Stetigkeit, Grenzwert gegen e < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Honkmaster,
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} (1+x)^\bruch{1}{x} = \limes_{x\rightarrow 0} e^{ln(1+x)^\bruch{1}{x}} = \limes_{x\rightarrow 0} e^{\bruch{1}{x}ln(1+x)} = e^{\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{x}ln(1+x)} = e^{\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{ln(1+x)}{x}[/mm]
Den Rest dürftest du selbst hinbekommen....
MfG,
Gono.
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ok danke die gedanekn ahben mir gefehlt...aber bevor ich nun weitermache sind meine anderen obigen gedanken den richtig?
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Hiho,
letztlich musst du nur den Punkt 0 untersuchen, da hast du recht (warum? Was gilt auf dem restlichen Definitionsbereich?)
Dort muss per Definition gelten [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x) = f(0)[/mm]. (Hattest du ja auch schon gesagt).
Also betrachtest du linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert (wobei du den rechtsseitigen nicht betrachten musst, den kennst du, warum?), wenn die gleich sind, hast du dein [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)[/mm] und damit die Antwort, ob deine Stetigkeitsbedingung gilt.
Vieles von dem hattest du ja selbst schon, wenn du dir die Fragen noch beantworten kannst, passt alles 
MFG,
Gono.
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Alles schick
Bis auf eine Kleinigkeit: du hast ja nicht die e-Funktion im zweiten Teil, nur weil da ein e-hoch-bla steht.
[mm] e^{sgn(x)} [/mm] ist beispielsweise NICHT stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich.
Oder anders ausgedrückt:
Auf dem restlichen Definitionsbereich ist die Funktion als Komposition stetiger Funktionen wieder stetig 
Habt ihr bestimmt auch mal bewiesen, aber nur hinzuschreiben "Ist e-Funktion" reicht da nicht.
Ansonsten stimmte aber alles.
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Mi 11.06.2008 | | Autor: | honkmaster |
thx hast mir und meinen kommilitonen die sich sicher diesen thread wie ich sie kenne ergooglen werden geholfen
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nochmal eben eine kurze frage ich hab bei der untersuchung nun mein c gefunden. muss ich die weiteren untersuchungen (die stetigkeit im bereich x<0), davon abhängig machen also in die funktion einsetzten oder kann ich das auch allgemein zeigen eiegtnlich schon oder weil man erkennt das ja auch so...
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Wie wählst du denn dein c?
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so hatte gesten nacht gedacht ich habs verstnaden nu will ich das texen und komm dort wo du aufgehörst hast mit [mm] e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}} [/mm] nicht weiter. es kommt ja ein undefinierter wert 0/0 raus. das heißt eigentlich ja le hospital um genaueres zu ermitteln, wir dürfen dies aber nicht verwenden (noch nicht vorlesungsstoff gewesen).hab schon probiert den ln auseinanderzu ziehen aber naja das bringt mich auch nciht weiter.....man sowas ärgert mich
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Hallo honkmaster,
ich habe zwar nicht den gesamten thread gelesen, aber zur Bestimmung von
[mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}$ [/mm] ohne de l'Hôpital hab' ich trotzdem nen Tipp
Nimm die Taylorentwicklung (oder die ersten paar Glieder derselben) für [mm] $\ln(1+x)$ [/mm] her - ich hoffe, die hattet ihr - das ist (für $-1 \ < \ x \ [mm] \le [/mm] 1$, also insbesondere in der Nähe der zu untersuchenden Stelle $x=0$):
[mm] $\ln(1+x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot{}x^n=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4\pm [/mm] ....$
Damit sollte es klappen, denn damit ist [mm] $\frac{\ln(1+x)}{x}=.....$
[/mm]
Dann noch den Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 0$ , dann [mm] $e^{(...)}$ [/mm] nicht vergessen und feddich...
LG
schachuzipus
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taylor hatten wir ebenfalls noch nicht...hmm naja was nun.irgendwie muss das doch zu lösen sein, sonst hätten wir diese aufgabe ja nicht...schade. naja ich komm nicht darauf. wenn ihr nocht tipps habt nehm ich alles dankend an...ansonst wend ich mich erstma den anderen aufgaben zu
aber zu dem was ln(x+1)/x ist. ln(x) ersetzte ich durch die taylor entwicklung welche durch x geteilt wird also fallen in jedem "summanden" ein x raus also steht da für die ersten gleier [mm] 1-1/2x+1/3x^2-1/4x^3 [/mm] usw...betrachten man den grenzübergang fallen die terme mit x alle raus...und es bleibt 1...so korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Do 12.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Honkmaster,
ich finde leider die Aufgabenstellung nicht mehr (edit: mittlerweile steht sie wieder da, aber vorhin wurde sie bei mir nicht angezeigt; merkwürdig...), aber ich glaube, es ging im wesentlichen darum, die Funktion $x [mm] \mapsto (1+x)^\frac{1}{x}$ [/mm] stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] fortzusetzen, oder? Das kann man eigentlich sehr leicht einsehen, dass (ich schreibe [mm] $\lim_{x \to 0^+}:=\lim_{x \to 0 \mbox{ und } x > 0}$, [/mm] analoges für [mm] $\lim_{x \to 0^-}$ [/mm] und bei [mm] $\lim_{x \to 0}$ [/mm] ist stets $x [mm] \not=0$)
[/mm]
[mm] $\lim_{x \to 0} (1+x)^\frac{1}{x}=e$ [/mm] gilt.
