Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Di 20.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Sei $f: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
[/mm]
[mm] $f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{q}, & \mbox{falls }p \in \mathbb{Z},q \in \mathbb{N}\mbox{ und }\frac{p}{q} \mbox{ ist ausgekürzt,} \\
0, & \mbox{sonst. }
\end{matrix}\right.
[/mm]
[mm] $\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
Beweisen [mm] Sie:\\
[/mm]
1. Für alle $x [mm] \in \mathbb{Q}$ [/mm] ist $f$ nicht [mm] stetig.\\
[/mm]
2. Für alle $x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] $/$ [mm] \mathbb{Q}$ [/mm] ist $f$ stetig. |
Zu Teilaufgabe1:
Ich versuche die Aufgabe mal über die Def. der Stetigkeit zu lösen. Wobei wenn eine folge [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert, f stetig in a ist, wenn [mm] f(a_n) [/mm] gegen f(a) konvergiert. (Unmathematische Kurzfassung)
Sei x [mm] \in \IQ [/mm] mit [mm] x=\frac{p}{q} [/mm] und sei [mm] a_n=\left(\frac{1}{n}+\frac{p}{q}\right) [/mm] dann konvergiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{1}{n}+\frac{p}{q}\right) [/mm] gegen [mm] \frac{p}{q}.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left(\frac{1}{n}+\frac{p}{q}\right) \right)=\limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left(\frac{q+np}{nq}\right) \right)=\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{1}{nq}\right) [/mm] =0
$f [mm] \left(\frac{p}{q} \right)= \frac{1}{q}$
[/mm]
Damit ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left(\frac{1}{n}+\frac{p}{q}\right) \right)\not= [/mm] $f [mm] \left(\frac{p}{q} \right)$ [/mm] womit f in keinem x [mm] \in \IQ [/mm] stetig sein kann.
Da gibt mir noch etwas zu denken:
0 ist doch auch [mm] \in \IQ. [/mm] Oder? Ich könnete doch schreiben [mm] 0=\frac{0}{5}, [/mm] wobei [mm] 0\in \IZ [/mm] und [mm] 5\in \IN [/mm] liegen. Dann ist f nicht in allen Elementen [mm] \IQ [/mm] unstetig, da f ja nun mal in 0 stetig ist.
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Di 20.08.2013 | | Autor: | wauwau |
[mm] $\frac{0}{5}$ [/mm] ist aber nicht ausgekürzt! 0 als gekürzter Bruch wie jede andere ganze Zahl [mm] $\frac{0}{1}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Di 20.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Vielen Dank für den Hinweis, ich konnte mit "Ausgekürzt" nicht wirklich viel anfangen.
[mm] \frac{0}{1} [/mm] erfüllt aber doch auch die Eigenschaft, daß Zähler, also 0 [mm] \in \IZ [/mm] und der Nenner, also 1 [mm] \in \IN [/mm] ist.
Damit ist f doch trotzdem in 0 stetig!? und 0 [mm] \in \IQ.
[/mm]
Ist der Rest denn so richtig?
Danke,
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Di 20.08.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, in 0 ist f nicht wirklich definiert, denn f(0/1)=1 fnach Definition, ebenso f(0/5)=1/5 usw wie man 0/p kürzt ist nicht klar!
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:45 Di 20.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Könnte mal bitte jemand gucken, ob mein Beweis zu Teilaufgabe Nr.1 so korrekt ist.
Danke,
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Mi 21.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Du hast recht, in 0 ist f nicht wirklich definiert,
doch, das ist definiert. Ausgekuerzt meint einfach das gleiche wie teilerfremd: es soll keinen nicht-trivialen Teiler (ausser +- 1) geben der sowohl Nenner wie auch Zaehler teilt.
0/1 erfuellt das, 0/2, 0/3, 0/5 etc. dagegen nicht (schliesslich ist 0 durch alles teilbar). Also ist $f(0/1) = f(0/5) = ... = 1$.
LG Felix
> denn
> f(0/1)=1 fnach Definition, ebenso f(0/5)=1/5 usw wie man
> 0/p kürzt ist nicht klar!
> Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Mi 21.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Felix,
na dann ist alles klar. Teilerfremd hätte mir eher weitergeholfen.
Vielen Dank,
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:25 Mi 21.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{q}, & \mbox{falls }p \in \mathbb{Z},q \in \mathbb{N}\mbox{ und }\frac{p}{q} \mbox{ ist ausgekürzt,} \\
0, & \mbox{sonst. }
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> [mm]$\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> Beweisen [mm]Sie:\\[/mm]
> 1. Für alle [mm]x \in \mathbb{Q}[/mm] ist [mm]f[/mm] nicht [mm]stetig.\\[/mm]
> 2. Für alle [mm]x \in \mathbb{R} [/mm]/[mm] \mathbb{Q}[/mm] ist [mm]f[/mm] stetig.
> Zu Teilaufgabe1:
>
> Ich versuche die Aufgabe mal über die Def. der Stetigkeit
> zu lösen. Wobei wenn eine folge [mm]a_n[/mm] gegen a konvergiert, f
> stetig in a ist, wenn [mm]f(a_n)[/mm] gegen f(a) konvergiert.
> (Unmathematische Kurzfassung)
das ist nicht unmathematisch - Du solltes nur besser die Aussage auch
als "Genau dann, wenn"-Aussage formulieren. Denn welche Folgerung
brauchst Du unten?
> Sei x [mm]\in \IQ[/mm] mit [mm]x=\frac{p}{q}[/mm] und sei
> [mm]a_n=\left(\frac{1}{n}+\frac{p}{q}\right)[/mm] dann konvergiert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{1}{n}+\frac{p}{q}\right)[/mm]
> gegen [mm]\frac{p}{q}.[/mm]
Ein Limes "ist gleich" und konvergiert nicht (strenggenommen "könnte"
man das zwar auch sagen, aber dann im Sinne von einer konstanten
Folge).
> Dann gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left(\frac{1}{n}+\frac{p}{q}\right) \right)=\limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left(\frac{q+np}{nq}\right) \right)=\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{1}{nq}\right)[/mm]
> =0
Warum? Ich meine, wenn ich mir etwa mal $p/q=3/16$ betrachte und dann
$1/n=1/16,$ dann sehe ich, dass $f(3/16+1/16)=f(1/4)=1/4 [mm] \not=1/16$ [/mm] ist. Ich sehe
hier jetzt jedenfalls nicht direkt, dass das, was Du schreibst, offensichtlich
ist. Und wenn es doch gilt, dann fehlt etwas, nämlich eine Begründung,
dass Du für alle genügend große [mm] $n\,$ [/mm] etwas sagen kannst.
Ich bin jetzt aber zu faul, mir das genauer zu überlegen. Das kannst Du
ja mal selbst ergänzen, falls Du glaubst, dass Du das retten und den
Beweis ergänzen kannst.
Auf jeden Fall besteht bei Dir noch "Handlungsbedarf" im Sinne von
Ergänzungen! (Vielleicht solltest Du die Summanden $1/n$ auch durch
andere ersetzen, so dass man dann mit Teilerfremdheit bei dem
entsprechend entstehenden Bruch argumentieren kann. Ob man da
vielleicht Kerhwerte von Primzahlen oder sowas wie [mm] $1/q^n$ [/mm] am Besten
nimmt:
Ich weiß es gerade schlichtweg nicht. Einen Geistesblitz diesbezgl. habe
ich leider auch gerade nicht. Von daher: Ausprobieren und hoffen, etwas
zu finden, was man "leicht" beweisen kann, dass es das Richtige tut.)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Mi 21.08.2013 | | Autor: | fred97 |
1. Zur Frage: wie ist f(0) def. ?
Die Aufgabe ist nicht neu. Ich kenne sie in folgender Formulierung.
