Stetigkeit bei 2 Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f(x,y)=\bruch{x^2+y^2}{2(x+y)} [/mm] |
Hallo,
obige Funktion soll auf eine mögliche stetige Ergänzung untersucht werden.
Also sage ich:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)
[/mm]
einmal mit y=0 und x->0 und umgekehrt
Beide male kommt 0 raus. Jetzt sagt mir das aber dummerweise noch nichts aus. Ich kann doch jetzt schlecht sämtliche Möglichkeiten überprüfen. Wie komme ich denn hier weiter?
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> [mm]f(x,y)=\bruch{x^2+y^2}{2(x+y)}[/mm]
> Hallo,
> obige Funktion soll auf eine mögliche stetige Ergänzung
> untersucht werden.
> Also sage ich:
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)[/mm]
> einmal mit y=0 und x->0 und umgekehrt
> Beide male kommt 0 raus. Jetzt sagt mir das aber
> dummerweise noch nichts aus. Ich kann doch jetzt schlecht
> sämtliche Möglichkeiten überprüfen. Wie komme ich denn
> hier weiter?
Guten Abend,
zuerst mal nur eine vorläufige Bemerkung:
Du solltest hier wohl nicht nur den speziellen Punkt mit
x=0 und y=0 ins Auge fassen, sondern die gesamte
Gerade, entlang welcher die gegebene Funktion nicht
definiert ist !
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Sa 31.10.2015 | | Autor: | Fl4shM4k3r |
Bitte einfach ignorieren. Ich habe nicht gemerkt das es weitere Antworten gibt...
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> [mm]f(x,y)=\bruch{x^2+y^2}{2(x+y)}[/mm]
> Hallo,
> obige Funktion soll auf eine mögliche stetige Ergänzung
> untersucht werden.
> Also sage ich:
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)[/mm]
> einmal mit y=0 und x->0 und umgekehrt
> Beide male kommt 0 raus. Jetzt sagt mir das aber
> dummerweise noch nichts aus. Ich kann doch jetzt schlecht
> sämtliche Möglichkeiten überprüfen. Wie komme ich denn
> hier weiter?
Hallo,
hier bin ich noch einmal. Die vorliegende Funktion f ist
in ganz [mm] $\IR^2\ \smallsetminus\ [/mm] G$ definiert und stetig , wo G die Gerade
mit der Gleichung x+y=0 ist (das ist recht leicht zu zeigen).
Du hast (vermutlich) schon gesehen, dass man f durch die
ergänzende Definition f(0,0):=0 auch im Nullpunkt mit
x=y=0 stetig machen könnte.
Zeige nun noch, dass eine solche stetige Ergänzung in
keinem anderen Punkt von G außer eben genau in (0,0)
möglich ist.
Der Definitionsbereich der so neu konstruierten Funktion ist
dann zwar zusammenhängend, aber eben an der kritischen
Stelle nur durch eine seeehr schmale Brücke, die nur aus einem
einzigen Punkt besteht ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Sa 31.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
in der Nähe eines Punktes (x,-x) mit x [mm] \ne [/mm] 0 wird f saumäßig groß.
In der Nähe von (0,0) jedoch nicht.
Fred
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> in der Nähe eines Punktes (x,-x) mit x [mm]\ne[/mm] 0 wird f
> saumäßig groß.
Das nenn' ich mal 'ne ansauliche Besreibung eines
matematisen Begriffs !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Sa 31.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
> > in der Nähe eines Punktes (x,-x) mit x [mm]\ne[/mm] 0 wird f
> > saumäßig groß.
>
> Das nenn' ich mal 'ne ansauliche Besreibung eines
> matematisen Begriffs !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Sa 31.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> > in der Nähe eines Punktes (x,-x) mit x [mm]\ne[/mm] 0 wird f
> > saumäßig groß.
>
> Das nenn' ich mal 'ne ansauliche Besreibung eines
> matematisen Begriffs !
Nicht eines Begriffs, sondern einer Sisswassion
Freed
Freeed
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Ok gut die Gerade ist mir klar. Nur komme ich mit dem Grenzwert nicht zurecht.
Wenn ich y=-1 setze und dann x gegen 1 laufen lasse:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2+1}{2(x-1)}
[/mm]
Das ergibt aber immernoch Käse und ich sehe jetz nichts was ich helfend umformen könnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Sa 31.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ok gut die Gerade ist mir klar. Nur komme ich mit dem
> Grenzwert nicht zurecht.
> Wenn ich y=-1 setze und dann x gegen 1 laufen lasse:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2+1}{2(x-1)}[/mm]
x gegen 1 und das Ding wird groß. Hab ich Dir aber schon gesagt
Fred
> Das ergibt
> aber immernoch Käse und ich sehe jetz nichts was ich
> helfend umformen könnte.
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Tut mir leid das ichs nicht begriffen hatte.
Ein neuer Tag, ein frisches Hirn und es klappt.
Danke!
Jetzt hat meine Dozentin Lösungen verteilt. Ihr Ansatz bei der Aufgabe: [mm] y=1-e^x [/mm] und x->0
Wie kommt sie denn bitte darauf??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mo 02.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Tut mir leid das ichs nicht begriffen hatte.
> Ein neuer Tag, ein frisches Hirn und es klappt.
> Danke!
>
> Jetzt hat meine Dozentin Lösungen verteilt. Ihr Ansatz bei
> der Aufgabe: [mm]y=1-e^x[/mm] und x->0
> Wie kommt sie denn bitte darauf??
Keine Ahnung. Vor allem ist mir nicht klar, was Deine Dozentin mit dieser Wahl bezweckt, denn der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x,1-e^x)
[/mm]
existiert.
FRED
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> Keine Ahnung. Vor allem ist mir nicht klar, was Deine
> Dozentin mit dieser Wahl bezweckt, denn der Grenzwert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,1-e^x)[/mm]
>
> existiert.
Ja, er existiert, aber er ist nicht gleich 0 , sondern -2 .
Und für eine allfällige Ergänzung der gegebenen Funktion
f würde man wohl doch am ehesten zu f(0,0):=0
greifen (weil man bei Annäherung entlang einer der
Koordinatenachse zu diesem Grenzwert kommt).
Die Annäherung an (0,0) entlang [mm] (t,1-e^t) [/mm] für [mm] t\to0 [/mm] ist
nun offenbar ein "Schleichweg", der aufzeigt, dass man
nicht bei beliebiger Annäherung an (0,0) auf einen
einheitlichen Grenzwert kommen kann.
Damit wird klar, dass man die Funktion f an der Stelle (0,0)
durch keine Festlegung eines Wertes k für f(0,0) zu einer
in diesem Punkt stetigen Funktion ergänzen kann.
LG , Al-Chw.
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Hallo,
meine Idee war es, mit dem Folgenkriterium an die Sache heranzugehen.
Es geht um die Punkte [mm](x_0,-x_0)[/mm], in denen [mm]f[/mm] nicht definiert ist.
Nehmen wir an, [mm](x_0,-x_0)\neq (0,0)[/mm] und wählen die Folge
[mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}=\left(x_0+\frac{1}{n},-x_0+\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm]
Die strebt für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm](x_0,-x_0)[/mm]
Was macht aber [mm]f(x_n,y_n)[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]? Das haut ab gegen [mm]\infty[/mm] (nachrechnen)
Also kann [mm]f[/mm] in den untersuchten Punkten nicht stetig ergänzt werden ...
Gruß
schachuzipus
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