Stetigkeit Verständnis < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Sa 06.02.2010 | | Autor: | hoffmans |
| Aufgabe | Beh: [mm] g:\IQ \to \IR
[/mm]
[mm] x\mapsto [/mm] g(x)= \ (0 für |x|< [mm] \wurzel{2} [/mm] und 0 für |x|> [mm] \wurzel{2}
[/mm]
ist stetig!
Beweis mit Folgenkriterium und Epsilon-Delta-Kriterium |
So mein Problem, bisher dachte ich das nur durchzeichenbare Funktionen stetig wären.
Daher verstehe ich nicht warum g stetig sein soll.
Desweiteren mache ich hier irgendwo einen denkfehler,
Sei Epsilon=0,5
So gibt es ein Delta, so dass |g(x)-g(p)|<0,5 für alle x element aus [mm] \IQ [/mm] mit |x-p|<Delta.
Gehe ich jetzt mit p von links in die nahe Umgebung von [mm] \wurzel{2},
[/mm]
so gibt es kein Delta für Epsilon =0,5 . Da meine x ja rechts von Wurzel2 und links von Wurzel2 kommen dürfen.
Aber dann wäre g ja nicht stetig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Sa 06.02.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich kann die Aufgabenstellung nicht verstehen. Benutze doch den Formel Editor.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Sa 06.02.2010 | | Autor: | hoffmans |
Sorry kleiner tippfehler:
Die Funktion soll 0 sein für [mm] |x|<\wurzel{2}
[/mm]
1 sein für [mm] |x|>\wurzel{2}
[/mm]
Eigene Rechnung:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] =0,5.
Sei p=1,5 (also größer [mm] (\wurzel{2}).
[/mm]
So gilt falls g stetig: [mm] |g(x)-g(p)|=|g(x)-1|<\varepsilon=0,5 [/mm]
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IQ [/mm] mit |x-1,5|< [mm] \delta.
[/mm]
Jetzt gilt ja nur stetigkeit für die Menge an x rechts von [mm] \wurzel{2}, [/mm] aber es gibt keine x links von [mm] \wurzel{2} [/mm] so dass [mm] |g(x)-g(p)|=|g(x)-1|<\varepsilon=0,5. [/mm]
z.Bsp. [mm] |g(1,4)-1|=|0-1|=1<\varepsilon=0,5
[/mm]
Widerspruch!
Daher ist die Fkt. nicht stetig.
Aus der Übung weiss ich aber das diese fkt. stetig ist.
Warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sorry kleiner tippfehler:
> Die Funktion soll 0 sein für [mm]|x|<\wurzel{2}[/mm]
> 1 sein für [mm]|x|>\wurzel{2}[/mm]
>
> Eigene Rechnung:
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] =0,5.
Erstens - das gilt für die Bildpunkte - das [m]\delta[/m] ist abhängig von der Wahl!
> Sei p=1,5 (also größer [mm](\wurzel{2}).[/mm]
> So gilt falls g stetig:
> [mm]|g(x)-g(p)|=|g(x)-1|<\varepsilon=0,5[/mm]
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IQ[/mm] mit |x-1,5|< [mm]\delta.[/mm]
Tja, und was ist dies [m]\delta[/m]? Wie wär's denn hier mal mit [m]\delta=0.000001[/m]?!
> Jetzt gilt ja nur stetigkeit für die Menge an x rechts von
> [mm]\wurzel{2},[/mm] aber es gibt keine x links von [mm]\wurzel{2}[/mm] so
> dass [mm]|g(x)-g(p)|=|g(x)-1|<\varepsilon=0,5.[/mm]
Muss es auch nicht geben - was du forderst, ist auch für stetige Funktionen nicht erfüllbar - du verlangsta (!) [mm] 8m]\delta=\varepsilon[/m], [/mm] damit ist dann [m]x\mapsto x^2[/m] auch nciht mehr stetig (!!).
> z.Bsp. [mm]|g(1,4)-1|=|0-1|=1<\varepsilon=0,5[/mm]
> Widerspruch!
> Daher ist die Fkt. nicht stetig.
Galt denn nun [m]|1,5-1,4|<\delta[/m]? Nicht mit meinem, also ...
> Aus der Übung weiss ich aber das diese fkt. stetig ist.
> Warum?
Weil man es beweist. Puh. Sie ist stetig, weil sie in allen definierten Punkten stetig ist.
Nun müsste sich eine lange philosophisch historische Debatte angliedern über die Entstehung der Analysis, den Kontinuumsbegriff und die verschiedenen Begriffsbildungen.
Um es kurz zu machen: ohne Absetzen zu zeichnen ist eine extremst große Vereinfachung (die eh meist nicht stimmt, stückweise linear ist da sogar eher dran. Es gibt surjektive stetige Abbildungen vom Einheistinterval in den Würfel - viel Spaß beim Zeichnen; die hat auch "unendliche Länge"), und das die Funktion stetig ist zeigt eben, dass [m]\IQ[/m] ziemlich unvollständig ist, und man daher (auch für die Vorstellung) [m]\IR[/m] braucht - da würde so etwas nicht passieren. Das wird in Büchern wie "Zahlen" oder "Die rellen Zahlen" von Deiser sehr breit getreten - falls es dich interssiert.
SEcki
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