Es gilt nämlich bekanntlich
[mm] $(\star)$ $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to [/mm] e$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] (wobei angemerkt sei, dass die Folge [mm] $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n \in \IN}$ [/mm] (streng) monoton wachsend gegen $e$ ist)
Nun betrachten wir mal $f: [mm] ]-1,\infty[ \setminus\{0\} \to \IR$ [/mm] definiert durch $x [mm] \mapsto f(x):=\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}$
[/mm]
Wegen ![[]](/images/popup.gif) Satz 10.7 gilt, dass, wenn $f$ an [mm] $x_0=0$ [/mm] stetig fortsetzbar ist, wegen [mm] $(\star)$ [/mm] dann nur $f(0):=e$ in Frage kommt (man betrachte die Folge [mm] $x_n:=\frac{1}{n}$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN$, [/mm] dann ist gerade [mm] $f(x_n)=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$).
[/mm]
Nun mach' Dir einfach mal Gedanken über das Monotonieverhalten von $f$ auf [mm] $]0,\infty[$. [/mm] Es sollte sich zeigen lassen, dass $f$ auf [mm] $]0,\infty[$ [/mm] streng monoton fallend ist. Und nimmst Du nun irgendeine Folge [mm] $(r_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $]0,\infty[$ [/mm] her mit [mm] $r_n \to [/mm] 0$ (wobei Du o.E. $0 < [mm] r_n \le [/mm] 1$ annehmen kannst), so gilt mit [mm] $N=N_n:=\left[\frac{1}{r_n}\right] \in \IN$ [/mm] wegen der Monotonie von $f$ und wegen [mm] $(\star)$ [/mm] halt (beachte, dass $[.]$ die Gaußklammer ist und damit $N [mm] \le \frac{1}{r_n} [/mm] < N+1$ gilt):
$e [mm] \ge f\left(\frac{1}{N_n+1}\right) \ge f(r_n) \ge f\left(\frac{1}{N_n}\right)$
[/mm]
Und weil [mm] $(N_n)_{n \in \IN}$ [/mm] dann eine Folge in [mm] $\IN$ [/mm] ist mit [mm] $N_n \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] folgt damit (wieder unter Beachtung von [mm] $(\star)$), [/mm] dass
$e [mm] \ge f(r_n) \ge f\left(\frac{1}{N_n}\right) \to [/mm] e$
also [mm] $f(r_n) \to [/mm] e$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] nach dem Einschließkriterium.
Damit:
[mm] $\lim_{x \to 0^+}f(x)=e$
[/mm]
Analog kann man sich überlegen:
[mm] $\lim_{x \to 0^-}f(x)=e$
[/mm]
Einziger Hacken:
Man muss sich klarmachen, dass $f$ monoton auf $]-1,0[$ und [mm] $]0,\infty[$ [/mm] ist. Leider kenne ich Euren Vorlesungsstand nicht, denn je nach Vorlesungsstand ist das relativ einfach (z.B. mit der Ableitung) oder schwerer...
P.S.:
Leider zeigt meine Argumentation oben nur, dass die auf [mm] $]-1,\infty[ \setminus\{0\}$ [/mm] definierte Funktion [mm] $f(x)=(1+x)^\frac{1}{x}$ [/mm] in [mm] $x_0=0$ [/mm] vermittels $f(0):=e$ rechtsseitig stetig fortsetzbar ist. Bei Deiner Aufgabe brauchst Du aber natürlich "linksseitig stetig fortsetzbar"; aber ich denke, da wirst Du einfach vollkommen analog argumentieren können. Wieder mit der Monotonie von $f$ (diesmal auf $]-1,0[$) und mit dem Wissen
[mm] $(\star_2)$ $\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n} \to [/mm] e$
(Eine Standard-Übungsaufgabe der Analysis ist der Beweis, dass
[mm] $\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \to \frac{1}{e}$; [/mm]
falls Dir das unklar ist, müßtest Du ggf. nochmal nachfragen; und [mm] $(\star_2)$ [/mm] ist eine banale Konsequenz daraus, wenn man sich an die Aussage über den Quotient (endlich vieler) konvergenter Folgen erinnert...)
Gruß,
Marcel
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