Stetigkeit/Differenzierbarkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Do 04.10.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | 1. Zeigen Sie, dass die Funktion $y = [mm] \wurzel{x}$ [/mm] für alle x0 > 0 stetig ist. Wie ist es in x0 = 0? Ist die Funktion in x0 = 0 differenzierbar?
2. An welchen Stellen sind die folgenden Funktionen nicht stetig, an welchen nicht differenzierbar?
a) $y = |3x|$ b) $y = [mm] |x-\bruch{1}{4}x²|$ [/mm] c) $y = [mm] \bruch{1}{|x+2|}$ [/mm] (x $ [mm] \not= [/mm] $ 2) |
Hallo Zusammen,
1.
ich hab bei der ersten Aufgabe ein bisschen herumexperimentiert. Wenn man sich den Graph anschaut, sieht man dass x0 = 0 rechtsseitig stetig ist und in x0 = 0 nicht differenzierbar ist. Nun muss ich noch mathematisch beweisen dass $y = [mm] \wurzel{x}$ [/mm] für alle x0 > 0 stetig ist, was bei x0=0 ist und ob x0 = 0 differenzierbar ist.
x0 > 0
Eine Funktion in diesem Fall $y = [mm] \wurzel{x}$, [/mm] für die an der Stelle x0 gilt [mm] $\limes_{{\Delta \x} \to \ 0}(f(x0+{\Delta \ x}-f(x0))=0$ [/mm] nennt man stetig in x0.
[mm] $\limes_{{\Delta \x} \to \ 0}(f(\wurzel{x0}+{\Delta \ x}-f(\wurzel{x0})=0$
[/mm]
somit läuft [mm] ${\Delta \ x}$ [/mm] gegen 0 und [mm] $\wurzel{x0}$ [/mm] - [mm] $\wurzel{x0}$ [/mm] = 0, es ist jedes x0 > 0 stetig in x0. Kann man dies so zeigen?
[mm] $\limes_{{\Delta \x} \to \ 0-}f(0+{\Delta \ x}=f(0)$
[/mm]
[mm] $\limes_{{\Delta \x} \to \ 0-}f(0+{\Delta \ x}=f(0)$
[/mm]
[mm] $\limes_{{\Delta \x} \to \ 0-}0=0$
[/mm]
Am Graphen erkennt man dass die Funktion nicht negativ ist, geht auch bei negativen Wurzeln schlecht. Also kann man dies anders zeigen, oder muss man dies anhand des Graphen oder der Überlegung wegen der Wurzel aus x0 ausschließen?
[mm] $\limes_{{\Delta \x} \to \ 0+}f(x0+{\Delta \ x}=f(x0)$
[/mm]
[mm] $\limes_{{\Delta \x} \to \ 0+}f(0+{\Delta \ x}=f(0)$
[/mm]
[mm] $\limes_{{\Delta \x} \to \ 0+}0=0$
[/mm]
x0=0 ist rechtssetig stetig
[mm] $\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0-}\bruch{f(0+{\Delta \ x}-f(0)}{{\Delta \ x}}$
[/mm]
[mm] $\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0-}\bruch{\wurzel{{\Delta \ x}}}{{\Delta \ x}} [/mm] = 0$
aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen geht ja nicht. Wo liegt der Fehler, oder passt es so?
[mm] $\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0+}\bruch{f(0+{\Delta \ x}-f(0)}{{\Delta \ x}}$
[/mm]
[mm] $\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0+}\bruch{\wurzel{{\Delta \ x}}}{{\Delta \ x}} [/mm] = + unendlich$
Bei x0 = 0 ist nicht differenzierbar
2.
Hier habe ich mir die Graphen plotten lassen und somit sieht man wo die Funktion nicht stetig bzw. nicht differenzierbar ist. Gibt es da auch eine andere Vorgehensweise. Ich habe nur immer die Schwierigkeit dies dann noch mathematisch zu zeigen. Gibt es nicht eine Art Kochrezept nachdem man vorgehen kann um sich die Sache zu erleichtern? Ich bin für jeden Tipp dankbar. Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Do 04.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo itse
> 1. Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]y = \wurzel{x}[/mm] für alle x0
> > 0 stetig ist. Wie ist es in x0 = 0? Ist die Funktion in x0
> = 0 differenzierbar?
