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| Aufgabe | Folgern Sie mit dem Zwischenwertsatz: Eine stetige Funktion, die das kompakte Intervall
[a,b] in sich abbildet, hat in [a,b] einen Fixpunkt. |
Hallo
Kann mir jemand dabei helfen? Ich habe keine Ahnung wie das gehen soll. Wie kann man denn ein Intervall auf sich selbst abbilden? Die einzige Funktion die mir dafür einfallen würde ist eine f(x) = x, die nicht nur einzelne Punkte sondern ein ganzes Intervall auf sich abbildet. Somit wären ja alle Punkte Fixpunkte
Gruß Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Matthias,
> Folgern Sie mit dem Zwischenwertsatz: Eine stetige
> Funktion, die das kompakte Intervall
> [a,b] in sich abbildet, hat in [a,b] einen Fixpunkt.
> Hallo
>
> Kann mir jemand dabei helfen? Ich habe keine Ahnung wie das
> gehen soll. Wie kann man denn ein Intervall auf sich selbst
> abbilden? Die einzige Funktion die mir dafür einfallen
> würde ist eine f(x) = x, die nicht nur einzelne Punkte
und was ist mit der Geraden $f(x):=m*x+n$, wobei $m,n$ so gewählt, dass $f(a)=b$ und $f(b)=a$?
(Also $m=-1$ und n=a+b.)
> sondern ein ganzes Intervall auf sich abbildet. Somit wären
> ja alle Punkte Fixpunkte
Och, da gibt's schon einige mehr. Zum Beispiel ist für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Funktion [mm] $f_n: [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1]$ mit [mm] $f_n(x):=x^n$ [/mm] eine solche Funktion, die stetig ist, damit haben wir in diesem speziellen Fall von $[a,b]$ schon einmal (abzählbar) [mm] $\infty$ [/mm] viele Funktionen mit der Eigenschaft gefunden. Und alleine mit diesen kann man sicher auch allgemein für ein beliebiges Kompaktum $[a,b]$ mittels einer geeigneten Substitution dann (abzählbar) [mm] $\infty$ [/mm] viele stetige Funktionen von $[a,b]$ auf $[a,b]$ angeben.
Zudem heißt das ja nicht, wenn $f: [a,b] [mm] \to [/mm] [a,b]$ stetig ist, dass $f$ auch injektiv sein muss. So ist z.B. $g: [mm] [-\pi,\pi] \to [-\pi,\pi]$ [/mm] mit [mm] $g(x):=\pi*\sin(x)$ [/mm] eine durchaus nicht injektive stetige Funktion von [mm] $[-\pi,\pi]$ [/mm] auf [mm] $[-\pi,\pi]$. [/mm] Und damit kann man auch schon wieder sehr viele stetige Funktionen basteln, die die Eigenschaft haben:
[mm] $g_n: [-\pi,\pi] \to [-\pi,\pi]$ [/mm] stetig und surjektiv mit [mm] $g_n(x):=\pi*\sin(n*x)$
[/mm]
Wobei die obigen Funktionen jetzt einfach nur sehr elementar und zugänglich sind (stetige Funktionen müssen ja nicht notwendig diff'bar sein, meine Beispiele oben sind dahingehend aber sehr "handlich", da sie alle diff'bar sind). In Wahrheit kann man sich auch mal den Graph einer stetigen Funktion $[a,b]$ auf $[a,b]$ auch "hinkritzeln", man muss nur beachten, dass jedem $x$-Wert auch genau ein $y$-Wert zugeordnet wird und dass auf der $y$-Achse das Intervall $[a,b]$ auch ausgeschöpft wird.
Also: Es gibt "verdammt viele" stetige Funktionen von $[a,b]$ auf $[a,b]$, ich würde sogar sagen, es gibt überabzählbar [mm] $\infty$ [/mm] viele (allerdings werde ich das nicht beweisen), sofern $[a,b] [mm] \not=\emptyset$ [/mm] und sofern $[a,b]$ nicht einpunktig.
Zudem ist die Aufgabenstellung ja anders. Dort steht gar nicht, dass $f: [a,b] [mm] \to [/mm] [a,b]$ stetig und surjektiv sein sollte (dann spräche man dort von einer stetigen Abbildung $[a,b]$ auf $[a,b]$), sondern dort steht etwas von einer stetigen Abbildung $[a,b]$ in $[a,b]$, das ist "weniger".
Mit anderen Worten:
Es geht nicht nur um surjektive Abbildungen $f: [a,b] [mm] \to [/mm] [a,b]$, sondern es geht generell um stetige Abbildungen $f: [a,b] [mm] \to [/mm] [a,b]$, d.h. nur, dass $f([a,b]) [mm] \subseteq [/mm] [a,b]$ vorausgesetzt wird. Und damit ist für eine jede feste Zahl $c [mm] \in [/mm] [a,b]$ die Funktion [mm] $f_c: [/mm] [a,b] [mm] \to [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f_c(x):=c$ [/mm] auch eine solche, stetige Funktion.
Nun zu der Aufgabenstellung:
Sei $f:[a,b] [mm] \to [/mm] [a,b]$ stetig.
