Stetigkeit, Diffbarkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] sei derfiniert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}*cos(\bruch{1}{x}),& x \not= 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}.
[/mm]
Untersuchen Sie die Funktion f auf Stetigkeit. Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt x [mm] \in \IR [/mm] differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung. Ist f' stetig? |
Guten Morgen,
Es würde mich freuen, wenn jemand Mal über meine Lösung drüber schauen könnte. Es gibt bestimmt sowohl inhaltlich, als auch formal einiges zu verbessern.
habe hier folgendes versucht:
Die Funktion [mm] f:\IR \backslash \{ 0 \} [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] x^{2}*cos(\bruch{1}{x}) [/mm] ist auf ganz [mm] \IR \backslash \{ 0 \}
[/mm]
als Produkt und Komposition differenzierbarer Funktionen differenzierbar. [mm] (\*)
[/mm]
Es gilt:
f': [mm] \IR \backslash \{ 0 \} [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f'(x) = [mm] 2x*cos(\bruch{1}{x})+sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
f ist in [mm] x_{0} [/mm] = 0 stetig wegen [mm] (\*) [/mm] und es gilt:
[mm] \limes_{h<0}_{h\rightarrow 0} [/mm] f(0+h) = 0 = f(0) = [mm] \limes_{h>0}_{h\rightarrow 0} [/mm] f(0+h)
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist stetig auf ganz [mm] \IR (\*\*)
[/mm]
Wegen [mm] (\*), (\*\*) [/mm] und
f'(0) = [mm] \limes_{h<0}_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h} [/mm] = 0 = [mm] \limes_{h<0}_{h\rightarrow 0} \bruch{h^{2}cos(\bruch{1}{h})}{h} [/mm] = 0 = [mm] \limes_{h>0}_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h} [/mm] ist f auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar.
Somit existiert f': [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f'(x) = [mm] \begin{cases} 2x*cos(\bruch{1}{x})+sin(\bruch{1}{x}),& x \not= 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}.
[/mm]
Beh: f' ist unstetig in [mm] x_{0} [/mm] = 0
Bew:
Wähle [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{\pi}{2}+2 \pi n} [/mm] und [mm] y_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi + 2n \pi}. [/mm] Es gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_{n} [/mm] = 0.
Aber: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f'(x_{n}) [/mm] = 1 und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f'(y_{n}) [/mm] = + [mm] \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f' ist unstetig in [mm] x_{0} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f' ist unstetig.
LG Loriot95
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Hallo!
> Die Funktion f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] sei derfiniert durch
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{2}*cos(\bruch{1}{x}),& x \not= 0 \\
0, & x = 0 \end{cases}.[/mm]
>
> Untersuchen Sie die Funktion f auf Stetigkeit. Zeigen Sie,
> dass f in jedem Punkt x [mm]\in \IR[/mm] differenzierbar ist und
> berechnen Sie die Ableitung. Ist f' stetig?
> Es würde mich freuen, wenn jemand Mal über meine Lösung
> drüber schauen könnte. Es gibt bestimmt sowohl
> inhaltlich, als auch formal einiges zu verbessern.
> habe hier folgendes versucht:
>
> Die Funktion [mm]f:\IR \backslash \{ 0 \}[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f(x) =
> [mm]x^{2}*cos(\bruch{1}{x})[/mm] ist auf ganz [mm]\IR \backslash \{ 0 \}[/mm]
>
> als Produkt und Komposition differenzierbarer Funktionen
> differenzierbar. [mm](\*)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (sogar unendlich oft db.)
> Es gilt:
>
> f': [mm]\IR \backslash \{ 0 \}[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f'(x) =
> [mm]2x*cos(\bruch{1}{x})+sin(\bruch{1}{x})[/mm]
> f ist in [mm]x_{0}[/mm] = 0 stetig wegen [mm](\*)[/mm] und es gilt:
> [mm]\limes_{h<0}_{h\rightarrow 0}[/mm] f(0+h) = 0 = f(0) =
> [mm]\limes_{h>0}_{h\rightarrow 0}[/mm] f(0+h)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist stetig auf ganz [mm]\IR (\*\*)[/mm]
Dass f wegen (*) in 0 stetig ist, sehe ich nicht ein. So einen Satz gibt es nicht.
Das mit den Limites ist ein Beweis, aber du hast ja nur die Grenzwerte hingeschrieben, gar nicht den Weg dorthin. Das gehört dazu (ist aber nicht schwer).
> Wegen [mm](\*), (\*\*)[/mm] und
> f'(0) = [mm]\limes_{h<0}_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h}[/mm]
> = 0 = [mm]\limes_{h<0}_{h\rightarrow 0} \bruch{h^{2}cos(\bruch{1}{h})}{h}[/mm]
> = 0 = [mm]\limes_{h>0}_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h}[/mm]
> ist f auf ganz [mm]\IR[/mm] differenzierbar.
Man hätte zwar noch kurz eine Bemerkung zu den Grenzwerten machen können, aber ansonsten ok (s.o.).
> Somit existiert f': [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f'(x) = [mm]\begin{cases} 2x*cos(\bruch{1}{x})+sin(\bruch{1}{x}),& x \not= 0 \\
0, & x = 0 \end{cases}.[/mm]
> Beh: f' ist unstetig in [mm]x_{0}[/mm] = 0
> Bew:
>
> Wähle [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\bruch{\pi}{2}+2 \pi n}[/mm] und [mm]y_{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\pi + 2n \pi}.[/mm] Es gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_{n}[/mm] = 0.
>
> Aber: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f'(x_{n})[/mm] = 1 und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f'(y_{n})[/mm] = + [mm]\infty[/mm]
Müsste es nicht [mm] $\lim_{n\to\infty}f'(y_n) [/mm] = 0$ sein. [mm] $(y_n)$ [/mm] ist eine Nullfolge, Cosinus beschränkt.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f' ist unstetig in [mm]x_{0}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f' ist
> unstetig.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Alles klar. Vielen Dank :)
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