>
> 2. An welchen Stellen sind die folgenden Funktionen nicht
> stetig, an welchen nicht differenzierbar?
>
> a) [mm]y = |3x|[/mm] b) [mm]y = |x-\bruch{1}{4}x²|[/mm]
> c) [mm]y = \bruch{1}{|x+2|}[/mm] (x [mm]\not=[/mm] 2)
> Hallo Zusammen,
>
> 1.
> ich hab bei der ersten Aufgabe ein bisschen
> herumexperimentiert. Wenn man sich den Graph anschaut,
> sieht man dass x0 = 0 rechtsseitig stetig ist und in x0 = 0
> nicht differenzierbar ist. Nun muss ich noch mathematisch
> beweisen dass [mm]y = \wurzel{x}[/mm] für alle x0 > 0 stetig ist,
> was bei x0=0 ist und ob x0 = 0 differenzierbar ist.
>
> x0 > 0
>
> Eine Funktion in diesem Fall [mm]y = \wurzel{x}[/mm], für die an der
> Stelle x0 gilt [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0}(f(x0+{\Delta \ x}-f(x0))=0[/mm]
> nennt man stetig in x0.
>
> [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0}(f(\wurzel{x0}+{\Delta \ x}-f(\wurzel{x0})=0[/mm]
Das hast du falsch geschrieben, und deshalb ist deine Folgerung falsch!
richtig wäre:
[mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0}(\wurzel{x0+\Delta x}-\wurzel{x0})[/mm] und jetzt musst du erst zeigen, dass das gegen 0 geht.
dazu erweiterst du mit [mm] (\wurzel{x0+\Delta x}+\wurzel{x0})>0
[/mm]
Dann hast du im Zähler die Wurzel weg (3. binomi) und im Nenner was, was immer >0 für [mm] x_0>0
[/mm]
entsprechend für [mm] x_0=0 [/mm]
>
> somit läuft [mm]{\Delta \ x}[/mm] gegen 0 und [mm]\wurzel{x0}[/mm] -
> [mm]\wurzel{x0}[/mm] = 0, es ist jedes x0 > 0 stetig in x0. Kann man
> dies so zeigen?
Nein, siehe oben.
>
> [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0-}f(0+{\Delta \ x}=f(0)[/mm]
>
> [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0-}f(0+{\Delta \ x}=f(0)[/mm]
>
> [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0-}0=0[/mm]
derselbe Fehler wie oben aber hier hast du ja nur [mm] \wurzel{\Delta x} [/mm] gegen 0. dass [mm] Wurzel\ge [/mm] 0 kannst du einfach vorraussetzen.
> Am Graphen erkennt man dass die Funktion nicht negativ ist,
> geht auch bei negativen Wurzeln schlecht. Also kann man
> dies anders zeigen, oder muss man dies anhand des Graphen
> oder der Überlegung wegen der Wurzel aus x0 ausschließen?
ja!
> [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0+}f(x0+{\Delta \ x}=f(x0)[/mm]
>
> [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0+}f(0+{\Delta \ x}=f(0)[/mm]
>
> [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0+}0=0[/mm]
>
> x0=0 ist rechtssetig stetig
Was du hier noch machst versteh ich nicht, eigentlich doch gar nix?
>
> [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0-}\bruch{f(0+{\Delta \ x}-f(0)}{{\Delta \ x}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0-}\bruch{\wurzel{{\Delta \ x}}}{{\Delta \ x}} = 0[/mm]
woher kommt hier das =0 das ist falsch!! unten hast dus ja auch richtig!
>
> aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen geht ja nicht.
> Wo liegt der Fehler, oder passt es so?
du kannst nicht links von 0 gehen, wei die fkt ja nur für [mm] x\ge0 [/mm] definiert ist!
> [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0+}\bruch{f(0+{\Delta \ x}-f(0)}{{\Delta \ x}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0+}\bruch{\wurzel{{\Delta \ x}}}{{\Delta \ x}} = + unendlich[/mm]
hier fehlt die zwischenzeile , mit
[mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0+}\bruch{\wurzel{{\Delta \ x}}}{{\Delta \ x}} = \bruch{1}{\wurzel{\Delta x}}=+ unendlich[/mm]
> Bei x0 = 0 ist nicht differenzierbar
dann richtig.
> 2.
