Stetigkeit Vereinigung Interva < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Do 25.11.2010 | | Autor: | Roccoco |
| Aufgabe | a)Es sei [mm] D\subset \IR [/mm] die Vereinigung zweier offener Intervalle (a,b) und (c,d). Es sei [mm] f:D\to\IR [/mm] eine Funktion. Zeigen Sie, wenn die Einschränkung von f auf (a,b) stetig ist und wenn die Einschränkung von f auf (c,d) stetig ist, dann ist auch f stetig auf ganz D.
b.) Es sei nun D [mm] \subset \IR [/mm] die Vereinigung zweier Intervalle (a,b) und [c,d). Es sei [mm] f:D\to\IR [/mm] eine Funktion, so dass die Einschränkung von f auf (a,b) stetig ist, und so dass die Einschränkung von f auf [c,d) stetig ist. Folgt daraus, dass f notwendigerweise stetig auf ganz D ist? |
Hallo!
Also ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen und habe mir folgendes überlegt:
Wenn zum Beispiel [mm] (c,d)\subset [/mm] (a,b) dann ist ja f stetig auf der Vereinigung von (a,b) und (c,d) oder? darf man das so einfach verallgemeinern? wenn die Intervalle disjunkt sind hmm gibts auch kein Problem, da sie offen sind. Ich weiß nicht so recht wie man das mathematisch verpackt...bin noch etwas ungeschickt :-/
bei der Aufgabe b bin ich der Meinung dass die Vereinigung nicht notwendig stetig ist. Ein Gegenbeispiel (ich hoffe ich mach keinen Blödsinn) wäre die Abrundungsfunktion einmal auf dem Intervall (1,2) und einmal auf [2,3) wobei b=c gewählt wird???
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Grüße
Roccoco
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Fr 26.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> a)Es sei [mm]D\subset \IR[/mm] die Vereinigung zweier offener
> Intervalle (a,b) und (c,d). Es sei [mm]f:D\to\IR[/mm] eine Funktion.
> Zeigen Sie, wenn die Einschränkung von f auf (a,b) stetig
> ist und wenn die Einschränkung von f auf (c,d) stetig ist,
> dann ist auch f stetig auf ganz D.
> b.) Es sei nun D [mm]\subset \IR[/mm] die Vereinigung zweier
> Intervalle (a,b) und [c,d). Es sei [mm]f:D\to\IR[/mm] eine Funktion,
> so dass die Einschränkung von f auf (a,b) stetig ist, und
> so dass die Einschränkung von f auf [c,d) stetig ist.
> Folgt daraus, dass f notwendigerweise stetig auf ganz D
> ist?
> Hallo!
> Also ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen und habe
> mir folgendes überlegt:
> Wenn zum Beispiel [mm](c,d)\subset[/mm] (a,b) dann ist ja f stetig
> auf der Vereinigung von (a,b) und (c,d) oder? darf man das
> so einfach verallgemeinern? wenn die Intervalle disjunkt
> sind hmm gibts auch kein Problem, da sie offen sind. Ich
> weiß nicht so recht wie man das mathematisch
> verpackt...bin noch etwas ungeschickt :-/
Sei [mm] x_0 \in (a,b)\cup [/mm] (c,d) und [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in [mm] (a,b)\cup [/mm] (c,d) mit [mm] x_n \to x_0
[/mm]
Zu zeigen ist : [mm] f(x_n) \to f(x_0):
[/mm]
Fall 1: [mm] x_0 \in [/mm] (a,b). Da (a,b) offen ist, gibt es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit: [mm] x_n \in [/mm] (a,b) für alle n [mm] \ge n_0. [/mm] Da f in(a,b) stetig ist, folgt : [mm] f(x_n) \to f(x_0)
[/mm]
Fall 2: [mm] x_0 \in [/mm] (c,d). Mach Du mal.
> bei der Aufgabe b bin ich der Meinung dass die Vereinigung
> nicht notwendig stetig ist. Ein Gegenbeispiel (ich hoffe
> ich mach keinen Blödsinn) wäre die Abrundungsfunktion
> einmal auf dem Intervall (1,2) und einmal auf [2,3) wobei
> b=c gewählt wird???
Schönes Beispiel
FRED
>
> Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
>
> Grüße
> Roccoco
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Roccoco |
Hallo Fred,
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> Sei [mm]x_0 \in (a,b)\cup[/mm] (c,d) und [mm](x_n)[/mm] eine Folge in
> [mm](a,b)\cup[/mm] (c,d) mit [mm]x_n \to x_0[/mm]
>
> Zu zeigen ist : [mm]f(x_n) \to f(x_0):[/mm]
>
> Fall 1: [mm]x_0 \in[/mm] (a,b). Da (a,b) offen ist, gibt es ein [mm]n_0 \in \IN[/mm]
> mit: [mm]x_n \in[/mm] (a,b) für alle n [mm]\ge n_0.[/mm] Da f in(a,b) stetig
> ist, folgt : [mm]f(x_n) \to f(x_0)[/mm]
>
> Fall 2: [mm]x_0 \in[/mm] (c,d). Mach Du mal.
Der 2. Fall folgt ja dann ziemlich analog, weil es ja im Prinzip das gleiche ist, also:
[mm] x_0\in [/mm] (c,d)
da (c,d) offen ist, gibt es ein [mm] n_0\in\IN [/mm] mit: [mm] x_n\in [/mm] (c,d) für alle [mm] n\ge n_0. [/mm] Da f stetig auf (c,d) ist, folgt: [mm] f(x_n)\to f(x_0)
[/mm]
Aber wie folgert man jetzt, dass es auch stetig auf der Vereinnigung ist?
Kann man nicht einfach sagen:
[mm] x_0\in (a,b)\cup(c,d) [/mm] die Vereinigung offener mengen ist wieder offen und deswegen gibt es ein [mm] n_0\in \IN [/mm] mit [mm] x_n\in (a,b)\cup(c,d) [/mm] für alle [mm] n\ge n_0 [/mm] ... hier komme ich leider nicht weiter :(
Danke für deine Hilfe!
Grüße
Roccoco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Fr 26.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir haben doch gezeigt:
Für jedes $ [mm] x_0 \in (a,b)\cup [/mm] (c,d)$ und jede Folge $ [mm] (x_n) [/mm] $ in $ [mm] (a,b)\cup [/mm] (c,d)$ mit $ [mm] x_n \to x_0 [/mm] $ gilt:
$ [mm] f(x_n) \to f(x_0) [/mm] $
Was willst Du mehr ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Roccoco |
Oh ja schon fertig ;)
Danke für deine Hilfe Fred.
Beste Grüße
Roccoco
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