1. Fall:
Ist $f$ konstant, so existiert ein $c [mm] \in [/mm] [a,b]$ mit $f(x)=c$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$. Insbesondere gilt dann $f(c)=c$, also: $c$ ist Fixpunkt.
2. Fall:
Sei nun $f$ nicht konstant. Dann ist [mm] $f([a,b])=:W_f \subseteq [/mm] [a,b]$ mindestens zweielementig, d.h. es existieren [mm] $y_1,y_2 \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $y_1 \not=y_2$, [/mm] so dass man [mm] $y_1=f(x_1)$ [/mm] und [mm] $y_2=f(x_2)$ [/mm] mit [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] [a,b]$ und [mm] $x_1 \not=x_2$ [/mm] schreiben kann. Und ich denke, damit musst Du nun weiter überlegen, wie man damit mittels Anwendung des Zwischenwertsatzes dann beweist, dass es dann ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ gibt mit [mm] $f(x_0)=x_0$ [/mm] (dazu habe ich mir noch keine weiteren Gedanken gemacht). Ggf. durch Betrachtung einer "stetigen Hilfsfunktion" (mit Definitionsbereich $[a,b]$), die aus $f$ und den [mm] $y_{1,2}$ [/mm] bzw. [mm] $x_{1,2}$ [/mm] irgendwie "zusammengebastelt" werden sollte...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
was vll. bei der ganzen Aufgabe wesentlich hilft, ist folgendes:
Für eine konstante Funktion $f: [a,b] [mm] \to [/mm] [a,b]$ mit ist die Behauptung klar (dazu: siehe Beitrag oben). Insbesondere ist damit auch der Fall der Einpunktigkeit von $[a,b]$ abgehandelt.
Wir können also o.E. annehmen:
Sei $f:[a,b] [mm] \to [/mm] [a,b]$ stetig und nicht konstant. Weil $[a,b]$ kompakt, nimmt $f$ auf $[a,b]$ sowohl sein Maximum an, d.h. es gibt ein [mm] $x_M \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f(x_M) \ge [/mm] f(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$, und $f$ nimmt sein Minimum an, d.h. es gibt ein [mm] $x_m \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f(x_m) \le [/mm] f(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$.
Insbesondere gilt, weil $f$ nicht konstant ist, damit [mm] $f(x_m) [/mm] < [mm] f(x_M)$.
[/mm]
(Beachte zudem, dass [mm] $(\star)$ [/mm] $a [mm] \le f(x_m) [/mm] < [mm] f(x_M) \le [/mm] b$.)
Nun betrachte $g(x):=f(x)-x$ und zeige mit dem ZWS, dass $g$ eine Nullstelle in $[a,b]$ haben muss. [mm] ($(\star)$ [/mm] sollte dabei helfen.)
P.S.:
Mir ist gerade mal aufgefallen:
Das obige ist zwar auch nicht falsch, aber ich glaube, man kann auch so begründen, dass $g$ (mindestens) eine Nullstelle in $[a,b]$ haben muss (also die Argumentation mit der Maximalstelle/Minimalstelle erscheint mir gerade überflüssig):
Denn:
$g$ ist offensichtlich stetig auf $[a,b]$, und wegen $a [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] b$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ gilt sicherlich $g(a)=f(a)-a [mm] \ge [/mm] 0$ und $g(b)=f(b) -b [mm] \le [/mm] 0$. Und fertig ist man ^^
(Und das klappt übrigens genauso für konstante stetige Funktionen $[a,b]$ in $[a,b]$, auch, wenn $[a,b]$ einpunktig.)
Oder übersehe ich hier was? (Falls nicht, dann wolte ich hier offenbar mit Kanonen auf Spatzen schießen ^^)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Fr 25.04.2008 | | Autor: | youngindy |
Hi Marcel.
Vielen Dank  Jetzt hab ich das verstanden.
Beste Grüße, Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Fr 25.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Oder übersehe ich hier was?
Nein, genau so macht es am einfachsten.
> (Falls nicht, dann wolte ich
> hier offenbar mit Kanonen auf Spatzen schießen ^^)
Das waren eher schon Atombomben :p
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Oder übersehe ich hier was?
>
> Nein, genau so macht es am einfachsten.
>
> > (Falls nicht, dann wolte ich
> > hier offenbar mit Kanonen auf Spatzen schießen ^^)
>
> Das waren eher schon Atombomben :p
am Anfang wollte ich erst mit Bolzano-Weierstraß ran (stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind beschränkt, nun nehme ich eine Folge her mit ....), und dann ist mir eingefallen, dass dort doch eigentlich nur was vom ZWS steht und da habe ich mich gefragt, ob's nicht vll. doch zu kompliziert wird 
Aber manchmal denkt man automatisch an die ganzen theoretischen Dinge, die man mal gelernt hat, so dass man sie anwendet, um dann schlussendlich festzustellen:
Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht
Aber wie gesagt:
Das Ergebnis erhält man ja auch so, dass die Funktion ihr Maximum/Minimum annimmt usw. Nur ist das für die Lösung der Aufgabe eigentlich vollkommen überflüssig ^^
Aber was soll's: So schnell fliegen mir hier keine Spatzen mehr rum :D
Gruß,
Marcel
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