> Hier habe ich mir die Graphen plotten lassen und somit
> sieht man wo die Funktion nicht stetig bzw. nicht
> differenzierbar ist. Gibt es da auch eine andere
> Vorgehensweise. Ich habe nur immer die Schwierigkeit dies
> dann noch mathematisch zu zeigen. Gibt es nicht eine Art
> Kochrezept nachdem man vorgehen kann um sich die Sache zu
> erleichtern? Ich bin für jeden Tipp dankbar. Vielen Dank im
> Voraus.
y=3x ist überall stetig aber in 0 nicht diffbar. du musst zeigen, dass die Steigung für x>0 3 und für x<0 -3 ist. am einfachsten, indem du die Betragsfkt genau definierst f(x)=3x für [mm] x\ge [/mm] 0 und f(x)=-3x für [mm] x\le [/mm] 0.
Patentrezept gibts leider nicht. aber an der Zeichnung sieht man oft direkt, wie man vorgehen muss, und das sollst du ja an einfachen Funktionen üben, dann kannst dus später auch bei Funktionen, die du nicht so leicht zeichnen kannst.
Wenn du in deinem Benutzerprofil sagst in welche Klasse oder sonst was du gehst, kann man deine Fragen besser beantworten!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Fr 05.10.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo itse
> > 1. Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]y = \wurzel{x}[/mm] für alle > x0 0 stetig ist. Wie ist es in x0 = 0? Ist die Funktion in x0 = 0 > > > > differenzierbar?
> >
> > 2. An welchen Stellen sind die folgenden Funktionen nicht
> > stetig, an welchen nicht differenzierbar?
> >
> > a) [mm]y = |3x|[/mm] b) [mm]y = |x-\bruch{1}{4}x²|[/mm] c) [mm]y = \bruch{1}{|x+2|}[/mm] (x [mm]\not=[/mm] 2)
> >
> > Hallo Zusammen,
> >
> > 1.
> > ich hab bei der ersten Aufgabe ein bisschen
> > herumexperimentiert. Wenn man sich den Graph anschaut,
> > sieht man dass x0 = 0 rechtsseitig stetig ist und in x0 = 0
> > nicht differenzierbar ist. Nun muss ich noch mathematisch
> > beweisen dass [mm]y = \wurzel{x}[/mm] für alle x0 > 0 stetig ist,
> > was bei x0=0 ist und ob x0 = 0 differenzierbar ist.
> >
> > x0 > 0
> >
> > Eine Funktion in diesem Fall [mm]y = \wurzel{x}[/mm], für die an der
> > Stelle x0 gilt [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0}(f(x0+{\Delta \ x}-f(x0))=0[/mm]
> > nennt man stetig in x0.
> >
> > [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0}(f(\wurzel{x0}+{\Delta \ x}-f(\wurzel{x0})=0[/mm]
>
> Das hast du falsch geschrieben, und deshalb ist deine
> Folgerung falsch!
> richtig wäre:
> [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0}(\wurzel{x0+\Delta x}-\wurzel{x0})[/mm]
> und jetzt musst du erst zeigen, dass das gegen 0 geht.
> dazu erweiterst du mit [mm](\wurzel{x0+\Delta x}+\wurzel{x0})>0[/mm]
>
> Dann hast du im Zähler die Wurzel weg (3. binomi) und im
> Nenner was, was immer >0 für [mm]x_0>0[/mm]
> entsprechend für [mm]x_0=0[/mm]
also so:
[mm] $\limes_{{\Delta x} \to \ 0}\bruch{(\wurzel{x0+\Delta x}-\wurzel{x0})}{\wurzel{x0+{\Delta x}}+\wurzel{x0}} [/mm] > 0$
[mm] $\limes_{{\Delta x} \to \ 0}\wurzel{x0+{\Delta x}}= \wurzel{x0}$
[/mm]
wie kommt man darauf, mit was man erweitern muss, dass ich Zahler und Nenner die Wurzel raus fällt?
> > somit läuft [mm]{\Delta \ x}[/mm] gegen 0 und [mm]\wurzel{x0}[/mm] -
> > [mm]\wurzel{x0}[/mm] = 0, es ist jedes x0 > 0 stetig in x0. Kann man
> > dies so zeigen?
> Nein, siehe oben.
> >
> > [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0-}f(0+{\Delta \ x}=f(0)[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0-}f(0+{\Delta \ x}=f(0)[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0-}0=0[/mm]
> derselbe Fehler wie
> oben aber hier hast du ja nur [mm]\wurzel{\Delta x}[/mm] gegen 0.
