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Stetigkeit Projketion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:28 Fr 28.10.2011
Autor: marianne88

Liebes Forum

Folgendes bereitet mir leider Schwierigkeiten:

Sei $\ [mm] f_k: [/mm] X [mm] \to \IR [/mm] $ die Koordinatentransformation auf die $\ k$-te Koordinate, wobei $\ X $ ein endlichdimensionaler Vektorraum ist, also:

$\ [mm] f_k(x) [/mm] := [mm] x_k [/mm] $, wenn $\ x = [mm] \summe_{j=1}^k x_j e_j [/mm] $ wobei $\ [mm] e_j [/mm] $ eine normierte Basis ist, also $\ [mm] \parallel e_j \parallel [/mm] = 1 $.

wieso ist diese Abbildung stetig? Linearität ist klar, daher wollte ich zeigen, dass sie beschränkt ist:

$\ [mm] |f_k(x)| [/mm] = [mm] |x_k| [/mm] $ dies würde ich gerne abschätzen mittels $\ [mm] |x_k| \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] $. Aber wieso gilt dies?

Danke

Marianne88

        
Bezug
Stetigkeit Projketion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Fr 28.10.2011
Autor: Blech


> $ \ [mm] |f_k(x)| [/mm] = [mm] |x_k| [/mm] $ dies würde ich gerne abschätzen mittels $ \ [mm] |x_k| \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] $. Aber wieso gilt dies?

Es tut's nicht.

Such Dir eine Basis im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit einem stumpfen Winkel zwischen den Vektoren.


> $ \ [mm] f_k(x) [/mm] := [mm] x_k [/mm] $

endlich-dimensionaler, linearer Operator, also stetig, oder?


ciao
Stefan

Bezug
        
Bezug
Stetigkeit Projketion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Fr 28.10.2011
Autor: fred97

Es gilt folgender Satz:

Ist X ein normierter Raum mit Norm ||*|| und sind [mm] b_1,..., b_n [/mm] linear unabhängige Vektoren aus X, so gibt es ein c>0 mit:

         [mm] |x_1|+...+|x_n| \le [/mm] c [mm] ||x_1b_1+...+x_nb_n|| [/mm]

für alle Skalare [mm] x_1,...,x_n. [/mm]

Vielleicht hattet Ihr diesen Satz. Wenn nicht, so findest Du in in jedem Funktionalanalysis-Buch

FRED

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