Stetigkeit R^2 -> R < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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An welchen Punkten ist die folgende Funktion f: /IR^{2} /to /IR (Edit Marcel: Fehlerhafter Code!)
$f: [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] (Edit Marcel: Richtig: $f: \IR^2 \to \IR$)
stetig?
$$f(x,y) [mm] =\begin{cases} \bruch{\sin(xy)}{xy^{2}}, & \mbox{für } x \not= 0,\; y \not= 0\\\tfrac{1}{y}, &\mbox{für }x=0,\;y \not=0 \\\tfrac{1}{x}, &\mbox{für }x\not=0,\;y=0\\0,&\mbox{für }x=y=0\end{cases}$$
[/mm]
Hallo,
leider hab ich die schöne geschweifte Klammer hinter dem f(x,y) nicht hinbekommen, hoffe aber man versteht trotzdem alles. Warum in der ersten Zeile die Menge R nicht funktioniert, weiss ich allerdings selbst nicht.
(Edit Marcel: Habe Dir das alles "schöngeschrieben; siehe Kommentare
und/oder klick' mit der Maus auf die Formeln bzw. halte den Mauszeiger
drüber! Kontrolliere auch bitte mal, ob ich das alles richtig umgeschrieben
habe, nicht, dass ich da was falsch geändert habe!")
Ich hänge an dieser Stetigkeitsaufgabe. Hatte letztens eine, wo es nur zwei unterschiedliche Fälle gab und dann die Lösung mittels der Folgenkriterium für die Stetigkeit funktioniert hat. (Mit dem Limes für n gegen unendlich die zwei Nullfolgen [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] auf die Reise schicken und dann als 0 erhalten.)
Hier weiss ich allerdings nicht wo ich anfangen soll. Klar ist, dass die Funktion für x [mm] \not= [/mm] 0 und y [mm] \not= [/mm] 0 stetig ist.
Vielen Dank für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Do 23.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Kaykay,
> An welchen Punkten ist die folgende Funktion [code]f:
> [mm]/IR^{2}[/mm] /to /IR[/code] (Edit Marcel: Fehlerhafter Code!)
>
> [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm] (Edit Marcel: Richtig: [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm])
>
> stetig?
> [mm]f(x,y) =\begin{cases} \bruch{\sin(xy)}{xy^{2}}, & \mbox{für } x \not= 0,\; y \not= 0\\\tfrac{1}{y}, &\mbox{für }x=0,\;y \not=0 \\\tfrac{1}{x}, &\mbox{für }x\not=0,\;y=0\\0,&\mbox{für }x=y=0\end{cases}[/mm]
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> Hallo,
>
> leider hab ich die schöne geschweifte Klammer hinter dem
> f(x,y) nicht hinbekommen, hoffe aber man versteht trotzdem
> alles. Warum in der ersten Zeile die Menge R nicht
> funktioniert, weiss ich allerdings selbst nicht.
> (Edit Marcel: Habe Dir das alles "schöngeschrieben; siehe
> Kommentare
> und/oder klick' mit der Maus auf die Formeln bzw. halte
> den Mauszeiger
> drüber! Kontrolliere auch bitte mal, ob ich das alles
> richtig umgeschrieben
> habe, nicht, dass ich da was falsch geändert habe!")
>
> Ich hänge an dieser Stetigkeitsaufgabe. Hatte letztens
> eine, wo es nur zwei unterschiedliche Fälle gab und dann
> die Lösung mittels der Folgenkriterium für die Stetigkeit
> funktioniert hat. (Mit dem Limes für n gegen unendlich die
> zwei Nullfolgen [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] auf die Reise schicken und dann
> als 0 erhalten.)
>
> Hier weiss ich allerdings nicht wo ich anfangen soll. Klar
> ist, dass die Funktion für x [mm]\not=[/mm] 0 und y [mm]\not=[/mm] 0 stetig
> ist.
Warum ist denn das klar? Wenn Du Dir das mal klarmachst, dann wüßtest
Du auch insgesamt, wie Du hier einfach mit dem Folgenkriterium arbeiten
kannst!
Okay: Also das stimmt, dass das klar ist (etwa mithilfe des Folgenkriteriums
kann man sich das schnell klarmachen).
Jetzt gibt es noch Fälle, die wir untersuchen müssen:
1. Fall: Sei [mm] $(x,0)\,$ [/mm] mit $x [mm] \not=0$ [/mm] "ein Punkt der [mm] $y\,$-Achse". [/mm] Sei nun [mm] $((x_n,y_n))_n$ [/mm] eine Folge in
[mm] $\IR^2$ [/mm] mit [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (x,0)$ bzgl. der durch [mm] $\|.\|_2$ [/mm] induzierten Metrik. Dann folgt [mm] $x_n \to [/mm] x$ und [mm] $y_n \to [/mm] y$
bzgl. der durch den Betrag $|.|$ induzierten Metrik auf [mm] $\IR\,.$ [/mm] (![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.17).
Wegen [mm] $|x_n| \ge [/mm] |x/2| > 0$ für alle genügend großen [mm] $n\,$ [/mm] (Warum?) kann man o.E. [mm] $x_n \not=0$ [/mm] für alle [mm] $n\,$ [/mm]
annehmen.
Daher können wir o.E. sagen, dass [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (x,0)$ gelten soll, wobei alle [mm] $x_n \not=0$ [/mm] sind.
Einfach kann man weiterüberlegen, was passiert, wenn für [mm] $(y_n)_n$ [/mm] gilt, dass fast
alle [mm] $y_n [/mm] =0$ sind, oder, wenn fast alle [mm] $y_n \not=0$ [/mm] sind.
Wenn es unendlich viele [mm] $y_n$ [/mm] mit [mm] $y_n \not=0$ [/mm] und auch unendlich viele [mm] $y_n$ [/mm] mit [mm] $y_n=0$ [/mm] gibt,
dann kannst Du [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in "zwei Teilfolgen zerlegen" (damit meine ich, dass die
Menge der Indizes der jeweiligen Teilfolge disjunkt zur Menge der Indizes
der anderen Teilfolge ist und dass die Vereinigung der Indizes der beiden
Teilfolgen [mm] $=\IN$ [/mm] ist), und zwar soll die erste Teilfolge dann nur Indizes [mm] $n^{(1)}_k\,$ [/mm] enthalten,
für die [mm] $y_{n^{(1)}_k}=0$ [/mm] gilt, und die zweite Teilfolge dann nur Indizes [mm] $n^{(2)}_k\,$ [/mm] enthalten,
für die [mm] $y_{n^{(1)}_k} \not=0$ [/mm] gilt.
(Ich will aber anmerken, dass das Schräggeschriebene nur eine formal
korrekte Überlegung ist, die man so in etwa anstellen sollte. Mithilfe der
"einfachen Vorüberlegungen" beim 1. Fall kann man sich eigentlich schon
klarmachen, was im "kursiv geschriebenen Teil" passiert!)
So: Versuche jetzt mal, den ersten Fall zu Ende zu denken, um rauszufinden,
wie's mit der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] für $(x,y) [mm] \in \{(r,0):\;\;r \in \IR \setminus \{0\}\}$ [/mm] aussieht.
Analog denke über die restlichen noch nicht behandelten Stellen nach!
Gruß,
Marcel
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