> dass [mm]Wurzel\ge[/mm] 0 kannst du einfach vorraussetzen.
> > Am Graphen erkennt man dass die Funktion nicht negativ
> ist,
> > geht auch bei negativen Wurzeln schlecht. Also kann man
> > dies anders zeigen, oder muss man dies anhand des Graphen
> > oder der Überlegung wegen der Wurzel aus x0 ausschließen?
> ja!
Dies kann ich mir doch komplett sparen?, von links wären die Werte negativ, und eine negative Wurzel gibt es nicht.
> > [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0+}f(x0+{\Delta \ x}=f(x0)[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0+}f(0+{\Delta \ x}=f(0)[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0+}0=0[/mm]
> >
> > x0=0 ist rechtssetig stetig
> Was du hier noch machst versteh ich nicht, eigentlich doch
> gar nix?
[mm] $\limes_{{\Delta \x} \to \ 0+}(\wurzel{0+{\Delta \ x}})-\wurzel{0}$
[/mm]
somit ist der Ausdruck unter [mm] \wurzel{0+{\Delta x}} [/mm] positiv und die Funktion x0=0 ist rechtsseitig stetig, von links wäre der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das geht ja nicht. Bie der Stetigkeit wird der Grenzwert der Funktionswerte von links und rechts berechnet.
> > [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0-}\bruch{f(0+{\Delta \ x}-f(0)}{{\Delta \ x}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0-}\bruch{\wurzel{{\Delta \ x}}}{{\Delta \ x}} = 0[/mm]
>
> woher kommt hier das =0 das ist falsch!! unten hast dus ja
> auch richtig!
hier kommt nichts raus, wegen der negativen Werte und der Wurzel. Also kein Ergebnis, was soll ich dann hinter dem Istgleich hinschreiben?
> > aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen geht ja nicht.
> > Wo liegt der Fehler, oder passt es so?
> du kannst nicht links von 0 gehen, wei die fkt ja nur für
> [mm]x\ge0[/mm] definiert ist!
ich soll ja untersuchen was bei x0=0 passiert, weil es nicht definiert ist, oder?
> > [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0+}\bruch{f(0+{\Delta \ x}-f(0)}{{\Delta \ x}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0+}\bruch{\wurzel{{\Delta \ x}}}{{\Delta \ x}} = + unendlich[/mm]
>
> hier fehlt die zwischenzeile , mit
> [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0+}\bruch{\wurzel{{\Delta \ x}}}{{\Delta \ x}} = \bruch{1}{\wurzel{\Delta x}}=+ unendlich[/mm]
>
> > Bei x0 = 0 ist nicht differenzierbar
> dann richtig.
Ich kann es doch auch ohne dies [mm] $\bruch{1}{\wurzel{\Delta x}}$ [/mm] schreiben oder? Das Ergebnis bleibt das gleiche es divergiert gegen plus unendlich.
> > 2.
> > Hier habe ich mir die Graphen plotten lassen und somit
> > sieht man wo die Funktion nicht stetig bzw. nicht
> > differenzierbar ist. Gibt es da auch eine andere
> > Vorgehensweise. Ich habe nur immer die Schwierigkeit dies
> > dann noch mathematisch zu zeigen. Gibt es nicht eine Art
> > Kochrezept nachdem man vorgehen kann um sich die Sache zu
> > erleichtern? Ich bin für jeden Tipp dankbar. Vielen Dank im
> > Voraus.
> y=3x ist überall stetig aber in 0 nicht diffbar. du musst
> zeigen, dass die Steigung für x> 3 und für x< -3 ist. am
> einfachsten, indem du die Betragsfkt genau definierst
> f(x)=3x für [mm]x\ge[/mm] 0 und f(x)=-3x für [mm]x\le[/mm] 0.
> Patentrezept gibts leider nicht. aber an der Zeichnung
> sieht man oft direkt, wie man vorgehen muss, und das sollst
> du ja an einfachen Funktionen üben, dann kannst dus später
> auch bei Funktionen, die du nicht so leicht zeichnen
> kannst.
Bei der Stetigkeit wird der Grenzwert der Funktionswerte [mm] $f(x0+{\Delta x}-f(x0)$ [/mm] von links 0- und von rechts 0+ untersucht.