Ist x rational und von der Form x=p/q, wobei p,q [mm] \in \IZ, [/mm] q [mm] \ge [/mm] 1 und q minimal, also p,q teilerfremd, so sei
f(x):=1/q.
Damit ist f(0)=1.
2. Unstetigkeit von f in rationalen Punkten: sei [mm] x_0 \in \IQ [/mm] und [mm] x_n:=x_0+\bruch{1}{n*\wurzel{2}}.
[/mm]
Dann ist [mm] x_n [/mm] irrational, [mm] f(x_n)=0, x_n \to x_0, [/mm] aber [mm] (f(x_n)) [/mm] konvergiert nicht gegen [mm] f(x_0)
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Mi 21.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Fred und Marcel,
Ich habe die Frage genau so abgeschrieben, wie sie gestellt war.
Herzlichen Dank für eure Beteidigung, mit der Folge [mm] \left( \frac{1}{n} + \frac{p}{q} \right) [/mm] werde ich nichts, genau aus dem von Marcel angesprochenen Grund.
Ich habe das ganze noch mal mit der Folge [mm] \left( \frac{\sqrt{2}}{n} + \frac{p}{q} \right) [/mm] überdacht und so müßte es m.M. nach passen. Wobei meine Lösung dann ähnlich zu Fred seiner ist.
Hier also der zweite Ansatz (mit überarbeiteter Formulierung):
Sei x [mm] \in \IQ [/mm] mit [mm] x=\frac{p}{q} [/mm] und sei [mm] a_n=\left(\frac{\sqrt{2}}{n}+\frac{p}{q}\right) [/mm] dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{\sqrt{2}}{n}+\frac{p}{q}\right) [/mm] = [mm] \frac{p}{q}. [/mm]
Wobei [mm] a_n [/mm] irrational ist.
Dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left(\frac{\sqrt{2}}{n}+\frac{p}{q}\right) \right)=\limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left(\frac{q\sqrt{2}+np}{nq}\right) \right)=\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{1}{nq}\right) [/mm] =0 [mm] \not= [/mm] $f [mm] \left(\frac{p}{q} \right)= \frac{1}{q}$ [/mm]
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left( a_n\right) \right)\not= $f\left(\frac{p}{q} \right)$ [/mm] ist, kann f in keinem x [mm] \in \IQ [/mm] stetig sein kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mi 21.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Sorry, ich wollte die obere Mitteilung als Frage einstellen.
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mi 21.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred und Marcel,
> Ich habe die Frage genau so abgeschrieben, wie sie
> gestellt war.
>
> Herzlichen Dank für eure Beteidigung, mit der Folge [mm]\left( \frac{1}{n} + \frac{p}{q} \right)[/mm]
> werde ich nichts, genau aus dem von Marcel angesprochenen
> Grund.
>
> Ich habe das ganze noch mal mit der Folge [mm]\left( \frac{\sqrt{2}}{n} + \frac{p}{q} \right)[/mm]
> überdacht und so müßte es m.M. nach passen. Wobei meine
> Lösung dann ähnlich zu Fred seiner ist.
>
>
>
>
> Hier also der zweite Ansatz (mit überarbeiteter
> Formulierung):
>
> Sei x [mm]\in \IQ[/mm] mit [mm]x=\frac{p}{q}[/mm] und sei
> [mm]a_n=\left(\frac{\sqrt{2}}{n}+\frac{p}{q}\right)[/mm] dann ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{\sqrt{2}}{n}+\frac{p}{q}\right)[/mm]
> = [mm]\frac{p}{q}.[/mm]
> Wobei [mm]a_n[/mm] irrational ist.
>
>
> Dann gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left(\frac{\sqrt{2}}{n}+\frac{p}{q}\right) \right)=\limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left(\frac{q\sqrt{2}+np}{nq}\right) \right)=\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{1}{nq}\right)[/mm]
> =0 [mm]\not=[/mm] [mm]f \left(\frac{p}{q} \right)= \frac{1}{q}[/mm]
Was machst Du da ??? Da [mm] a_n \notin \IQ [/mm] hast Du doch sofort: [mm] f(a_n)=0 [/mm] für alle n.
Und damit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=0.
[/mm]
FRED
>
> Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left( a_n\right) \right)\not=[/mm]
> [mm]f\left(\frac{p}{q} \right)[/mm] ist, kann f in keinem x [mm]\in \IQ[/mm]
> stetig sein kann.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Mi 21.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
#**###+ !!!!
Stimmt, da hab ich totalen Blödsinn gemacht, melde mich noch mal,
PS: Der obere Ausdruck ist Zensiert
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mi 21.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Fred,
ich stehe gerade auf dem Schlauch. Ja, [mm] f(a_n)=0 [/mm] und das sollte doch auch so sein. Bei der von dir angeführten Folge $ [mm] x_n:=x_0+\bruch{1}{n\cdot{}\wurzel{2}}. [/mm] $ ist das doch auch so oder?
... und der Grenzwert der jeweiligen Folge, egal ob [mm] a_n [/mm] oder [mm] x_n [/mm] ist [mm] \not=0.
[/mm]
und [mm] x_n [/mm] ist doch auch [mm] \notin \IQ
[/mm]
Sorry, ich verstehe das gerade nicht. Bitte hilf mir mal auf die Sprünge,
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mi 21.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> ich stehe gerade auf dem Schlauch. Ja, [mm]f(a_n)=0[/mm] und das
> sollte doch auch so sein. Bei der von dir angeführten
> Folge [mm]x_n:=x_0+\bruch{1}{n\cdot{}\wurzel{2}}.[/mm] ist das doch
> auch so oder?
>
> ... und der Grenzwert der jeweiligen Folge, egal ob [mm]a_n[/mm]
> oder [mm]x_n[/mm] ist [mm]\not=0.[/mm]
>
> und [mm]x_n[/mm] ist doch auch [mm]\notin \IQ[/mm]
>
> Sorry, ich verstehe das gerade nicht. Bitte hilf mir mal
> auf die Sprünge,
> Micha
Obiges [mm] x_0 [/mm] ist rational, also ist [mm] f(x_0) \ne [/mm] 0. Die Folge [mm] (x_n) [/mm] ist irrational, also ist [mm] f(x_n)=0 [/mm] für alle n.
Weiter konv. [mm] (x_n) [/mm] gegen [mm] x_0.
[/mm]
Wäre nun f in [mm] x_0 [/mm] stetig, so hätten wir:
[mm] f(x_n) \to f(x_0).
[/mm]
Das ist aber nicht der Fall.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 21.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Aber das macht doch die von mir genutzte Folge [mm] a_n [/mm] genauso. Ich sehe da gerade den Unterschied nicht.
Mein [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen p/q, weches rational ist und [mm] a_n [/mm] ist irrational.
Sorry, bin gerade mit dem Handy etwas eingeschrenkt, sehe aber den Unterschied aber nicht.
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 Do 22.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber das macht doch die von mir genutzte Folge [mm]a_n[/mm] genauso.
> Ich sehe da gerade den Unterschied nicht.
>
> Mein [mm]a_n[/mm] konvergiert gegen p/q, weches rational ist und [mm]a_n[/mm]
> ist irrational.
ich glaube, Fred stört sich vor allem an der Notation hier (rotmarkierte
Gleichung):
> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left(\frac{\sqrt{2}}{n}+\frac{p}{q}\right) \right)=\red{\limes_{n\rightarrow\infty} \left(f \left(\frac{q\sqrt{2}+np}{nq}\right) \right)=\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{1}{nq}\right)}$ [/mm]
Es ist tatsächlich nicht falsch (das ist wieder so etwas, wo man sieht, dass
Du eigentlich einen Fehler machst, aber die Notation den weg-korrigiert -
genauer gesagt "rettet [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] Dich hier" - als Korrektor hätte
ich echt Probleme, hier einen Punktabzug rein anhand des Aufschriebs zu
begründen, denn Du könntest Dich beschweren kommen und sagen: "Naja,
aber das ist doch nicht falsch, ich habe nur - im Zshg. mit der Aufgabe - leider
die 0 "auf eine blöde Weise hingeschrieben...").
