Stetigkeit & Diffbar.keit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 03.06.2012 | | Autor: | Blaubart |
| Aufgabe | Sei [mm] f_{i}: \IR^{2} \to \IR, [/mm] i= 1,2, mit
[mm] f_{1}(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ (x,y)=(0,0)} \end{cases}
[/mm]
[mm] f_{2}(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{3}y-xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ (x,y)=(0,0)} \end{cases}
[/mm]
a.) Ist [mm] f_{i} [/mm] stetig auf [mm] \IR^{2}?
[/mm]
b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen [mm] \bruch{\partial f_{i}}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f_{i}}{\partial y} [/mm] (i = 1, 2) auf [mm] R^{2}. [/mm] Ist [mm] f_{i} [/mm] (i = 1, 2) stetig di fferenzierbar? |
Ahoi,
ich habe schon Probleme eine Abschätzung bei [mm] f_{1} [/mm] zu finden [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} f_{i} \to [/mm] 0. Für (-1,1) gilt ja [mm] x^{2}>x^{4} [/mm] was mir die Sache erschwert den Bruch so abzuschätzen:
[mm] \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}<\bruch{x^{3}+xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}<\bruch{x^{2}+y^{4}}{x^{2}+y^{4}}*x=1*x
[/mm]
Was ja nicht aufgeht, wegen [mm] y^{2}>y^{4} [/mm] und [mm] x^{3} [/mm] kann ja auch eine negative Zahl sein...
Bei [mm] f_{2} [/mm] ist es in etwa das selbe. Gibt es da nicht noch ein zwei kniffe die man anwenden kann? Wir kennen für die Beweise nur Abschätzungen und für die Gegenbeweise nutzen wir bis jetzt immer solche Geschichten wie x=y, x=0, y=0.
Grüße Blaubart
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[mm] f_i [/mm] ist stetig in [mm] (x_0,y_0)\in [/mm] M wenn für jede Folge [mm] (x_n,y_n)\in [/mm] M, die gegen [mm] (x_0,y_0) [/mm] konvergiert gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_i(x_n,y_n)=f_i(x_0,y_0)
[/mm]
[mm] f_1:
[/mm]
Für [mm] (x_0,y_0)\not=(0,0) [/mm] ist es klar.
Sei [mm] x_n=\bruch{1}{n^2} [/mm] und [mm] y_n=\bruch{1}{n}
[/mm]
Dann ist: [mm] f(x_n,y_n)=f(\bruch{1}{n^2},\bruch{1}{n})=\bruch{\bruch{1}{n^4}}{\bruch{2}{n^4}}=\bruch{1}{2}\not=0
[/mm]
[mm] f_1 [/mm] nicht stetig in (0,0)
Das andere analog, oder über Abschätzungen - je nachdem ob es stetig ist oder nicht .
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