Stetigkeit Maximumsfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Mo 16.04.2012 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Seien Funktion [mm] f_{i} [/mm] : [mm] V\to\IR [/mm] mit i=1,..,m stetig und V [mm] \subseteq \IR.
[/mm]
Zeige f(x) = [mm] max_{i} f_{i} [/mm] (x) ist stetig. |
Wir haben die Indexmenge I definiert durch I(x)={i| [mm] f_{i} [/mm] (x) = f(x) }
Wir haben in der Vorlesung folgendes gezeigt, was eventuell hier helfen kann: für große k gilt [mm] I(\overline{x}+t_{k}d^{k}) \subseteq I(\overline{x}). [/mm] Wobei [mm] d^{k} [/mm] eine Richtung und [mm] t_{k} [/mm] eine Nullfolge ist.
Wie soll man diesen Beweis angehen?
Stetigkeit lässt sich ja durch das [mm] \varepsilon, \delta [/mm] Kriterium zeigen,
oder ,indem man zeigt, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = [mm] f(\overline{x}) [/mm] für alle Folgen [mm] x_{n} [/mm] mit [mm] x_{n} \to \overline{x}.
[/mm]
Ich habe eine Idee, diese beruht aber auf einem Vertauschen von lim und max Operator, was ich nicht erklären kann.
Hier die Idee: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} max_{i} f_{i}(x_{n}) [/mm] = [mm] max_{i} \limes_{n\rightarrow\infty} f_{i}(x_{n}) [/mm] = [mm] max_{i} f_{i}(\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}) [/mm] = [mm] max_{i} f_{i} (\overline{x}) [/mm] = [mm] f(\overline{x})
[/mm]
Wenn richtig, würde ich gerne wissen, wie ich das Vertauschen erklären kann. Wenn falsch, wäre ein Tipp super!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien Funktion [mm]f_{i}[/mm] : [mm]V\to\IR[/mm] mit i=1,..,m stetig und V
> [mm]\subseteq \IR.[/mm]
> Zeige f(x) = [mm]max_{i} f_{i}(x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist stetig.
> Wir haben die Indexmenge I definiert durch
> I(x)={i| [mm]f_{i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(x) = f(x) }
> Wir haben in der Vorlesung folgendes gezeigt, was
> eventuell hier helfen kann: für große k gilt
> [mm]I(\overline{x}+t_{k}d^{k}) \subseteq I(\overline{x}).[/mm] Wobei
> [mm]d^{k}[/mm] eine Richtung und [mm]t_{k}[/mm] eine Nullfolge ist.
>
> Wie soll man diesen Beweis angehen?
> Stetigkeit lässt sich ja durch das [mm]\varepsilon, \delta[/mm]
> Kriterium zeigen,
> oder ,indem man zeigt, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm]
> = [mm]f(\overline{x})[/mm] für alle Folgen [mm]x_{n}[/mm] mit [mm]x_{n} \to \overline{x}.[/mm]
>
> Ich habe eine Idee, diese beruht aber auf einem Vertauschen
> von lim und max Operator, was ich nicht erklären kann.
>
> Hier die Idee: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} max_{i} f_{i}(x_{n})[/mm] = [mm]max_{i} \limes_{n\rightarrow\infty} f_{i}(x_{n})[/mm]
> = [mm]max_{i} f_{i}(\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n})[/mm] =
> [mm]max_{i} f_{i} (\overline{x})[/mm] = [mm]f(\overline{x})[/mm]
>
> Wenn richtig, würde ich gerne wissen, wie ich das
> Vertauschen erklären kann.
das folgt, wenn man gezeigt hat, dass obige Funktion stetig ist  Ne klar, da drehst Du Dich ein wenig im Kreis (es sei denn, Du findest selbst noch eine elementare Argumentation).
> Wenn falsch, wäre ein Tipp
> super!