Bei der rotmarkierten Gleichung sieht es nämlich so aus, als wenn Du
$f [mm] \left(\frac{q\sqrt{2}+np}{nq}\right)=\frac{1}{nq}$ [/mm] (für jedes [mm] $n\,$)
[/mm]
benutzen würdest. Und das ist einfach falsch, weil [mm] $\frac{q\sqrt{2}+np}{nq} \in \IR \setminus \IQ$ [/mm] ist.
Damit ist [mm] $f\left(\frac{q\sqrt{2}+np}{nq}\right)=0 \not=\frac{1}{nq}.$
[/mm]
> Sorry, bin gerade mit dem Handy etwas eingeschrenkt,
Das schreibt sich mit ä.
> sehe aber den Unterschied aber nicht.
Bei Fred wird "kein Fehler vertuscht" - und auch bei seinem Aufschrieb
wäre das auch so nicht (direkt) möglich.
Wenn's immer noch unklar ist, dann schreibe Deines mal in der Art und
Weise auf, wie Fred es geschrieben hat - also ohne [mm] $\lim$-Notation...
[/mm]
P.S. Es reicht übrigens, [mm] $\lim_{n \to \infty}f(x_n)$ [/mm] zu schreiben - Du musst da nicht
[mm] $\lim_{n \to \infty}\red{(}f(x_n)\red{)}$ [/mm] schreiben...
Bei aber etwa [mm] $\lim_{n \to \infty}f(x_n)+g(x_n)$ [/mm] wäre es aber besser, [mm] $\lim_{n \to \infty}\red{(}f(x_n)+g(x_n)\red{)}$ [/mm] zu schreiben...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Do 22.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel und Fred,
ich sehe jetzt den Unterschied. Stimmt, das kann man so nicht stehen lassen, wie ich es geschrieben habe. Wenn man es streng sieht, dann wende ich ja f auf jedes einzelne Folgenglied an und da jedes einzelne Folgenglied irrational ist, ist dann immer das Ergebnis 0.
Wenn ich so etwas schreibe, dann ist das keine Absicht, sondern mangelnde Erfahrung im Umgang mit der Notation.
Ich versuche die Lösung noch ein mal korrekt zu schreiben, wie Fred es auch vorgemacht hat.
Vielen Dank für eure Hilfe,
Micha
Sei $x$ rational und [mm] $a_n:=x+\frac{\sqrt{2}}{n}$. [/mm] Dann ist [mm] $a_n$ [/mm] irrational und [mm] $f(a_n)=0,a_n \rightarrow [/mm] x$.
Da [mm] $(f(a_n))$ [/mm] nicht gegen $x$ konvergiert, ist $f$ in allen rationalen Punkten unstetig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Do 22.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel und Fred,
> ich sehe jetzt den Unterschied. Stimmt, das kann man so
> nicht stehen lassen, wie ich es geschrieben habe.
> Wenn man
> es streng sieht, dann wende ich ja f auf jedes einzelne
> Folgenglied an
Hä ? Was meinst Du mit "streng sehen" ???
Wenn Du die Folge [mm] (f(a_n)) [/mm] betrachtest, so wendest Du f auf jedes Folgenglied [mm] a_n [/mm] an.
Und zwar völlig unabhängig davon, ob jemand streng sieht oder streng geheim sieht oder Rot sieht......
> und da jedes einzelne Folgenglied irrational
> ist, ist dann immer das Ergebnis 0.
> Wenn ich so etwas schreibe, dann ist das keine Absicht,
> sondern mangelnde Erfahrung im Umgang mit der Notation.
> Ich versuche die Lösung noch ein mal korrekt zu
> schreiben, wie Fred es auch vorgemacht hat.
> Vielen Dank für eure Hilfe,
> Micha
>
>
> Sei [mm]x[/mm] rational und [mm]a_n:=x+\frac{\sqrt{2}}{n}[/mm]. Dann ist [mm]a_n[/mm]
> irrational und [mm]f(a_n)=0,a_n \rightarrow x[/mm].
> Da [mm](f(a_n))[/mm]
> nicht gegen [mm]x[/mm] konvergiert
Nein ! Sondern:
Da [mm](f(a_n))[/mm] nicht gegen [mm]f(x)[/mm] konvergiert.....
ist f in x nicht stetig.
Da x [mm] \in \IQ [/mm] beliebig war
> , ist [mm]f[/mm] in allen rationalen
> Punkten unstetig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Do 22.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
> > Hallo Marcel und Fred,
> > ich sehe jetzt den Unterschied. Stimmt, das kann man so
> > nicht stehen lassen, wie ich es geschrieben habe.
>
>
>
> > Wenn man
> > es streng sieht, dann wende ich ja f auf jedes einzelne
> > Folgenglied an
>
>
> Hä ? Was meinst Du mit "streng sehen" ???
Habe ich einfach blöd ausgedrückt!
>
> Wenn Du die Folge [mm](f(a_n))[/mm] betrachtest, so wendest Du f auf
> jedes Folgenglied [mm]a_n[/mm] an.
>
> Und zwar völlig unabhängig davon, ob jemand streng sieht
> oder streng geheim sieht oder Rot sieht......
>
> > und da jedes einzelne Folgenglied irrational
> > ist, ist dann immer das Ergebnis 0.
> > Wenn ich so etwas schreibe, dann ist das keine Absicht,
> > sondern mangelnde Erfahrung im Umgang mit der Notation.
> > Ich versuche die Lösung noch ein mal korrekt zu
> > schreiben, wie Fred es auch vorgemacht hat.
> > Vielen Dank für eure Hilfe,
> > Micha
> >
> >
> > Sei [mm]x[/mm] rational und [mm]a_n:=x+\frac{\sqrt{2}}{n}[/mm]. Dann ist [mm]a_n[/mm]
> > irrational und [mm]f(a_n)=0,a_n \rightarrow x[/mm].
> > Da
> [mm](f(a_n))[/mm]
> > nicht gegen [mm]x[/mm] konvergiert
>
> Nein ! Sondern:
>
> Da [mm](f(a_n))[/mm] nicht gegen [mm]f(x)[/mm] konvergiert.....
>
> ist f in x nicht stetig.
>
meinte ich eigentlich auch, war da aber nicht sorgfältig genug.
>
>
> Da x [mm]\in \IQ[/mm] beliebig war
>
> > , ist [mm]f[/mm] in allen rationalen
> > Punkten unstetig.
>
>
> FRED
>
Danke,
Micha
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Do 22.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo,
ich versuche mich jetzt mal an der zweiten Teilaufgabe. Ich habe dabei eine Lösung im Kopf und hoffe auch, daß es mir gelingt, die Idee so aufs Papier zu bringen, daß jemand anderes dieses auch verstehen kann.
Idee:
Die Idee dabei ist, eine rekursiv definierte Folge zu verwenden, die sämtliche rationalen Punkte im Intervall $(x-1,x+1)$ enthält. Dann in dem Bereich zwischen den Folgengliedern ein x zu wählen, an dem die Stetigkeit gezeigt werden soll.
Dazu wähle ich ein [mm] $\epsilon$ [/mm] , daß kleiner ist, als der Abstand zum nächsten Folgenglied. Damit hätte ich eine [mm] $\epsilon$ [/mm] Umgebung von $x$, in der $f$ stetig ist.
