte er partout
> nicht annehmen)
> Auch das Thema stetigkeit ist gute 4 Jahre her.
Die Ausrede zieht nicht.
> Ich muss
> denke ich zeigen, dass der Grenzwert der Funktion gegen den
> Funktionswert des gegebenen Punktes geht. Hier also, dass
> [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)[/mm] gegen f(0,0) geht.
> Sollte für der Punkt (0,0) den Funktionswert 1 haben, so
> muss der Grenzwert dann gegen 1 gehen. Richtig?
>
> Ich hab noch nie den Grenzwert von ner Funktion mit 2
> unbekannten berechnet. Der Übungsleiter hatte hier die
> Polarkoordinaten eingesetzt und dann r gegen die Stelle
> laufen lassen. Kann man den Grenzwert mit 2 variablen auch
> anders berechnen?
>
> a) [mm]x=r*cos\phi[/mm] ; [mm]y=r*sin\phi[/mm]
> [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{3r^3cos^2\phi * sin\phi-r^3*sin^3\phi}{r^2})=[/mm]
> 0
>
> es strebt gegen den wert und ist damit in dem Punkt stetig
>
> [mm]b)\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{sin(r^3cos^3\phi + r^4sin^4\phi)}{r^2}) \le \limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{r^3cos^3\phi + r^4sin^4\phi}{r^2})=0[/mm]
>
> ist auch stetig in dem Punkt
>
> c) [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{r^3cos^2\phi * sin\phi}{r^3(r*cos^4\phi + \bruch{sin^2\phi}{r})})[/mm]
> = [mm]\bruch{cos^2\phi * sin\phi}{\infty}=\infty[/mm]
Bei c) müßtest du noch mal etwas in dich gehen. So stimmt die letzte Gleichung jedenfalls nicht. Und ist das von [mm] \phi [/mm] unabhängig?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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ok. erstmal: gäbe es einen anderen weg diese Art von Aufgaben ohne die Substitution zu lösen?
ich habe jetzt gelesen, dass [mm] \phi [/mm] für r=0 einen beliebigen Wert annehmen kann, der aber meist 0 gesetzt wird. dann hätte ich ja beim Grenzwert [mm] \bruch{0}{0+\infty} [/mm] stehen. klingt ja irgendwie nach l'hopital, aber ich wüsste nicht wie ich den hier einsetzen könnte...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 07.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo celeste!
Du hast Null Euro und sollst diese auf unendlich viele Leute verteilen.
Wieviel erhält jeder?
Gruß
Loddar
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nichts. damit wäre sie ja stetig. in der übung wurde aber durch ein Gegenbeispiel gezeigt dass sie nicht stetig ist...
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Hallo celeste16,
> nichts. damit wäre sie ja stetig. in der übung wurde aber
> durch ein Gegenbeispiel gezeigt dass sie nicht stetig
> ist...
Sprichst du von c)?
Wie ist denn der Funktionswert für [mm](x,y)=(0,0)[/mm] definiert?
[mm]f(0,0)=0[/mm], nehme ich an?
Mit der Umrechnung in Polarkoordinaten und der Einsicht, dass das nicht unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] gegen [mm]f(0,0)[/mm] strebt, kommt man auf die Idee, die Stetigkeit zu widerlegen.
Was liegt da näher, als das Folgenkriterium zu bemühen?
Es genügt eine einzige Folge [mm](x_n,y_n)[/mm] anzugeben, die gegen [mm](0,0)[/mm] strebt, wo aber [mm]f(x_n,y_n)[/mm] nicht gegen [mm]f(0,0)[/mm] konvergiert.
Aufgrund des gegebenen Funktionsterms und der Potenzen kommt man doch durch etwas Bastelei schnell zu etwa:
[mm](x_n,y_n)=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)[/mm]
Das Ding geht für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm](0,0)[/mm].
Was treibt [mm]f(x_n,y_n)[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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ich erhhalte [mm] limn^2 [/mm] also gegen unendlich.
aber wie soll ich loddars und statlers kommentar bewerten? worauf wollten sie eigentlich hinaus?
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Hallo nochmal,
> ich erhhalte [mm]limn^2[/mm] also gegen unendlich.
???
Rechne vor! Ich komme auf [mm] $\frac{1}{2}$
[/mm]
Aber ich wiederhole die Frage:
Wie sind in a) bis c) die Funktionen in $(0,0)$ definiert?
$f(0,0)=?????$
>
> aber wie soll ich loddars und statlers kommentar bewerten?
> worauf wollten sie eigentlich hinaus?
Das sollen sie dir beantworten 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 Mi 08.12.2010 | | Autor: | celeste16 |
hab für das untere [mm] y^2 [/mm] nur [mm] 1/n^2 [/mm] eingesetzt gehabt. nochmal mit besserer Konzentration und ich schließe mich dir an.
ja, f(0,0) sollte je = 0 sein.
ich danke dir :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Mi 08.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> aber wie soll ich loddars und statlers kommentar bewerten?
> worauf wollten sie eigentlich hinaus?
Ich wollte auf folgende Bem. von schachuzipus hinaus:
Mit der Umrechnung in Polarkoordinaten und der Einsicht, dass das nicht unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] gegen [mm]f(0,0)[/mm] strebt, kommt man auf die Idee, die Stetigkeit zu widerlegen.
Die Abschätzung ist eben nicht unabh. von [mm] \phi.
[/mm]
Gruß
Dieter
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