Bei der Differenzierbarkeit wird der Grenzwert der Sekantensteigung [mm] $\bruch{f(x0+{\Delta x}-f(x0)}{{\Delta x}}$ [/mm] von links 0- und von rechts 0+ untersucht.
a)
[mm] $f(x)=\left\{\begin{matrix}
y=-3x, & \mbox{für }\mbox{ -unendlich < x <= 0} \\
y= 3x, & \mbox{für }\mbox{ 0 < x < unendlich}
\end{matrix}\right.$
[/mm]
[mm] $\limes_{{\Delta x} \to \ 0-}-3(0+{\Delta x})-(-3(0))$
[/mm]
[mm] $\limes_{{\Delta x} \to \ 0-}-3{\Delta x} [/mm] = 0$
[mm] $\limes_{{\Delta x} \to \ 0+}3(0+{\Delta x})-(3(0))$
[/mm]
[mm] $\limes_{{\Delta x} \to \ 0+}3{\Delta x} [/mm] = 0$
ist in x0 = 0 stetig.
[mm] $\limes_{{\Delta x} \to \ 0-}\bruch{-3(0+{\Delta x})-(-3(0)}{{\Delta x}}$
[/mm]
[mm] $\limes_{{\Delta x} \to \ 0-}-\bruch{3{\Delta x}}{{\Delta x}} [/mm] = -3$
[mm] $\limes_{{\Delta x} \to \ 0+}\bruch{3(0+{\Delta x})-(3(0)}{{\Delta x}}$
[/mm]
[mm] $\limes_{{\Delta x} \to \ 0+}\bruch{3{\Delta x}}{{\Delta x}} [/mm] = 3$
ist bei x0=0 nicht differenzierbar. kann man so die Stetigkeit und Differenzierbarkeit zeigen? Was ich in meinem Mathebuch noch gefunden hab:
Eine Funktion f(x) ist nur dann differenzierbar, wenn [mm] $\limes_{{\Delta x} \to \ 0}(f(x0+{\Delta x}-f(x0)) [/mm] = 0$ ist. Die Differenzierbarkeit soll doch aber über den Differenzialquotienten ermittelt werden. Warum dann dieser Satz? Für was kann dies gut sein? Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Fr 05.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo itse
Ich möcht, wenn ich weiter antworten soll wirklich wissen auf welchem Niveau du bist! Uni? Fachhochschule, Schule.
> > Das hast du falsch geschrieben, und deshalb ist deine
> > Folgerung falsch!
> > richtig wäre:
> > [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0}(\wurzel{x0+\Delta x}-\wurzel{x0})[/mm]
> > und jetzt musst du erst zeigen, dass das gegen 0 geht.
> > dazu erweiterst du mit [mm](\wurzel{x0+\Delta x}+\wurzel{x0})>0[/mm]
>
> >
> > Dann hast du im Zähler die Wurzel weg (3. binomi) und im
> > Nenner was, was immer >0 für [mm]x_0>0[/mm]
> > entsprechend für [mm]x_0=0[/mm]
>
> also so:
>
> [mm]\limes_{{\Delta x} \to \ 0}\bruch{(\wurzel{x0+\Delta x}-\wurzel{x0})}{\wurzel{x0+{\Delta x}}+\wurzel{x0}} > 0[/mm]
NEIN, du hast ja nicht erweitert, sondern nen Nenner dazugeschrieben! mit a erweitern heisst mit a/a multiplizieren, dabei bleibt der wert des Ausdrucks erhalten!
> [mm]\limes_{{\Delta x} \to \ 0}\wurzel{x0+{\Delta x}}= \wurzel{x0}[/mm]
falsch! wo ist das [mm] x_0 [/mm] hingekommen?
Das erweitern war damit die wurzeln im Zähler wegfallen!
> wie kommt man darauf, mit was man erweitern muss, dass ich
> Zahler und Nenner die Wurzel raus fällt?
Du hast nicht erweitert, und man weiss halt, dass [mm] (a-b)*(a+b)=a^2-b^2 [/mm] ist, und man kriegt die Wurzeln im Zähler damit los NICHT im Nenner!
> > > somit läuft [mm]{\Delta \ x}[/mm] gegen 0 und [mm]\wurzel{x0}[/mm] -
> > > [mm]\wurzel{x0}[/mm] = 0, es ist jedes x0 > 0 stetig in x0. Kann man
> > > dies so zeigen?