Beweis:
Sei $p [mm] \in \mathbb{Z},q \in \mathbb{N}$, [/mm] die rekursiv definierte Folge [mm] $a_n$ [/mm] ist definiert als:
[mm] $a_0=min\left(\frac{p}{q}\quad |\quad \frac{p}{q} \in (x-1,x+1)\right)$
[/mm]
[mm] $a_{n+1}=\left(\frac{p}{q}\quad |\quad min(an,x+1)\right)$
[/mm]
Dann stellt [mm] $a_n$ [/mm] die Menge der rationalen Zahlen im Intervall $(x-1,x+1)$ dar.
Sei x [mm] $\in (a_n,a_{n+1})$, [/mm] sei [mm] $\epsilon_1=|a_n-x|$ [/mm] und [mm] $\epsilon_2=|a_{n+1}-x|$ [/mm] mit [mm] $\epsilon_1,\epsilon_2>0$.
[/mm]
Wähle [mm] $\epsilon=min\{\epsilon_1,\epsilon_2\}$ [/mm] Dann ist [mm] $\epsilon>0$ [/mm] und da in dieser [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von $x$ keine [mm] $\in \mathbb{Q}$ [/mm] vorkommen, ist $f$ in jedem $x [mm] \in \mathbb{R}$/$\mathbb{Q}$ [/mm] stetig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Do 22.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich versuche mich jetzt mal an der zweiten Teilaufgabe.
> Ich habe dabei eine Lösung im Kopf und hoffe auch, daß es
> mir gelingt, die Idee so aufs Papier zu bringen, daß
> jemand anderes dieses auch verstehen kann.
>
> Idee:
> Die Idee dabei ist, eine rekursiv definierte Folge zu
> verwenden, die sämtliche rationalen Punkte im Intervall
> [mm](x-1,x+1)[/mm] enthält. Dann in dem Bereich zwischen den
> Folgengliedern ein x zu wählen
??? x ist doch fest vorgegeben , x irrational. Und in diesem x willst Du Stetigkeit zeigen.
, an dem die Stetigkeit
> gezeigt werden soll.
> Dazu wähle ich ein [mm]\epsilon[/mm] , daß kleiner ist, als der
> Abstand zum nächsten Folgenglied. Damit hätte ich eine
> [mm]\epsilon[/mm] Umgebung von [mm]x[/mm], in der [mm]f[/mm] stetig ist.
Ich hab kein Wort verstanden !
>
> Beweis:
> Sei [mm]p \in \mathbb{Z},q \in \mathbb{N}[/mm], die rekursiv
> definierte Folge [mm]a_n[/mm] ist definiert als:
>
> [mm]a_0=min\left(\frac{p}{q}\quad |\quad \frac{p}{q} \in (x-1,x+1)\right)[/mm]
Ich übersetze:
[mm] a_0= [/mm] min [mm] \{r \in \IQ: r \in (x-1,x+1)\}
[/mm]
Oh,oh,oh !
da nehmen wir mal [mm] x=\wurzel{2}.
[/mm]
dan ex. aber das Minimum von [mm] \{r \in \IQ: r \in (x-1,x+1)\} [/mm] nicht, es gibt keine kleinste rationale Zahl in [mm] (\wurzel{2}-1, \wurzel{2}+1) [/mm] !!!
Du könnstest definieren:
[mm] a_0= [/mm] inf [mm] \{r \in \IQ: r \in (x-1,x+1)\}.
[/mm]
Das bringt Dir aber nichts, weil im allgemeinen dann [mm] a_0 [/mm] nicht rational ist, aber das willst Du doch.
Beispiel: [mm] x=\wurzel{2}
[/mm]
Dann ist inf [mm] \{r \in \IQ: r \in (\wurzel{2}-1, \wurzel{2}+1) \}= \wurzel{2}-1 \notin \IQ.
[/mm]
Deine "Idee" geht also schon im ersten Schritt baden !
FRED
>
> [mm]a_{n+1}=\left(\frac{p}{q}\quad |\quad min(an,x+1)\right)[/mm]
>
> Dann stellt [mm]a_n[/mm] die Menge der rationalen Zahlen im
> Intervall [mm](x-1,x+1)[/mm] dar.
>
> Sei x [mm]\in (a_n,a_{n+1})[/mm], sei [mm]\epsilon_1=|a_n-x|[/mm] und
> [mm]\epsilon_2=|a_{n+1}-x|[/mm] mit [mm]\epsilon_1,\epsilon_2>0[/mm].
>
> Wähle [mm]\epsilon=min\{\epsilon_1,\epsilon_2\}[/mm] Dann ist
> [mm]\epsilon>0[/mm] und da in dieser [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung von [mm]x[/mm] keine
> [mm]\in \mathbb{Q}[/mm] vorkommen, ist [mm]f[/mm] in jedem [mm]x \in \mathbb{R}[/mm]/[mm]\mathbb{Q}[/mm]
> stetig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Do 22.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] x_0 \notin \IQ. [/mm] Wir wollen zeigen, dass f in [mm] x_0 [/mm] stetig ist.
Dazu ein paar Tipps:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Zu zeigen ist: es ex. ein [mm] \delta [/mm] >0 mit:
ist x [mm] \in (x_0-\delta,x_0+ \delta), [/mm] so ist [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Man beachte, dass [mm] |f(x)-f(x_0)|=f(x) [/mm] ist für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
Wir betrachten die folgende Menge
[mm] M:=\{\bruch{p}{q}: p \in \IZ, q \in \IN, q< \bruch{1}{\varepsilon}\}.
[/mm]
1. Zeige: die Menge $M [mm] \cap (x_0-1,x_0+1)$ [/mm] ist endlich oder leer.
2. Zeige: es gibt ein [mm] \delta [/mm] >0 mit:
(*) $M [mm] \cap (x_0-\delta,x_0+ \delta)= \emptyset$.
[/mm]
3. Nun zeige:
ist x [mm] \in (x_0-\delta,x_0+ \delta), [/mm] so ist [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Dabei unterscheide 2 Fälle: (i) x [mm] \notin \IQ [/mm] und (ii) x [mm] \in \IQ.
[/mm]
FRED
P.S. Ich habe mich entschlossen, die entscheidende Idee für den Beweis der Steigkeit von f in irrationalen Punkten, zu liefern, denn der Beweis, so meine ich, ist schwer.
Ich habe weiter oben geschrieben, dass mir die Aufgabe seit langem bekannt ist. Was ich sagen will: ich möchte mich nicht mit fremden Federn schmücken, die Beweisidee ist nicht von mir.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Do 22.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Fred,
vielen Dank für deine Mitteilung und auch für deine Bewertung meines Lösungsansatzes. Die Aufgabe ist aus einer Hausarbeit des ersten mathematischen Kurses meines Studiums. Ich habe diese eine Hausarbeit nicht einreichen können, und wollte jetzt für mich selber die Aufgaben nacharbeiten.
Andere Aufgaben waren kaum ein Problem, aber diese...
Die Musterlösung habe ich vorliegen, versuche aber die Lösung selber zu finden, bzw Lösungsansätze zu finden.
Wie du merkst stehe ich noch am Anfang, und werde mir den von dir gegebenen Hinweis jetzt mal in Ruhe ansehen und dann meine Lösung einstellen.
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Do 22.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Sei [mm]x_0 \notin \IQ.[/mm] Wir wollen zeigen, dass f in [mm]x_0[/mm] stetig
> ist.
>
> Dazu ein paar Tipps:
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. Zu zeigen ist: es ex. ein [mm]\delta[/mm] >0
> mit:
>
> ist x [mm]\in (x_0-\delta,x_0+ \delta),[/mm] so ist [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Man beachte, dass [mm]|f(x)-f(x_0)|=f(x)[/mm] ist für jedes x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Wir betrachten die folgende Menge
>
> [mm]M:=\{\bruch{p}{q}: p \in \IZ, q \in \IN, q< \bruch{1}{\varepsilon}\}.[/mm]
einfach mal rein didaktisch fände ich es besser, diese Menge [mm] $M_\varepsilon$ [/mm]
zu nennen. Das witzige ist ja
[mm] $M_\varepsilon=\left\{\frac{p}{q}:\;p \in \IZ, q \in \IN \text{ mit }f(p/q)=1/q > \varepsilon\right\}$
[/mm]
> 1. Zeige: die Menge [mm]M \cap (x_0-1,x_0+1)[/mm] ist endlich oder
> leer.
