Stetigkeit + Integrierbarkeit < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 03.01.2006 | | Autor: | Canan |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich arbeite zurzeit an dem Thema "Zusammenhang zwischen den Begriffen Differenzierbarkeit, Stetigkeit, Integrierbarkeit und Existenz einer Stammfunktion". Dazu bearbeite ich folgende Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion
2 für x größer gleich 1
f(x)=
1 für x kleiner 1
a) Zeigen Sie, dass f nicht stetig ist und keine Stammfunktion besiztz.
b) Begründen Sie anschaulich, dass f integrierbar ist.
Aufgabe a) habe ich zur Hälfte gelöst:
Wie folgt habe ich bewiesen, dass f nicht stetig ist:
lim [mm] f(x0)\not= [/mm] f(x0)
x-->x0
da
für x größer gleich 1 x-->2
für x kleiner 1 x-->1
Woran erkenne ich jetzt aber, dass f keine Stammfunktion besitzt?
Auch Aufgabe b) habe ich zur Hälfte gelöst:
Dass f integrierbar ist, beweist sich mir darüber, dass Ober- sowie Untersumme den gleichen Grenzwert haben:
meiner Rechnung nach -6. Stimmt dieser?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich wirklich sehr dankbar!
Gruß,
Canan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Di 03.01.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Ich arbeite zurzeit an dem Thema "Zusammenhang zwischen den
> Begriffen Differenzierbarkeit, Stetigkeit, Integrierbarkeit
> und Existenz einer Stammfunktion". Dazu bearbeite ich
> folgende Aufgabe:
>
> Gegeben ist die Funktion
>
> 2 für x größer gleich 1
> f(x)=
> 1 für x kleiner 1
>
> a) Zeigen Sie, dass f nicht stetig ist und keine
> Stammfunktion besiztz.
> b) Begründen Sie anschaulich, dass f integrierbar ist.
>
> Aufgabe a) habe ich zur Hälfte gelöst:
>
> Wie folgt habe ich bewiesen, dass f nicht stetig ist:
>
> lim [mm]f(x0)\not=[/mm] f(x0)
> x-->x0
>
> da
>
> für x größer gleich 1 x-->2
> für x kleiner 1 x-->1
>
> Woran erkenne ich jetzt aber, dass f keine Stammfunktion
> besitzt?
Mmh - gibt es nicht irgendeinen Satz - so was wie: wenn die Funktion ..., dann besitzt sie keine Stammfunktion. ? Weiß aber nicht - vielleicht muss man das auch anders beweisen...
> Auch Aufgabe b) habe ich zur Hälfte gelöst:
>
> Dass f integrierbar ist, beweist sich mir darüber, dass
> Ober- sowie Untersumme den gleichen Grenzwert haben:
> meiner Rechnung nach -6. Stimmt dieser?
Ich weiß nicht so ganz, wie du auf einen Wert kommst, wo doch gar keine Grenzen gegeben sind - oder hast du uns die vorenthalten? Ich denke, deine Begründung mit Unter- und Obersumme kann man machen. Ich hätte einfach gesagt, dass das Integral ja die Fläche unter einer Funktion ist, und bei dieser Funktion hast du ja quasi zwei Rechtecke als Flächen unter der Funktion, und diese haben natürlich einen Flächeninhalt (der aber wiederum von den Grenzen abhängt...).
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Canan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich arbeite zurzeit an dem Thema "Zusammenhang zwischen den
> Begriffen Differenzierbarkeit, Stetigkeit, Integrierbarkeit
> und Existenz einer Stammfunktion". Dazu bearbeite ich
> folgende Aufgabe:
>
> Gegeben ist die Funktion
>
> 2 für x größer gleich 1
> f(x)=
> 1 für x kleiner 1
>
> a) Zeigen Sie, dass f nicht stetig ist und keine
> Stammfunktion besizt.
> b) Begründen Sie anschaulich, dass f integrierbar ist.
>
> Aufgabe a) habe ich zur Hälfte gelöst:
>
> Wie folgt habe ich bewiesen, dass f nicht stetig ist:
>
> lim [mm]f(x0)\not=[/mm] f(x0)
> x-->x0
>
> da
>
> für x größer gleich 1 x-->2
> für x kleiner 1 x-->1
>
> Woran erkenne ich jetzt aber, dass f keine Stammfunktion
> besitzt?
warum dies? Du sollst doch zeigen (= begründen), dass f integrierbar ist, also eben eine Stammfunktion existiert!
>
> Auch Aufgabe b) habe ich zur Hälfte gelöst:
>
> Dass f integrierbar ist, beweist sich mir darüber, dass
> Ober- sowie Untersumme den gleichen Grenzwert haben:
> meiner Rechnung nach -6. Stimmt dieser?
>
Diesen Wert können wir nicht überprüfen, weil wir - wie Bastiane schon gefragt hat - die Integrationsgrenzen nicht kennen.
