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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | $f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2, & \mbox{für } (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } x=y=0 \end{cases}$\\
Überprüfen sie diese Funktion auf Stetigkeit |
Hallo
eine Frage zu dieser Aufgabe:
Ich möchte die Stetigkeit überprüfen, dass sie für ungleich 0 stetig ist ist mir klar.
Für $x=y=0$ schau ich mir doch einfach den Grenzwert von verschiedenen Richtungen an oder?
Hab ich versucht doch ich komm nicht weiter wenn ich x=y setze denn:
$$\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2}{\wurzel{|x|}+x^2$$ bereitet mir da Probleme.
Wenn ich es mit der Regel von L Hospital versuche komme ich auch nciht weiter da ich nicht weiß wie ich den Betrag ableiten soll.
Danke schon mal für eure Hilfe
> Hallo HappyHaribo,
>
>
> eine Anmerkung:
>
> > Für [mm]x=y=0[/mm] hab ich das so gemacht:
> > [mm]x=r*cos(\alpha);y=r*sin(\alpha)[/mm][mm] \\[/mm]
> > [mm]\limes_{r \rightarrow 0} \bruch{cos(r*cos(\alpha)*r^2*sin(\alpha))-1}{r*cos(\alpha)*r*sin(\alpha)}=\bruch{cos(r^3*\bruch{1}{2}sin(2\alpha)*sin(\alpha))}{r^2*\bruch{1}{2}sin(2\alpha)}$\\[/mm]
>
> >
> > Ok dass dann einmal mit der Regel von L Hospital oben und
> > unten Abgeleitet und dann etwas zusammengefasst und dann
> > hab ich folgendes erhalten: [mm]\\[/mm]
> > [mm]\limes_{r \rightarrow 0}3r*sin(\alpha)(-sin(r^3\bruch{1}{2}sin(2\alpha*sin(\alpha))=0[/mm][mm] \\[/mm]
>
> Ich sehe nicht, wie man so Stetigkeit im Nullpunkt
> nachweisen kann.
>
> Aus [mm]g\colon\IR^2\to\IR[/mm] mit
>
> [mm]\lim_{r\to0}g(r*\cos(\alpha),r*\sin(\alpha))=g(0,0)[/mm]
>
> für alle [mm]\alpha\in\IR[/mm] folgt jedenfalls noch lange nicht,
> dass [mm]g[/mm] im Nullpunkt stetig ist.
Aber wenn ich Stetigkeit zeigen will kann ich doch mit den Polarkoordinaten arbeiten. Und dann das r gegen 0 laufen lassen.
Ich kann natürlich auch einmal x=0 und [mm] $y\not=0$ [/mm] nehmen und dann y=0 und [mm] $x\not=0$. [/mm] Das ist ja das selbe oder?
In den meisten Aufgaben die ich gerechnet habe hab ich das auch so gemacht.
Hier mal ein Beispiel von einer Aufgabe bei der ich die Stetigkeit zeige:
http://www.bilder-hochladen.net/files/l45f-1-c4ca-jpg.html
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mi 18.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2, & \mbox{für } (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } x=y=0 \end{cases}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> Überprüfen sie diese Funktion auf Stetigkeit
>
> Hallo
> eine Frage zu dieser Aufgabe:
> Ich möchte die Stetigkeit überprüfen, dass sie für
> ungleich 0 stetig ist ist mir klar.
> Für [mm]x=y=0[/mm] schau ich mir doch einfach den Grenzwert von
> verschiedenen Richtungen an oder?
> Hab ich versucht doch ich komm nicht weiter wenn ich x=y
> setze denn:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2}{\wurzel{|x|}+x^2[/mm]
> bereitet mir da Probleme.
> Wenn ich es mit der Regel von L Hospital versuche komme
> ich auch nciht weiter da ich nicht weiß wie ich den Betrag
> ableiten soll.
Es ist 0 [mm] \le \bruch{x^2}{\wurzel{|x|}+x^2} \le \bruch{x^2}{\wurzel{|x|}}=|x|*\wurzel{|x|} [/mm] für x [mm] \ne [/mm] 0.
Damit ist [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2}{\wurzel{|x|}+x^2}=0[/mm] .
Aber das nützt Dir wenig, denn Du hast das Verhalten von f nur längs der 1. Winkelhalbierenden untersucht.
> Danke schon mal für eure Hilfe
> > Hallo HappyHaribo,
> >
> >
> > eine Anmerkung:
> >
> > > Für [mm]x=y=0[/mm] hab ich das so gemacht:
> > > [mm]x=r*cos(\alpha);y=r*sin(\alpha)[/mm][mm] \\[/mm]
> > > [mm]\limes_{r \rightarrow 0} \bruch{cos(r*cos(\alpha)*r^2*sin(\alpha))-1}{r*cos(\alpha)*r*sin(\alpha)}=\bruch{cos(r^3*\bruch{1}{2}sin(2\alpha)*sin(\alpha))}{r^2*\bruch{1}{2}sin(2\alpha)}$\\[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ok dass dann einmal mit der Regel von L Hospital oben und
> > > unten Abgeleitet und dann etwas zusammengefasst und dann
> > > hab ich folgendes erhalten: [mm]\\[/mm]
> > > [mm]\limes_{r \rightarrow 0}3r*sin(\alpha)(-sin(r^3\bruch{1}{2}sin(2\alpha*sin(\alpha))=0[/mm][mm] \\[/mm]
>
> >
> > Ich sehe nicht, wie man so Stetigkeit im Nullpunkt
> > nachweisen kann.
> >
> > Aus [mm]g\colon\IR^2\to\IR[/mm] mit
> >
> > [mm]\lim_{r\to0}g(r*\cos(\alpha),r*\sin(\alpha))=g(0,0)[/mm]
> >
> > für alle [mm]\alpha\in\IR[/mm] folgt jedenfalls noch lange nicht,
> > dass [mm]g[/mm] im Nullpunkt stetig ist.
> Aber wenn ich Stetigkeit zeigen will kann ich doch mit den
> Polarkoordinaten arbeiten. Und dann das r gegen 0 laufen
> lassen.
> Ich kann natürlich auch einmal x=0 und [mm]y\not=0[/mm] nehmen und
> dann y=0 und [mm]x\not=0[/mm]. Das ist ja das selbe oder?
Nein.
Es ist doch für x [mm] \ne [/mm] 0:
|f(x,y)| [mm] \le \bruch{|x|*|y|}{\wurzel{|x|}}=\wurzel{|x|}*|y|.
[/mm]
Im Nachhinein, sieht man, dass die Ungl.
|f(x,y)| [mm] \le \wurzel{|x|}*|y|
[/mm]
auch für x=0 richtig ist. Wir haben also:
|f(x,y)| [mm] \le \wurzel{|x|}*|y| [/mm] für alle (x,y) [mm] \in \IR^2.
[/mm]
FRED
> In den meisten Aufgaben die ich gerechnet habe hab ich das
> auch so gemacht.
> Hier mal ein Beispiel von einer Aufgabe bei der ich die
> Stetigkeit zeige:
> http://www.bilder-hochladen.net/files/l45f-1-c4ca-jpg.html
> >
> >
> > Viele Grüße
> > Tobias
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