Ist dabei das Intervall eigentlich wirklich entscheidend? Oder kann man
eigentlich jedes beschränkte, nichteinpunktige, Intervall um [mm] $x_0$ [/mm] betrachten?
> 2. Zeige: es gibt ein [mm]\delta[/mm] >0 mit:
>
> (*) [mm]M \cap (x_0-\delta,x_0+ \delta)= \emptyset[/mm].
>
> 3. Nun zeige:
>
> ist x [mm]\in (x_0-\delta,x_0+ \delta),[/mm] so ist [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Dabei unterscheide 2 Fälle: (i) x [mm]\notin \IQ[/mm] und (ii) x
> [mm]\in \IQ.[/mm]
>
>
> FRED
>
> P.S. Ich habe mich entschlossen, die entscheidende Idee
> für den Beweis der Steigkeit von f in irrationalen
> Punkten, zu liefern, denn der Beweis, so meine ich, ist
> schwer.
Ich wäre jetzt auch nicht so einfach drauf gekommen, aber wenn wir ihn
mal kurz zusammenfassen wollen:
Man zeigt i.W., dass es eine [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] gibt, in der es zu gegebenem
[mm] $\epsilon [/mm] > 0$ nur höchstens endlich viele rationale Zahlen gibt, deren Funktionswerte
um mehr als [mm] $\epsilon$ [/mm] von [mm] $f(x_0)=0$ [/mm] abweichen.
> Ich habe weiter oben geschrieben, dass mir die Aufgabe seit
> langem bekannt ist. Was ich sagen will: ich möchte mich
> nicht mit fremden Federn schmücken, die Beweisidee ist
> nicht von mir.
Ich bastel mal selber eine Idee zusammen: Sei [mm] $x_0$ [/mm] irrational, also [mm] $f(x_0)=0\,.$
[/mm]
Da für eine Folge irrationaler Zahlen [mm] $x_n$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] eh gilt, dass [mm] $f(x_n)=0 \to [/mm] 0,$
können wir uns o.E. darauf beschränken, zu zeigen:
Ist [mm] $y_n=p_n/q_n$ [/mm] mit [mm] $p_n \in \IZ$ [/mm] und [mm] $q_n \in \IN$ [/mm] und [mm] $y_n \to x_0,$ [/mm] so folgt [mm] $f(y_n)=1/q_n \to [/mm] 0.$
Anders gesagt: Wir haben [mm] $\IN \ni q_n \to \infty$ [/mm] zu beweisen. Nehmen wir an, das wäre falsch.
O.E. nehmen wir zudem [mm] $x_0 [/mm] > 0$ und daher auch, o.E., alle [mm] $p_n \in \IN$ [/mm] an. Es gibt dann
ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ und eine Teilfolge [mm] ${(y_{n_k})}_k$ [/mm] mit [mm] $f(y_{n_k})=\frac{1}{q_{n_k}} [/mm] > [mm] \epsilon_0\,,$ [/mm] die Folge [mm] $(q_{n_k})_k$ [/mm] ist also nach
oben beschränkt - nimmt also insbesondere, als Folge mit Werten aus [mm] $\IN,$ [/mm]
nur endlich viele Werte an.
Da [mm] $y_{n_k}=p_{n_k}/q_{n_k} \to x_0$ [/mm] gilt, ist dann aber [mm] ${(y_{n_k})}_k$ [/mm] insbesondere beschränkt. Daraus
folgt dann, dass [mm] ${(p_{n_k})}_k$ [/mm] auch beschränkt sein muss, und daher, gleiches
Argument wie oben, nur endlich viele Werte aus [mm] $\IN$ [/mm] annimmt. Das führt
dann aber dazu, dass [mm] ${(y_{n_k})}_k$ [/mm] eine Folge endlich vieler rationaler Zahlen
ist - die nur dann konvergieren kann, wenn sie ab einem gewissen Index
konstant ist. (Den Beweis erspare ich mir - im Wesentlichen kann man sich
darauf beschränken, kurz zu begründen, dass die Folgenglieder eine Menge
bilden, die nur isolierte Pkte. bzgl. dieser Menge sind.) Daraus folgt dann
aber der Widerspruch [mm] $x_0 \in \IQ.$
[/mm]
Wenn Du mal drübergucken magst: Ist da ein Denkfehler drin?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:31 Fr 23.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Sei [mm]x_0 \notin \IQ.[/mm] Wir wollen zeigen, dass f in [mm]x_0[/mm] stetig
> > ist.
> >
> > Dazu ein paar Tipps:
> >
> > Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. Zu zeigen ist: es ex. ein [mm]\delta[/mm] >0
> > mit:
> >
> > ist x [mm]\in (x_0-\delta,x_0+ \delta),[/mm] so ist [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] <
> > [mm]\varepsilon.[/mm]
> >
> > Man beachte, dass [mm]|f(x)-f(x_0)|=f(x)[/mm] ist für jedes x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> >
> > Wir betrachten die folgende Menge
> >
> > [mm]M:=\{\bruch{p}{q}: p \in \IZ, q \in \IN, q< \bruch{1}{\varepsilon}\}.[/mm]
>
> einfach mal rein didaktisch fände ich es besser, diese
> Menge [mm]M_\varepsilon[/mm]
> zu nennen. Das witzige ist ja
>
> [mm]M_\varepsilon=\left\{\frac{p}{q}:\;p \in \IZ, q \in \IN \text{ mit }f(p/q)=1/q > \varepsilon\right\}[/mm]
>
> > 1. Zeige: die Menge [mm]M \cap (x_0-1,x_0+1)[/mm] ist endlich oder
> > leer.
>
> Ist dabei das Intervall eigentlich wirklich entscheidend?
> Oder kann man
> eigentlich jedes beschränkte, nichteinpunktige, Intervall
> um [mm]x_0[/mm] betrachten?
Ja, natürlich.
>
> > 2. Zeige: es gibt ein [mm]\delta[/mm] >0 mit:
> >
> > (*) [mm]M \cap (x_0-\delta,x_0+ \delta)= \emptyset[/mm].
Es geht ja nur darum, eine zu M disjunkte Umgebung [mm] vonx_0 [/mm] zu finden.
> >
> > 3. Nun zeige:
> >
> > ist x [mm]\in (x_0-\delta,x_0+ \delta),[/mm] so ist [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] <
> > [mm]\varepsilon.[/mm]
> >
> > Dabei unterscheide 2 Fälle: (i) x [mm]\notin \IQ[/mm] und (ii) x
> > [mm]\in \IQ.[/mm]
> >
> >
> > FRED
> >
> > P.S. Ich habe mich entschlossen, die entscheidende Idee
> > für den Beweis der Steigkeit von f in irrationalen
> > Punkten, zu liefern, denn der Beweis, so meine ich, ist
> > schwer.
>
> Ich wäre jetzt auch nicht so einfach drauf gekommen, aber
> wenn wir ihn
> mal kurz zusammenfassen wollen:
> Man zeigt i.W., dass es eine [mm]\delta[/mm]-Umgebung von [mm]x_0[/mm] gibt,
> in der es zu gegebenem
> [mm]\epsilon > 0[/mm] nur höchstens endlich viele rationale Zahlen
> gibt, deren Funktionswerte
> um mehr als [mm]\epsilon[/mm] von [mm]f(x_0)=0[/mm] abweichen.
>
> > Ich habe weiter oben geschrieben, dass mir die Aufgabe seit
> > langem bekannt ist. Was ich sagen will: ich möchte mich
> > nicht mit fremden Federn schmücken, die Beweisidee ist
> > nicht von mir.