> > Nein, siehe oben.
> > >
> > > [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0-}f(0+{\Delta \ x}=f(0)[/mm]
> >
> >
> > > [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0-}f(0+{\Delta \ x}=f(0)[/mm]
> >
> >
> > > [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0-}0=0[/mm]
> > derselbe Fehler
> wie
> > oben aber hier hast du ja nur [mm]\wurzel{\Delta x}[/mm] gegen 0.
> > dass [mm]Wurzel\ge[/mm] 0 kannst du einfach vorraussetzen.
> > > Am Graphen erkennt man dass die Funktion nicht
> negativ
> > ist,
> > > geht auch bei negativen Wurzeln schlecht. Also kann man
> > > dies anders zeigen, oder muss man dies anhand des Graphen
> > > oder der Überlegung wegen der Wurzel aus x0 ausschließen?
> > ja!
>
>
> Dies kann ich mir doch komplett sparen?, von links wären
> die Werte negativ, und eine negative Wurzel gibt es nicht.
>
Ja! die Aufgabe lautet doch auch für [mm] x_0>0 [/mm]
> >
> >
> > > [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0+}0=0[/mm]
> > >
> > > x0=0 ist rechtssetig stetig
> > Was du hier noch machst versteh ich nicht, eigentlich
> doch
> > gar nix?
>
>
> [mm]\limes_{{\Delta \x} \to \ 0+}(\wurzel{0+{\Delta \ x}})-\wurzel{0}[/mm]
>
> somit ist der Ausdruck unter [mm]\wurzel{0+{\Delta x}}[/mm] positiv
> und die Funktion x0=0 ist rechtsseitig stetig, von links
> wäre der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das geht ja
> nicht. Bie der Stetigkeit wird der Grenzwert der
> Funktionswerte von links und rechts berechnet.
Wenn die fkt nur für [mm] x\ge0 [/mm] definiert ist kann sie bei 0 nur von rechts stetig sein!
>
> > > [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0-}\bruch{f(0+{\Delta \ x}-f(0)}{{\Delta \ x}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0-}\bruch{\wurzel{{\Delta \ x}}}{{\Delta \ x}} = 0[/mm]
>
> >
> > woher kommt hier das =0 das ist falsch!! unten hast dus ja
> > auch richtig!
>
>
> hier kommt nichts raus, wegen der negativen Werte und der
> Wurzel. Also kein Ergebnis, was soll ich dann hinter dem
> Istgleich hinschreiben?
siehe oben, danach ist nicht gefragt, da f(x) nicht definiert! also gar nix dazu schreiben!
> > > aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen geht ja nicht.
> > > Wo liegt der Fehler, oder passt es so?
> > du kannst nicht links von 0 gehen, wei die fkt ja nur
> für
> > [mm]x\ge0[/mm] definiert ist!
>
>
> ich soll ja untersuchen was bei x0=0 passiert, weil es
> nicht definiert ist, oder?
> bei x=0 ist f(x)=0 definiert!
> > > [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0+}\bruch{f(0+{\Delta \ x}-f(0)}{{\Delta \ x}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0+}\bruch{\wurzel{{\Delta \ x}}}{{\Delta \ x}} = + unendlich[/mm]
>
> >
> > hier fehlt die zwischenzeile , mit
> > [mm]\limes_{{\Delta \ x} \to \ 0+}\bruch{\wurzel{{\Delta \ x}}}{{\Delta \ x}} = \bruch{1}{\wurzel{\Delta x}}=+ unendlich[/mm]
> >
> > > Bei x0 = 0 ist nicht differenzierbar
> > dann richtig.
>
>
> Ich kann es doch auch ohne dies [mm]\bruch{1}{\wurzel{\Delta x}}[/mm]
> schreiben oder? Das Ergebnis bleibt das gleiche es
> divergiert gegen plus unendlich.
es ist nicht falsch, aber da steht ja noch 0/0 wenn du nicht vorher kürzt!
>
> > > 2.
> > > Hier habe ich mir die Graphen plotten lassen und
> somit
> > > sieht man wo die Funktion nicht stetig bzw. nicht
> > > differenzierbar ist. Gibt es da auch eine andere
> > > Vorgehensweise. Ich habe nur immer die Schwierigkeit dies
> > > dann noch mathematisch zu zeigen. Gibt es nicht eine Art
> > > Kochrezept nachdem man vorgehen kann um sich die Sache zu
> > > erleichtern? Ich bin für jeden Tipp dankbar. Vielen Dank im
> > > Voraus.
