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| Aufgabe | Ich möchte zeigen, dass k: [mm] \IR \times [/mm] [0,1] -> [mm] \IR [/mm]
k(x,y)=sin(x-y) stetig und partiell lipschitzt stetig ist d.h:
[mm] |k(x_1 [/mm] , y) - [mm] k(x_2 [/mm] , y)| [mm] \le [/mm] | [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2| \forall x_1 [/mm] , [mm] x_2 \in \IR, [/mm] y [mm] \in [/mm] [0,1] |
Hallo
[mm] |k(x_1 [/mm] , y) - [mm] k(x_2 [/mm] , y)| = | [mm] sin(x_1-y)-sin(x_2 [/mm] -y)| [mm] \le |(x_1 [/mm] -y) [mm] -(x_2-y)| \le |(x_1 -x_2)|
[/mm]
zweite Ungleichheit folgt aus Mittelwertsatz. und beschränktheit des Cosinus.
Wie zeige ich aber dass k(x,y) stetig in beiden variablen ist? Macht man das auf einmal oder zeigt man dies einzeln für beide variablen?
Wenn man es einzeln zeigt, könnte man das leicht mit lipschitzt stetigkeit machen analog wie oben. Aber ist dass denn richtig so vorzugehen?
lg
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Hallo,
> Ich möchte zeigen, dass k: [mm]\IR \times[/mm] [0,1] -> [mm]\IR[/mm]
> k(x,y)=sin(x-y) stetig und partiell lipschitzt stetig ist
> d.h:
> [mm]|k(x_1[/mm] , y) - [mm]k(x_2[/mm] , y)| [mm]\le[/mm] | [mm]x_1[/mm] - [mm]x_2| \forall x_1[/mm] ,
> [mm]x_2 \in \IR,[/mm] y [mm]\in[/mm] [0,1]
Zum Beweis der partiellen L-Stetigkeit:
> [mm]|k(x_1[/mm] , y) - [mm]k(x_2[/mm] , y)| = | [mm]sin(x_1-y)-sin(x_2[/mm] -y)| [mm]\le |(x_1[/mm]
> -y) [mm]-(x_2-y)| \le |(x_1 -x_2)|[/mm]
>
> zweite Ungleichheit folgt aus Mittelwertsatz. und
> beschränktheit des Cosinus.
Sieht gut aus.
> Wie zeige ich aber dass k(x,y) stetig in beiden variablen
> ist? Macht man das auf einmal oder zeigt man dies einzeln
> für beide variablen?
Du musst es für beide Variablen auf einmal zeigen. Wenn du es nur "partiell" zeigst, also für jede Variable einzeln (und die andere bleibt fest), dann hast du nur partielle Stetigkeit gezeigt.
Aber Stetigkeit zu zeigen ist nicht schwer: Du kennst doch die üblichen Regeln: Komposition und Differenz von stetigen Funktionen sind stetig.
Du hast hier eine Funktion vorliegen, die Differenz und Komposition der stetigen Funktionen [mm] $\sin:\IR \to \IR$, $p_1:\IR^2 \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x$, [mm] $p_2:\IR^2 \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] y$ ist.
Die Abbildungen [mm] $p_1,p_2$ [/mm] sind dabei die Projektionen und sozusagen per Def. stetig (das kann man aber natürlich SEHR leicht nachrechnen).
Viele Grüße,
Stefan
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Vielen dank dafür, aber wozu brauchst du denn die projektionen in dem Zusammenhang?
LG
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Hallo,
> Vielen dank dafür, aber wozu brauchst du denn die
> projektionen in dem Zusammenhang?
Na die brauchst du, um "Zugriff" auf die einzelnen x und y zu bekommen. Jetzt gilt mit deiner Funktion f(x,y) = [mm] \sin(x-y):
[/mm]
$f = [mm] \sin \circ (p_1 [/mm] - [mm] p_2)$
[/mm]
Damit hast du f als Komposition und Differenz von stetigen Funktionen dargestellt.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Di 09.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich möchte zeigen, dass k: [mm]\IR \times[/mm] [0,1] -> [mm]\IR[/mm]
> k(x,y)=sin(x-y) stetig und partiell lipschitzt stetig ist
> d.h:
> [mm]|k(x_1[/mm] , y) - [mm]k(x_2[/mm] , y)| [mm]\le[/mm] | [mm]x_1[/mm] - [mm]x_2| \forall x_1[/mm] ,
> [mm]x_2 \in \IR,[/mm] y [mm]\in[/mm] [0,1]
> Hallo
> [mm]|k(x_1[/mm] , y) - [mm]k(x_2[/mm] , y)| = | [mm]sin(x_1-y)-sin(x_2[/mm] -y)| [mm]\le |(x_1[/mm]
> -y) [mm]-(x_2-y)| \le |(x_1 -x_2)|[/mm]
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> zweite Ungleichheit folgt aus Mittelwertsatz. und
> beschränktheit des Cosinus.
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> Wie zeige ich aber dass k(x,y) stetig in beiden variablen
> ist? Macht man das auf einmal oder zeigt man dies einzeln
> für beide variablen?
> Wenn man es einzeln zeigt, könnte man das leicht mit
> lipschitzt stetigkeit machen analog wie oben. Aber ist dass
> denn richtig so vorzugehen?
nein.
Sei [mm] D=\IR [/mm] x [0,1].
Sei [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] D und [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine Folge in D mit [mm] (x_n,y_n) \to (x_0,y_0).
[/mm]
Zeige nun:
[mm] k(x_n,y_n) \to k(x_0,y_0).
[/mm]
Verwende dabei: [mm] (x_n,y_n) \to (x_0,y_0) \gdw x_n \to x_0 [/mm] und [mm] y_n \to y_0
[/mm]
FRED
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> lg
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