>
> Ich bastel mal selber eine Idee zusammen: Sei [mm]x_0[/mm]
> irrational, also [mm]f(x_0)=0\,.[/mm]
>
> Da für eine Folge irrationaler Zahlen [mm]x_n[/mm] mit [mm]x_n \to x_0[/mm]
> eh gilt, dass [mm]f(x_n)=0 \to 0,[/mm]
> können wir uns o.E. darauf
> beschränken, zu zeigen:
> Ist [mm]y_n=p_n/q_n[/mm] mit [mm]p_n \in \IZ[/mm] und [mm]q_n \in \IN[/mm] und [mm]y_n \to x_0,[/mm]
> so folgt [mm]f(y_n)=1/q_n \to 0.[/mm]
>
> Anders gesagt: Wir haben [mm]\IN \ni q_n \to \infty[/mm] zu
> beweisen. Nehmen wir an, das wäre falsch.
> O.E. nehmen wir zudem [mm]x_0 > 0[/mm] und daher auch, o.E., alle
> [mm]p_n \in \IN[/mm] an. Es gibt dann
> ein [mm]\epsilon_0 > 0[/mm] und eine Teilfolge [mm]{(y_{n_k})}_k[/mm] mit
> [mm]f(y_{n_k})=\frac{1}{q_{n_k}} > \epsilon_0\,,[/mm] die Folge
> [mm](q_{n_k})_k[/mm] ist also nach
> oben beschränkt - nimmt also insbesondere, als Folge mit
> Werten aus [mm]\IN,[/mm]
> nur endlich viele Werte an.
>
> Da [mm]y_{n_k}=p_{n_k}/q_{n_k} \to x_0[/mm] gilt, ist dann aber
> [mm]{(y_{n_k})}_k[/mm] insbesondere beschränkt. Daraus
> folgt dann, dass [mm]{(p_{n_k})}_k[/mm] auch beschränkt sein muss,
> und daher, gleiches
> Argument wie oben, nur endlich viele Werte aus [mm]\IN[/mm] annimmt.
> Das führt
> dann aber dazu, dass [mm]{(y_{n_k})}_k[/mm] eine Folge endlich
> vieler rationaler Zahlen
> ist - die nur dann konvergieren kann, wenn sie ab einem
> gewissen Index
> konstant ist. (Den Beweis erspare ich mir - im Wesentlichen
> kann man sich
> darauf beschränken, kurz zu begründen, dass die
> Folgenglieder eine Menge
> bilden, die nur isolierte Pkte. bzgl. dieser Menge sind.)
> Daraus folgt dann
> aber der Widerspruch [mm]x_0 \in \IQ.[/mm]
>
> Wenn Du mal drübergucken magst: Ist da ein Denkfehler
> drin?
Ich sehe keinen.
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
|
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Fr 23.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo Fred,
> >
> > > Sei [mm]x_0 \notin \IQ.[/mm] Wir wollen zeigen, dass f in [mm]x_0[/mm] stetig
> > > ist.
> > >
> > > Dazu ein paar Tipps:
> > >
> > > Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. Zu zeigen ist: es ex. ein [mm]\delta[/mm] >0
> > > mit:
> > >
> > > ist x [mm]\in (x_0-\delta,x_0+ \delta),[/mm] so ist [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] <
> > > [mm]\varepsilon.[/mm]
> > >
> > > Man beachte, dass [mm]|f(x)-f(x_0)|=f(x)[/mm] ist für jedes x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wir betrachten die folgende Menge
> > >
> > > [mm]M:=\{\bruch{p}{q}: p \in \IZ, q \in \IN, q< \bruch{1}{\varepsilon}\}.[/mm]
>
> >
> > einfach mal rein didaktisch fände ich es besser, diese
> > Menge [mm]M_\varepsilon[/mm]
> > zu nennen. Das witzige ist ja
> >
> > [mm]M_\varepsilon=\left\{\frac{p}{q}:\;p \in \IZ, q \in \IN \text{ mit }f(p/q)=1/q > \varepsilon\right\}[/mm]
>
> >
> > > 1. Zeige: die Menge [mm]M \cap (x_0-1,x_0+1)[/mm] ist endlich oder
> > > leer.
> >
> > Ist dabei das Intervall eigentlich wirklich entscheidend?
> > Oder kann man
> > eigentlich jedes beschränkte, nichteinpunktige, Intervall
> > um [mm]x_0[/mm] betrachten?
>
> Ja, natürlich.
gut, denn ich habe den Beweis auch am Anfang meines Studiums mal
so (oder so ähnlich) gesehen. Dann ist mir der Kern des Beweises (wieder)
klar. 
> > > 2. Zeige: es gibt ein [mm]\delta[/mm] >0 mit:
> > >
> > > (*) [mm]M \cap (x_0-\delta,x_0+ \delta)= \emptyset[/mm].
>
>
>
> Es geht ja nur darum, eine zu M disjunkte Umgebung [mm]vonx_0[/mm]
> zu finden.
Genau das war mein Gedanke.
>
> > >
> > > 3. Nun zeige:
> > >
> > > ist x [mm]\in (x_0-\delta,x_0+ \delta),[/mm] so ist [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] <
> > > [mm]\varepsilon.[/mm]
> > >
> > > Dabei unterscheide 2 Fälle: (i) x [mm]\notin \IQ[/mm] und (ii) x
> > > [mm]\in \IQ.[/mm]
> > >
> > >
> > > FRED
> > >
> > > P.S. Ich habe mich entschlossen, die entscheidende Idee
> > > für den Beweis der Steigkeit von f in irrationalen
> > > Punkten, zu liefern, denn der Beweis, so meine ich, ist
> > > schwer.
> >
> > Ich wäre jetzt auch nicht so einfach drauf gekommen, aber
> > wenn wir ihn
> > mal kurz zusammenfassen wollen:
> > Man zeigt i.W., dass es eine [mm]\delta[/mm]-Umgebung von [mm]x_0[/mm]
> gibt,
> > in der es zu gegebenem
> > [mm]\epsilon > 0[/mm] nur höchstens endlich viele rationale
> Zahlen
> > gibt, deren Funktionswerte
> > um mehr als [mm]\epsilon[/mm] von [mm]f(x_0)=0[/mm] abweichen.
> >
> > > Ich habe weiter oben geschrieben, dass mir die Aufgabe seit
> > > langem bekannt ist. Was ich sagen will: ich möchte mich
> > > nicht mit fremden Federn schmücken, die Beweisidee ist
> > > nicht von mir.
> >
> > Ich bastel mal selber eine Idee zusammen: Sei [mm]x_0[/mm]
> > irrational, also [mm]f(x_0)=0\,.[/mm]
> >
> > Da für eine Folge irrationaler Zahlen [mm]x_n[/mm] mit [mm]x_n \to x_0[/mm]
> > eh gilt, dass [mm]f(x_n)=0 \to 0,[/mm]
> > können wir uns o.E.
> darauf
> > beschränken, zu zeigen:
> > Ist [mm]y_n=p_n/q_n[/mm] mit [mm]p_n \in \IZ[/mm] und [mm]q_n \in \IN[/mm] und [mm]y_n \to x_0,[/mm]
> > so folgt [mm]f(y_n)=1/q_n \to 0.[/mm]
> >
> > Anders gesagt: Wir haben [mm]\IN \ni q_n \to \infty[/mm] zu
> > beweisen. Nehmen wir an, das wäre falsch.
