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| Aufgabe | | Sei f : R [mm] \to [/mm] R eine stetige Funktion und sei x [mm] \in [/mm] R mit f(x) > 0. Zeigen Sie, dass dann ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert, so dass f(y) > 0 ist für alle y 2]x − [mm] \delta, [/mm] x + [mm] \delta[. [/mm] |
Jetzt habe ich aufgeschrieben:
f(x)>0 also auch f(x)/4= [mm] \varepsilon>0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)|< [mm] \bruch{f(x)}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x)-f(y)<|f(x)-f(y)|< [mm] \bruch{f(x)}{4} \forall [/mm] y [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] |x-y|<\delta
[/mm]
So und jetzt weiss ich nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo,
> Sei f : R [mm]\to[/mm] R eine stetige Funktion und sei x [mm]\in[/mm] R mit
> f(x) > 0. Zeigen Sie, dass dann ein [mm]\delta[/mm] > 0 existiert,
> so dass f(y) > 0 ist für alle y 2]x − [mm]\delta,[/mm] x +
> [mm]\delta[.[/mm]
> f(x)>0 also auch f(x)/4= $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ |f(x)-f(y)|< $ [mm] \bruch{f(x)}{4} [/mm] $
Der Implikationspfeil macht wenig Sinn, wenn du keine Bedingung daran knüpfst. Die Aussage [mm] $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ [/mm] gilt nämlich nur für y in einer gewissen [mm] \delta [/mm] Umgebung, die du aber noch finden musst.
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f(x)-f(y)<|f(x)-f(y)|< $ [mm] \bruch{f(x)}{4} \forall [/mm] $ y $ [mm] \in \IR [/mm] > $ mit $ [mm] |x-y|<\delta [/mm] $
Die linke Abschätzung müsste mit [mm] \leq [/mm] angegeben werden.
Der Beweis ist sehr kurz, deswegen gebe ich ihn an dieser Stelle schon. Du kannst ihn ja noch ausschmücken:
Wähle [mm] $\varepsilon$ [/mm] mit [mm] $0<\varepsilon
Wegen Stetigkeit gibt es auch zu diesem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] $\delta>0$, [/mm] sodass [mm] $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $|x-y|<\delta$. [/mm] Das ist gerade die Stetigkeitseigenschaft mit dem [mm] $\varepsilon-\delta-$Kriterium.
[/mm]
Das heißt aber, dass f(y) in der [mm] $\varepsilon-$Umgebung [/mm] von f(x) liegt, falls [mm] $|x-y|<\delta$. [/mm] In dieser Umgebung liegen wegen der Wahl von [mm] \varepsilon [/mm] jedoch nur positive Zahlen. Also ist f(y) auch positiv.
Damit ist ein [mm] \delta [/mm] gefunden, dass die Forderung erfüllt.
Gruß
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Das heißt aber, dass f(y) in der $ [mm] \varepsilon- [/mm] $Umgebung von f(x) liegt, falls $ [mm] |x-y|<\delta [/mm] $. In dieser Umgebung liegen wegen der Wahl von $ [mm] \varepsilon [/mm] $ jedoch nur positive Zahlen.
Das rote ist mir nicht klar, kann man mir das bitte erläutern?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mi 16.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt aber, dass f(y) in der [mm]\varepsilon- [/mm]Umgebung von
> f(x) liegt, falls [mm]|x-y|<\delta [/mm]. In dieser Umgebung liegen
> wegen der Wahl von [mm]\varepsilon[/mm] jedoch nur positive Zahlen.
>
> Das rote ist mir nicht klar, kann man mir das bitte
> erläutern?
Wegen
$|f(y)-f(x)| < [mm] \varepsilon= \bruch{f(x)}{4}$
[/mm]
ist
$- [mm] \bruch{f(x)}{4}< [/mm] f(y)-f(x)$
also
$0< [mm] \bruch{3}{4}f(x)
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mi 16.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Eine Alternative:
Nimm an, ein solches [mm] \delta [/mm] gäbe es nicht. Dann gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] x_n [/mm] mit [mm] $|x-x_n<1/n$ [/mm] und [mm] f(x_n) \le [/mm] 0.
Die Folge [mm] (x_n) [/mm] strebt also gegen x. Da f in x stetig ist, folgt: [mm] f(x_n) \to [/mm] f(x).
Wegen [mm] f(x_n) \le [/mm] 0 für jedes n, ergibt dies den Widerspruch f(x) [mm] \le [/mm] 0
FRED
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