Stetigkeit Funktionen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Mo 28.12.2015 | | Autor: | bastiang |
| Aufgabe | gegeben ist die Funktion f(x) mit der Gleichung [mm] f(x)=\bruch{2x^{3}-32x}{(x+4)(x-2)}
[/mm]
Untersuche das Verhalten von f(x) an der hebbaren Definitionslücke und setze f(x) dort stetig fort. |
[mm] f(x)=\bruch{2x^{3}-32x}{(x+4)(x-2)}
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{2x*(x+4)(x-4)}{(x+4)(x-2)}
[/mm]
Hebbare Definitionlücke: x=-4
[mm] \limes_{x\rightarrow -4}(\bruch{2x*(x+4)(x-4)}{(x+4)(x-2)})=\bruch{32}{2}
[/mm]
Da wir Stetigkeit erst gerade im Unterricht behandelt haben, komme ich mit dem zweiten Teil der Aufgabenstellung nicht klar und verstehe nicht, was mit "setzte f(x) dort stetig fort." gemeint ist.
Dank im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
Stetig fortsetzbar ist eine Funktion (in einer Definitionslücke [mm] $x_{0}) [/mm] genau dann, wenn links und rechtsseitiger Grenzwert dort übereinstimmen.
Ein wenig genauer :
Sei [mm] $x_{0}$ [/mm] eine definitionslücke einer stetigen Funktion $f: [mm] \Omega \backslash \{x_0\} \to \mathbb{R}$. [/mm] Gibt es nun eine stetige Funktion [mm] $\overset{\sim}{f} [/mm] : [mm] \Omega \to [/mm] R$ mit [mm] $\overset{\sim}{f}(x) [/mm] = f(x) [mm] \hspace{0.2cm} \forall [/mm] x [mm] \in \Omega \backslash \{x_0\}$ [/mm] so ist [mm] $\overset{\sim}{f}$ [/mm] die stetige Fortsetzung von f.
Existiert also an [mm] $x_{0}$ [/mm] der Grenzwert
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_{0}}f(x) [/mm] = a$
so ist die stetige Fortsetzung
[mm] $\overset{\sim}{f}(x)=\begin{cases} f(x) \hspace{0.3cm}, x \in \Omega \backslash \{x_0\} \\ a \hspace{0.3cm}, x=x_{0} \end{cases}$
[/mm]
Übrigens hast du dich verrechnet : richtig ist, dass 2 eine nicht hebbare Lücke ist - an -4 ist der GW jedoch [mm] $\frac{-32}{3}$
[/mm]
Nun kannst du sicher die stetige Fortsetzung angeben.
Lg
|
|
|
|
