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| Aufgabe | Man zeige:
f(x):= [mm] \sum_{n\ge0}\frac{cos(3^{n}*x}{n^{2}+x^{2}} [/mm] ist stetig. Ist f(x) auch gleichmäßig stetig? |
Hey
leider weiß ich bei dieser Aufgaben gar nicht so genau wie ich Ansätzen soll. Klar ist, das [mm] \frac{cos(3^{n}*x}{n^{2}+x^{2}} [/mm] als Komposition stetiger Funktionen stetig ist. Jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich damit umgehen soll, dass die einzelnen Funktionenfolgenglieder addiert werden. Ich habe auch keinen passenden "Satz" gefunden, der mir helfen könnte dies zu beweisen.
Meine einzige Idee wäre es, hie mit Delta -Epsilon abzuschätzen.
Dann erhalte ich:
Zu zeigen, aus [mm] |x-x_{0}|<\delta [/mm] folgt [mm] |f(x)-f(x_{0}|< \epsilon
[/mm]
[mm] |f(x)-f(x_{0}|= |\sum_{n\ge0}\frac{cos(3^{n}*x}{n^{2}+x^{2}}-\sum_{n\ge0}\frac{cos(3^{n}*x_{0}}{n^{2}+x_{0}^{2}}|
[/mm]
leider weiß ich aufgrund des Summenzeichens nicht so genau wie man hier weiter abschätzen kann..
LG
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Hiho,
vorweg: steht da wirklich $n [mm] \ge [/mm] 0$ oder [mm] $n\ge [/mm] 1$ unter der Summe.
Bei ersterem wäre die Funktion in $x=0$ gar nicht definiert.
Dann: Du hast ja bereits gezeigt, dass die Summanden stetig sind.
Dann hattet ihr bestimmt das Weierstraßsche Majorantenkriterium, das was aussagt?
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Mo 26.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
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> vorweg: steht da wirklich [mm]n \ge 0[/mm] oder [mm]n\ge 1[/mm] unter der
> Summe.
> Bei ersterem wäre die Funktion in [mm]x=0[/mm] gar nicht
> definiert.
>
> Dann: Du hast ja bereits gezeigt, dass die Summanden stetig
> sind.
> Dann hattet ihr bestimmt das Weierstraßsche
> Majorantenkriterium, das was aussagt?
Hallo Gono,
es ist doch gefragt, ob f auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig stetig ist, und nicht ob die Reihe gleichmäßig konvergiert.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> es ist doch gefragt, ob f auf [mm]\IR[/mm] gleichmäßig stetig ist, und nicht ob die Reihe gleichmäßig konvergiert.
erstmal ist gefragt, ob die so definierte Funktion stetig ist, was aus der Stetigkeit der Summanden und der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe sofort folgt.
Gruß,
Gono.
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Hey
also erstmal. Du hast natürlich recht. es gilt: n > 0 und somit n [mm] \ge [/mm] 1
so aber wieso kann ich aus der gleichmäßigen Konvergenz und der stetigkeit der Summanden direkt die Stetigkeit der gesamten Reihe schlussfolgern?
Und wie beweise ich in diesem Falle überhaupt gleichmäßige Stetigkeit?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Mo 26.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> also erstmal. Du hast natürlich recht. es gilt: n > 0 und
> somit n [mm]\ge[/mm] 1
>
>
> so aber wieso kann ich aus der gleichmäßigen Konvergenz
> und der stetigkeit der Summanden direkt die Stetigkeit der
> gesamten Reihe schlussfolgern?
Es gilt der
Satz:
ist D eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und sind die Funktionen [mm] f_n:D \to \IR [/mm] auf D stetig und konvergiert die Funktionenreihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}f_n [/mm] auf D gleichmäßig, so ist die Funktion f:D [mm] \to \IR, [/mm] definiert durch
f(x):= [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}f_n(x),
[/mm]
auf D stetig.
>
> Und wie beweise ich in diesem Falle überhaupt
> gleichmäßige Stetigkeit?
Darum kümmern wir uns später.
FRED
>
>
> LG
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Hey
ja okay. danke das verstehe ich. dann muss ich also jetzt beweisen, dass die Funktion gleichmäßig konvergiert.
dazu muss gelten:
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|< \epsilon
[/mm]
[mm] f_{n}(x)= \sum_{n\ge 1}\frac{cos(3^{n}*x}{n^2+x^2}
[/mm]
und für n gegen [mm] \infty [/mm] geht zumindest die Funktionenfolge gegen 0 da der Nenner beliebig groß wird. Aber dennoch erhalte ich dadurch keine Grenzfunktion...
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mo 26.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> ja okay. danke das verstehe ich. dann muss ich also jetzt
> beweisen, dass die Funktion gleichmäßig konvergiert.
> dazu muss gelten:
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|< \epsilon[/mm]
>
> [mm]f_{n}(x)= \sum_{n\ge 1}\frac{cos(3^{n}*x}{n^2+x^2}[/mm]
> und
> für n gegen [mm]\infty[/mm] geht zumindest die Funktionenfolge
> gegen 0 da der Nenner beliebig groß wird. Aber dennoch
> erhalte ich dadurch keine Grenzfunktion...
Unfug ! Was hat Gono ins Spiel gebracht ?
Das: Weierstraßsches Majorantenkriterium
FRED
>
>
> LG
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Hey
okay. dann muss ich also [mm] |\frac{cos(3^2^{x}*n}{n^2+x^2}| [/mm] so anschätzen. dass die Reihe darüber konvergiert.
Also:
[mm] |\frac{cos(3^2^{x}*n}{n^2+x^2}|= \frac{|cos(3^2^{x}*n|}{n^2+x^2} [/mm] (da [mm] x^{2} [/mm] sowieso positiv ist) [mm] \le \frac{1}{n^2+x^2}\le frac{1}{n^2} [/mm] und diese Reihe konvergiert ja. somit konviert die gesamte Reihe gleichmäßig.
Daraus folgt dann auch die Stetigkeit.
Aber wir kann ich nun prüfen ob die Reihe auch gleichmäßig stetig ist?
LG
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Hiho,
> okay. dann muss ich also [mm]|\frac{cos(3^2^{x}*n}{n^2+x^2}|[/mm] so anschätzen. dass die Reihe darüber konvergiert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $\le \frac{1}{n^2}$
[/mm]
> und diese Reihe konvergiert ja. somit konviert die gesamte Reihe gleichmäßig.
> Daraus folgt dann auch die Stetigkeit.
> Aber wir kann ich nun prüfen ob die Reihe auch gleichmäßig stetig ist?
Man hatte bestimmt mal den Satz: Sei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] stetig und [mm] $\lim_{x\to\pm\infty} [/mm] f(x)$ existiert, dann ist f gleichmäßig stetig.
Wenn nicht: Beweise!
Prüfe nach, ob die Voraussetzungen gelten und wende den Satz dann auf die Funktion an....
Gruß,
Gono.
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