> > y=3x ist überall stetig aber in 0 nicht diffbar. du musst
> > zeigen, dass die Steigung für x> 3 und für x< -3 ist. am
> > einfachsten, indem du die Betragsfkt genau definierst
> > f(x)=3x für [mm]x\ge[/mm] 0 und f(x)=-3x für [mm]x\le[/mm] 0.
> > Patentrezept gibts leider nicht. aber an der Zeichnung
> > sieht man oft direkt, wie man vorgehen muss, und das sollst
> > du ja an einfachen Funktionen üben, dann kannst dus später
> > auch bei Funktionen, die du nicht so leicht zeichnen
> > kannst.
>
> Bei der Stetigkeit wird der Grenzwert der Funktionswerte
> [mm]f(x0+{\Delta x}-f(x0)[/mm] von links 0- und von rechts 0+
> untersucht.
>
> Bei der Differenzierbarkeit wird der Grenzwert der
> Sekantensteigung [mm]\bruch{f(x0+{\Delta x}-f(x0)}{{\Delta x}}[/mm]
> von links 0- und von rechts 0+ untersucht.
>
>
> a)
>
> [mm]$f(x)=\left\{\begin{matrix}
y=-3x, & \mbox{für }\mbox{ -unendlich < x <= 0} \\
y= 3x, & \mbox{für }\mbox{ 0 < x < unendlich}
\end{matrix}\right.$[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{{\Delta x} \to \ 0-}-3(0+{\Delta x})-(-3(0))[/mm]
>
> [mm]\limes_{{\Delta x} \to \ 0-}-3{\Delta x} = 0[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{{\Delta x} \to \ 0+}3(0+{\Delta x})-(3(0))[/mm]
>
> [mm]\limes_{{\Delta x} \to \ 0+}3{\Delta x} = 0[/mm]
>
> ist in x0 = 0 stetig.
>
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> [mm]\limes_{{\Delta x} \to \ 0-}\bruch{-3(0+{\Delta x})-(-3(0)}{{\Delta x}}[/mm]
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> [mm]\limes_{{\Delta x} \to \ 0-}-\bruch{3{\Delta x}}{{\Delta x}} = -3[/mm]
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> [mm]\limes_{{\Delta x} \to \ 0+}\bruch{3(0+{\Delta x})-(3(0)}{{\Delta x}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{{\Delta x} \to \ 0+}\bruch{3{\Delta x}}{{\Delta x}} = 3[/mm]
>
> ist bei x0=0 nicht differenzierbar. kann man so die
> Stetigkeit und Differenzierbarkeit zeigen? Was ich in
> meinem Mathebuch noch gefunden hab:
richtig, der Satz, weil links und rechseitiger GW der Sekantensteigungen nicht übereinstimmen wär gut.
> Eine Funktion f(x) ist nur dann differenzierbar, wenn
> [mm]\limes_{{\Delta x} \to \ 0}(f(x0+{\Delta x}-f(x0)) = 0[/mm] ist.
Dieser Satz ist richtig, WENN schon [mm] \limes_{{\Delta x} \to \ 0}(f(x0+{\Delta x}-f(x0)) [/mm] [/mm] nicht 0 ist muss man gar nicht erst versuchen die Differenzierbarkeit zu untersuchen! dann ists sowieso nicht diffb.
aber wenn [mm] \limes_{{\Delta x} \to \ 0}(f(x0+{\Delta x}-f(x0)) [/mm] = 0[/mm] ist. dann muss man noch den Quotienten untersuchen. Beispiel dein |3x| da ist der GW bei 0 0 aber die Differenzenquotienten verschieden.
bei f(x)=1 für x>0 und =0 für [mm] x\le [/mm] 0 gibts schon [mm] \limes_{{\Delta x} \to \ 0}(f(x0+{\Delta x}-f(x0)) [/mm] = 0[/mm] nicht.
> Die Differenzierbarkeit soll doch aber über den
> Differenzialquotienten ermittelt werden. Warum dann dieser
> Satz? Für was kann dies gut sein? Vielen Dank.
Gruss leduart
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