Man kann vielleicht induktiv rangehen. Und für [mm] $n=2\,$ [/mm] zeigst Du erst, dass
[mm] $$(\star)\;\;\;\max\{f_1,f_2\}=(f_1+f_2+|f_1-f_2|)/2$$ [/mm]
gilt (und mit dem Wissen, dass aus der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] auch die Stetigkeit von [mm] $|f|\,$ [/mm] (definiert durch $|f|(x):=|f(x)|$ für alle [mm] $x\,$) [/mm] folgt, Summen stetiger Funktionen stetig sind etc.), kommt man dann schnell zum Ziel.
P.S.
Um [mm] $(\star)$ [/mm] einzusehen, braucht man im Prinzip nicht mehr, als zu zeigen, dass für $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $\max\{r,s\}=(r+s+|r-s|)/2$ [/mm] gilt. Denn [mm] $(\star)$ [/mm] ist ja pktw. zu verstehen! Und das zeigst Du einfach, indem Du Fallunterscheidungen triffst...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mo 16.04.2012 | | Autor: | etoxxl |
Die Idee ist einleuchtend:
Für n=2:
[mm] \max\{f_1,f_2\}=(f_1+f_2+|f_1-f_2|)/2 [/mm] stetig, da Verknüpfung stetiger Funktionen.
Für n->n+1: [mm] \max\{f_1,...,f_n,f_{n+1}\} [/mm] = [mm] \max\{max\{f_1,...,f_n\},f_{n+1}\} [/mm] = [mm] \max\{m,f_{n+1}\} [/mm] wieder stetig mit obiger Argumentation und [mm] m=max\{f_1,...,f_n\}.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Idee ist einleuchtend:
>
> Für n=2:
> [mm]\max\{f_1,f_2\}=(f_1+f_2+|f_1-f_2|)/2[/mm] stetig, da
> Verknüpfung stetiger Funktionen.
da stecken nicht viele Verknüpfungen (Nacheinanderschaltungen) von Funktionen dahinter: Einzig die Betragsfunktion. Ansonsten kommen die Argumente, dass Summen und Produkte (endlich vieler) stetiger Funktionen stetig sind - denn beachte: auch konstante Funktionen sind stetige Funktionen.
Hier bleibt aber dennoch die Gleichheit [mm] $\max\{f_1,f_2\}=(f_1+f_2+|f_1-f_2|)/2$ [/mm] zu beweisen - ohne die ist die Argumentation nicht klar, und trivial ist diese Gleichheit auch nicht (wirklich)!
> Für n->n+1: [mm]\max\{f_1,...,f_n,f_{n+1}\}[/mm] =
> [mm]\max\{max\{f_1,...,f_n\},f_{n+1}\}[/mm] = [mm]\max\{m,f_{n+1}\}[/mm]
> wieder stetig mit obiger Argumentation und
> [mm]m=max\{f_1,...,f_n\}.[/mm]
Ja. Aber auch hier müßte man sowas zeigen, was ein Informatiker sicher einfach rekursiv entsprechend programmieren würde. Etwa (ein wenig allgemeiner) sowas wie:
[mm] $$\max\{a_1,...,a_n,a_{n+1}\}=\max\{\blue{\max\{a_{\phi(1)},...,a_{\phi(n)}\}},a_{\phi(n+1)}\}$$
[/mm]
für eine Bijektion [mm] $\phi: \{1,...,n+1\} \to \{1,...,n+1\}\,.$
[/mm]
Das sind schon noch kleine (einfache) Aussagen, die man zeigen muss (letztere reicht ja in Deiner Variante mit [mm] $\phi(z)=z\,$) [/mm] - auch, wenn sie mehr oder weniger trivial sind. (Evtl. habt ihr das ja in der Vorlesung getan.)
Zum Beispiel bei letzter Aussage (in Deiner Variante) kann man o.E. (durch Umnumerierung) davon ausgehen, dass [mm] $a_n$ [/mm] das Maximum der ersten [mm] $n\,$ [/mm] Glieder [mm] $a_k$ [/mm] sei... und dann macht man halt eine Fallunterscheidung.
Wie gesagt: Schwer ist es nicht, zu einem vollst. Beweis gehört es aber, dass man halt für jeden Schritt ein Argument hat (und wenn man auf die Vorlesung oder eine andere Übungsaufgabe verweist)!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