> > O.E. nehmen wir zudem [mm]x_0 > 0[/mm] und daher auch, o.E., alle
> > [mm]p_n \in \IN[/mm] an. Es gibt dann
> > ein [mm]\epsilon_0 > 0[/mm] und eine Teilfolge [mm]{(y_{n_k})}_k[/mm] mit
> > [mm]f(y_{n_k})=\frac{1}{q_{n_k}} > \epsilon_0\,,[/mm] die Folge
> > [mm](q_{n_k})_k[/mm] ist also nach
> > oben beschränkt - nimmt also insbesondere, als Folge mit
> > Werten aus [mm]\IN,[/mm]
> > nur endlich viele Werte an.
> >
> > Da [mm]y_{n_k}=p_{n_k}/q_{n_k} \to x_0[/mm] gilt, ist dann aber
> > [mm]{(y_{n_k})}_k[/mm] insbesondere beschränkt. Daraus
> > folgt dann, dass [mm]{(p_{n_k})}_k[/mm] auch beschränkt sein muss,
> > und daher, gleiches
> > Argument wie oben, nur endlich viele Werte aus [mm]\IN[/mm] annimmt.
> > Das führt
> > dann aber dazu, dass [mm]{(y_{n_k})}_k[/mm] eine Folge endlich
> > vieler rationaler Zahlen
> > ist - die nur dann konvergieren kann, wenn sie ab einem
> > gewissen Index
> > konstant ist. (Den Beweis erspare ich mir - im Wesentlichen
> > kann man sich
> > darauf beschränken, kurz zu begründen, dass die
> > Folgenglieder eine Menge
> > bilden, die nur isolierte Pkte. bzgl. dieser Menge
> sind.)
> > Daraus folgt dann
> > aber der Widerspruch [mm]x_0 \in \IQ.[/mm]
> >
> > Wenn Du mal drübergucken magst: Ist da ein Denkfehler
> > drin?
>
>
> Ich sehe keinen.
Das ist gut. Denn ich weiß, dass mein "Beweis" dieser Übungsaufgabe
damals - öhm, ja - alles andere als schlüssig war. Ich finde diesen hier
auch verständlicher - aber das ist meist so, wenn man etwas selbstständig
zusammengeschustert hat.
Danke für's drübergucken!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Fr 23.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
> Sei [mm]x_0 \notin \IQ.[/mm] Wir wollen zeigen, dass f in [mm]x_0[/mm] stetig
> ist.
>
> Dazu ein paar Tipps:
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. Zu zeigen ist: es ex. ein [mm]\delta[/mm] >0
> mit:
>
> ist x [mm]\in (x_0-\delta,x_0+ \delta),[/mm] so ist [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Man beachte, dass [mm]|f(x)-f(x_0)|=f(x)[/mm] ist für jedes x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Wir betrachten die folgende Menge
>
> [mm]M:=\{\bruch{p}{q}: p \in \IZ, q \in \IN, q< \bruch{1}{\varepsilon}\}.[/mm]
>
> 1. Zeige: die Menge [mm]M \cap (x_0-1,x_0+1)[/mm] ist endlich oder
> leer.
>
Hallo Fred und Marcel,
ich hab noch nicht den gesamten Beweis fertig, mir aber zu Punkt 1 meine Gedanken gemacht Bitte schreibt mal, ob man das so machen kann.
Sei [mm] $\epsilon>0$ [/mm] und seien [mm] $q_1 [/mm] ... [mm] q_s \in \mathbb{N}$ [/mm] und für [mm] $q_i$ [/mm] gilt [mm] $q_1
[mm] $q_i<\frac{1}{\epsilon}\qquad\Leftrightarrow\qquad \epsilon<\frac{1}{q_i}$
[/mm]
Dann kann es für [mm] $\frac{p}{q_i}$ [/mm] nur endlich viele $p [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] geben für die gilt:
[mm] $\frac{p}{q_i} \in \left(x-1,x+1\right)$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{q_i}>\epsilon$
[/mm]
Für die Menge [mm] $M:=\{\frac{p}{q}: p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N},q<\frac{1}{\epsilon}\}$ [/mm] bedeutet dieses, dass M eine Vereinigung von endlich vielen endlichen Mengen ist und somit M selber eine endliche Menge ist.
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:03 Sa 24.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Micha,
> > Sei [mm]x_0 \notin \IQ.[/mm] Wir wollen zeigen, dass f in [mm]x_0[/mm] stetig
> > ist.
> >
> > Dazu ein paar Tipps:
> >
> > Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. Zu zeigen ist: es ex. ein [mm]\delta[/mm] >0
> > mit:
> >
> > ist x [mm]\in (x_0-\delta,x_0+ \delta),[/mm] so ist [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] <
> > [mm]\varepsilon.[/mm]
> >
> > Man beachte, dass [mm]|f(x)-f(x_0)|=f(x)[/mm] ist für jedes x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> >
> > Wir betrachten die folgende Menge
> >
> > [mm]M:=\{\bruch{p}{q}: p \in \IZ, q \in \IN, q< \bruch{1}{\varepsilon}\}.[/mm]
>
> >
> > 1. Zeige: die Menge [mm]M \cap (x_0-1,x_0+1)[/mm] ist endlich oder
> > leer.
> >
>
> Hallo Fred und Marcel,
> ich hab noch nicht den gesamten Beweis fertig, mir aber zu
> Punkt 1 meine Gedanken gemacht Bitte schreibt mal, ob man
> das so machen kann.
>
>
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] und seien [mm]q_1 ... q_s \in \mathbb{N}[/mm] und
> für [mm]q_i[/mm] gilt [mm]q_1
> [mm]q_i[/mm], für die gilt:
>
> [mm]q_i<\frac{1}{\epsilon}\qquad\Leftrightarrow\qquad \epsilon<\frac{1}{q_i}[/mm]
>
>
> Dann kann es für [mm]\frac{p}{q_i}[/mm] nur endlich viele [mm]p \in \mathbb{Z}[/mm]
> geben für die gilt:
>
> [mm]\frac{p}{q_i} \in \left(x-1,x+1\right)[/mm] und [mm]\frac{1}{q_i}>\epsilon[/mm]
da blicke ich schon nicht durch, was Du machen willst. Es ist doch so: Ist
[mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, so gilt $1/n < [mm] \epsilon$ [/mm] für fast alle, d.h. alle bis auf endlich
viele, natürlichen [mm] $n\,.$ [/mm] (![[]](/images/popup.gif) Archimedes) D.h. zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ist [mm] $A_\epsilon:=\left\{q \in \IN: \frac{1}{q} > \epsilon\right\}$ [/mm] schonmal
eine endliche Menge (natürlicher Zahlen).
Sei [mm] $A_\epsilon=\left\{q^{(\epsilon)}_1,...,q^{(\epsilon)}_{N_\epsilon}\right\}$ [/mm] eine Notation von [mm] $A_\epsilon$ [/mm] in einer geeigneten Abzählung, o.E. mit [mm] $q^{(\epsilon)}_1 [/mm] < [mm] q^{(\epsilon)}_2 [/mm] < ... < [mm] q^{(\epsilon)}_{N_\epsilon}.$ [/mm]
Wir betrachten nun [mm] $B_\epsilon:=\{p/q:\;\; p \in \IZ, q \in A_\epsilon \text{ und } x_\red{0}-1< \tfrac{p}{q} < x_\red{0}+1\}.$
[/mm]
Es gilt also für $p [mm] \in \IZ$ [/mm] und $q [mm] \in A_\epsilon$
[/mm]
[mm] $\tfrac{p}{q} \in B_\epsilon$ $\iff$ $|\tfrac{p}{q}-x_0| [/mm] < 1$ [mm] $\iff$ $|p-qx_0| [/mm] < [mm] q\,.$
[/mm]
Wegen
[mm] $|p|=|(p-qx_0)+qx_0| \;\;\le\;\; |p-qx_0|+|qx_0|$
[/mm]
folgt also notwendig
$|p| < [mm] q+q|x_0| \le q*(1+|x_0|)\,.$
[/mm]
Nun ist aber $|q|=q [mm] \in \IN$ [/mm] durch [mm] $q^{(\epsilon)}_{N_\epsilon}$ [/mm] nach oben beschränkt, wegen $q [mm] \in A_\epsilon.$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Sa 24.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel,
es ist sicherlich vermessen zu schreiben, daß ich genau diesen Sachverhalt versucht habe auszudrücken.