Aber grundsätzlich ist f integrierbar:
überprüfe doch einfach, ob dies hier eine Stammfunktion ist:
[mm] $F(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } x \ge 1 \\ 1x, & \mbox{für } x < 1 \end{cases}$
[/mm]
Was sagst du nun?! Damit kannst du sogar das Integral [mm] $\integral_{0}^{2} [/mm] {f(x) \ dx}$ berechnen, oder?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Canan |
Danke erstmal für die Antworten, aber so ganz verstanden habe ich das doch noch nicht. Es ist so,dass anhand dieser Aufgabe hätte deutlich werden sollen, dass es Funktionen gibt, die zwar integrierbar sind, aber keine Stammfunktion haben. Kennen Sie vielleicht ein anderes Beispiel anhand dessen diese Aussage zu verstehen ist?
Gruß,
Canan
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Hi, Canan,
> Danke erstmal für die Antworten, aber so ganz verstanden
> habe ich das doch noch nicht. Es ist so, dass anhand dieser
> Aufgabe hätte deutlich werden sollen, dass es Funktionen
> gibt, die zwar integrierbar sind, aber keine Stammfunktion
> haben. Kennen Sie vielleicht ein anderes Beispiel anhand
> dessen diese Aussage zu verstehen ist?
Ich vermute, dass Du in folgendem Link eine Antwort findest:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion
Für Deine Frage ist folgender Absatz wichtig:
"Für jede integrierbare Funktion f ist eine Integralfunktion F definiert durch
F(x) = [mm] \integral_{a}^{x}{f(t)dt}
[/mm]
Diese Funktion ist stetig, und falls auch f stetig ist, ist F nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion von f.
Ist jedoch f auf [a,b] integrierbar, aber nicht überall stetig (!!!), dann gilt zwar für alle c,d aus [a,b]
[mm] \integral_{c}^{d}{f(x)dx} [/mm] = F(d) - F(c)
aber F ist in diesem Falle nicht überall differenzierbar und somit keine Stammfunktion von f."
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Canan |
ok, warum sie keine Stammfunktion besitzt, habe ich verstanden,danke!aber woher weiss ich, ob eine Funktion integrierbar ist?Ist die aus der Aufgabe nur in bestimmmten Intervallen integrierbar oder generell?
Gruß,
Canan
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Hi, canan,
> ok, warum sie keine Stammfunktion besitzt, habe ich
> verstanden,danke!aber woher weiss ich, ob eine Funktion
> integrierbar ist?Ist die aus der Aufgabe nur in bestimmmten
> Intervallen integrierbar oder generell?
Integrierbar ist - vereinfacht gesagt - jede Funktion, bei der das bestimmte Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)dx} [/mm] existiert. Noch einfacher gesagt: Sobald Du die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse ausrechnen kannst, ist die Funktion integrierbar.
Folgende Funktionen sind sicher integrierbar:
(1) Auf [a; b] monotone Funktionen, ja sogar
(2) auf [a; b] stückweise monotone Funktionen (=Treppenfunktionen).
(3) Auf [a; b] stetige Funktionen, ja sogar
(4) auf [a; b] stückweise stetige Funktionen.
Die von Dir betrachtete Funktion f ist demnach integrierbar (Du kannst ja jedes bestimmte Integral mit Grenzen innerhalb des Definitionsbereichs ausrechnen!), hat aber keine Stammfunktion da f(x) bei x=1 unstetig ist.
Jetzt klar?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Do 05.01.2006 | | Autor: | Canan |
Danke, ok, irgendwie ziemlich logisch. Eine Frage hätte ich aber trotzdem noch: Wenn selbst unstetige Funktionen integrierbar sind, wie sehen dann Funktionen aus, die nicht integrierbar sind?
Gruß,
Canan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Do 05.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Frage lässt sich so nicht allgemein beantworten.
Stetige Funktionen sind ja auch nicht immer integrierbar. Nur auf beschränkten Intervallen kann man sich da sicher sein. (So ist etwa jede von der Nullfunktion verschiedene konstante Funktion auf [mm] $\IR$ [/mm] nicht integrierbar.)
Nicht integrierbar auf dem offenen Intervall $(0,1)$ ist etwa die dort durchaus stetige Funktion $f(x) = [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] (sie lässt sich nur nicht in $0$ stetig fortsetzen).
Wenn du eine Funktion auf $[0,1]$ haben willst, kannst du zum Beispiel die Funktion nehmen, die auf den rationalen Zahlen den Wert 1 und auf den irrationalen Zahlen den Wert 0 annimmt. Diese Funktion ist gemäß des Integralbegriffs aus der Schule (Riemann-Integral) nicht integrierbar (dagegen aber sehr wohl Lebesgue-integrierbar, was du vielleicht mal im Studium kennenlernen wirst).
Liebe Grüße
Julius
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