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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Di 26.02.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | | gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=\bruch{\vmat{ 1-x}}{2*x-2} [/mm] Sie soll an der Stelle [mm] x_{0}=1 [/mm] auf Stetigkeit untersucht werden. |
Hallo Leute, ich hätte hierzu eine kleine Nachfrage. Würde ich [mm] x_{0} [/mm] für das x einsetzen, so hätte ich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Null stehen. Müsste ich jetzt sagen ob es sich um eine Polstelle oder eine hebbare Definitionslücke handelt, dann müsste ich doch die Funktion an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] auf Stetigkeit untersuchen. Würde der Grenzwert von oben und von unten übereinstimmen, dann wäre die Funktion an dieser Stelle stetig und die Definitionslücke wäre hebbar. Würden die Grenzwerte gegen [mm] +\infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] streben, dann wäre die Funktion an der Stelle nicht stetig und es wäre doch ein Beweis für eine senkrechte Asymptote und somit eine Polstelle. Soweit ich weiß gilt dies doch immer, d.h., dass bei einer Polstelle immer eine senkr. Asymptote vorliegen muss. Nun liegt der obere Grenzwert dieser Funktion an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] bei [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und der untere Grenzwert bei - [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Die Funktion ist somit an der Stelle unstetig. Die Grenzwerte sind zwar verschieden, doch sie streben nicht gegen [mm] +\infty [/mm] und [mm] -\infty. [/mm] Das sagt dann doch aus, dass an der Stelle keine Asymptote vorliegt und somit keine Polstelle vorliegen kann. Das ist aber ein Widerspruch. Kann mir das jemand erklären?
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> gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=\bruch{\vmat{ 1-x}}{2*x-2}[/mm]
> Sie soll an der Stelle [mm]x_{0}=1[/mm] auf Stetigkeit untersucht
> werden.
> Hallo Leute, ich hätte hierzu eine kleine Nachfrage. Würde
> ich [mm]x_{0}[/mm] für das x einsetzen, so hätte ich sowohl im
> Zähler als auch im Nenner eine Null stehen. Müsste ich
> jetzt sagen ob es sich um eine Polstelle oder eine hebbare
> Definitionslücke handelt, dann müsste ich doch die Funktion
> an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] auf Stetigkeit untersuchen.
Hallo,
genau gesagt müßtest Du sie auf stetige Fortsetzbarkeit untersuchen - aber Du meinst exakt das Richtige.
Würde der
> Grenzwert von oben und von unten übereinstimmen, dann wäre
> [...] die
> Definitionslücke wäre hebbar.
Würden die Grenzwerte gegen
> [mm]+\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm] streben, dann wäre die Funktion an der
> Stelle nicht stetig und es wäre doch ein Beweis für eine
> senkrechte Asymptote und somit eine Polstelle.
Ja. Auch wenn sie auf beiden Seiten gegen [mm] +\infty [/mm] ginge
Soweit ich
> weiß gilt dies doch immer, d.h., dass bei einer Polstelle
> immer eine senkr. Asymptote vorliegen muss.
Eine Polstelle ist eine senkrechte Asymptote.
Ich glaube, Dir macht gerade dieses zu schaffen:
Bei gebrochenrationalen Funktionen sind die Definitionslücken entweder hebbar oder Polstellen.
Beides ist bei der Dir vorliegenden Funktion nicht der Fall.
Des Rätsels Lösung: [mm] f(x)=\bruch{\vmat{ 1-x}}{2*x-2} [/mm] ist keine ganzrationale Funktion.
Denn [mm] \vmat{ 1-x} [/mm] ist kein Polynom.
Das ist ja eine stückweise definierte Funktion, bei welcher zwei Polynome, 1-x und x-1 "aneinandergeklebt" werden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Di 26.02.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo,
achso ist das. Man muss also erst einmal schauen ob es eine gebrochen rationale Funktion ist. Alles klar. Eine Frage hätte ich noch. Du meintest, dass bei gebrochenrationalen Funktionen die Definitionslücken hebbar sind oder Nullstellen. Was meinst du genau mit Nullstellen? Ich kenne das so: bei gebrochenrationalen Funktionen sind die Definitionslücken nicht hebbar (Polstellen) oder hebbar. Und was wäre die Variante mit den Nullstellen? Gibt es da vielleicht ein Beispiel in Form einer Funktion?
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Du meintest, dass bei
> gebrochenrationalen Funktionen die Definitionslücken hebbar
> sind oder Nullstellen.
Das war Blödsinn. Polstellen. Hebbar oder Polstellen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Di 26.02.2008 | | Autor: | Owen |
Jetzt ist alles klar, vielen Dank.
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