Da hast das sehr elegant in zwei genau def. Mengen gezeigt. Da kann ich nur von lernen.
Ist schon echt etwas frustrierend, das ich diese Aufgabe nicht hin bekomme.
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Sa 24.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Micha,
> Hallo Marcel,
> es ist sicherlich vermessen zu schreiben, daß ich genau
> diesen Sachverhalt versucht habe auszudrücken.
> Da hast das sehr elegant in zwei genau def. Mengen
> gezeigt.
die sind nur da, um ein wenig besser den Überblick zu bewahren. Eigentlich
würde es reichen, nur die eine zu definieren.
> Da kann ich nur von lernen. Ist schon echt etwas frustrierend, das ich
> diese Aufgabe nicht hin bekomme.
Lass' Dich davon bloß nicht abschrecken. Ich habe bei Dir, nachdem ich das
selbst zusammengeschrieben hatte, am Ende gesehen, was Du wohl
meintest. Ich glaube, was Dir eigentlich fehlt, ist, dass Du das Ganze ein
wenig sortierst und entsprechend dann aufschreibst.
Z.B. Deine Einführung der [mm] $q_j\,:$ [/mm] Siehst Du da, was der Unterschied der
Reihenfolge bei der Argumentationskette bewirkt? Bei Dir wirkt das ein
wenig so, als wenn Du das, was Du behauptest, voraussetzt. Bei mir ist
das eine Folgerung aus einem bekannten Wissen.
Und immer dran denken: Aller Anfang ist schwer. Und so schlecht war das,
was Du geschrieben hast, gar nicht, wenn man es sich im Nachhinein
anschaut. Aber die Lösung einer solchen Aufgabe sollte für mich halt nicht
erst dann nachvollziehbar werden, wenn ich eine eigene Lösung
zusammengebastelt habe. Sondern ich sollte quasi, während ich sie lese,
sofort beurteilen können, ob das, was Du machst, richtig (und im besten
Falle auch zielführend) ist (bzw. sein könnte).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Sa 24.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel,
vielen Dank für die Aufmunterung. Wenn man eine Aufgabe löst, dann ist das eine große Motivation, wenn nicht, dann geht's auch mal schnell in die andere Richtung. Natürlich ist aller Anfang schwer und ich werde mich auch nicht so schnell "unterkriegen" lassen.
Ich meinte meine Aussage auch so, wie ich es geschrieben habe. Es macht keinen Sinn, sich allein mit Mathematik zu beschäftigen. Das sieht man allein schon an meiner fehlerhaften Mengenangabe, die Fred erst übersetzen musste. Es schleichen sich halt blöde Fehler oder unübliche Schreibweisen ein. Aus diesem Grund ist dieses Forum für mich als Fernstudierender enorm wichtig.
Ich werde meinen Ansatz noch ein mal überarbeiten und dann hier erneut einsetzen. Wäre Schön, wenn du dann noch mal drüber gucken würdest.
Grüße,
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:50 So 25.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Micha,
> Hallo Marcel,
> vielen Dank für die Aufmunterung. Wenn man eine Aufgabe
> löst, dann ist das eine große Motivation, wenn nicht,
> dann geht's auch mal schnell in die andere Richtung.
> Natürlich ist aller Anfang schwer und ich werde mich auch
> nicht so schnell "unterkriegen" lassen.
> Ich meinte meine Aussage auch so, wie ich es geschrieben
> habe. Es macht keinen Sinn, sich allein mit Mathematik zu
> beschäftigen.
doch, das geht schon. Aber ich sag' mal: Es gibt gewisse
Anfangsschwierigkeiten, die (fast) jede(r) mal überwinden muss. Und da
ist es natürlich einfacher, wenn man jemanden hat, der einen besser
drauf stoßen kann, weil er/sie Erfahrung darin hat. Insofern kann ich Deine
Aussage nachvollziehen. 
> Das sieht man allein schon an meiner
> fehlerhaften Mengenangabe, die Fred erst übersetzen
> musste. Es schleichen sich halt blöde Fehler oder
> unübliche Schreibweisen ein.
Leider "lernt" man teilweise auch sowas im Schulunterricht. Das soll jetzt
aber nicht generell gegen den Matheunterricht oder jeden/jede Mathe-
Lehrer/in gehen. Aber es ist einfach so, dass, wenn man die
Schulmathematik mal genauer unter die Lupe nimmt, man sich an manchen
Stellen eigentlich tatsächlich über so manch' Unsinn aufregen müßte.
Andererseits studiert man im Schulunterricht auch (noch) nicht...
> Aus diesem Grund ist dieses Forum für mich als Fernstudierender enorm
> wichtig.
Ich glaube sowieso, dass man als Fernstudierender manche zusätzliche
Schwierigkeit hat. Es kann aber auch Leute geben, die genau für sowas
geeignet sind. Darf ich mal fragen, wie es bei Dir generell ausschaut? Also
wieso Du ein Fernstudium machst?
> Ich werde meinen Ansatz noch ein mal überarbeiten und dann
> hier erneut einsetzen. Wäre Schön, wenn du dann noch mal
> drüber gucken würdest.
Klar; aber wie gesagt: Wenn ich es rechtzeitig sehe und dann die Zeit
dafür habe oder finde. Ansonsten kann natürlich auch mal jmd. anderes
drübergucken, wenn's dringend ist...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 27.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Forum,
auch wenn die Lösung für die Aufgabe schon so gut wie vorgegeben ist, möchte ich meine Formulierung noch einmal einstellen. Ich möchte mich insgesamt auch noch mal ganz herzlich bei allen Bedanken, die mir bei dieser Aufgabe geholfen haben.
Sei [mm] $\epsilon>0$ [/mm] beliebig aber fest, so gilt [mm] $\frac{1}{p}<\epsilon$ [/mm] für fast alle [mm] $p\in \mathbb{N}$. [/mm] Das bedeutet, es existiert eine endliche Menge natürlicher Zahlen, für die gilt: [mm] $\frac{1}{p}>\epsilon$.
[/mm]
Somit ist die Menge [mm] $A_\epsilon [/mm] := [mm] \{ p \in \mathbb{N}: \frac{1}{p}>\epsilon \}$ [/mm] eine endliche Menge.
Seien nun [mm] $q_1 [/mm] ... [mm] q_N$ [/mm] die Elemente von [mm] $A_\epsilon$ [/mm] mit [mm] $q_1
Wir betrachten die Menge [mm] $B_\epsilon:=\{\frac{p}{q}: p \in \mathbb{Z} ,q \in A_\epsilon $ mit $ x_o-1\leq\frac{p}{q}\leq x_o+1\}$
[/mm]
Wir wollen zeigen, daß [mm] $B_\epsilon$ [/mm] eine endliche Menge ist.
Da wir gezeigt haben, dass nur endlich viele [mm] $q\in A_\epsilon$ [/mm] existieren, so bleibt noch zu zeigen, dass es nur endlich viele ganze Zahlen für p geben kann.
[mm] $\frac{p}{q}\in B_\epsilon \quad \Leftrightarrow \quad |\frac{p}{q}-x_o|<1 \quad \Leftrightarrow \quad |p-q*x_o|
[mm] $|p|=|p-qx_o+qx_o|\leq|p-qx_o|+|qx_o|$
[/mm]
mit (* und weil $q [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] folgt:
[mm] $|p|=q+|qx_o|=q(1+|x_o|)$
[/mm]
Da alle q durch [mm] $q_N$ [/mm] nach oben beschränkt sind und [mm] $x_0$ [/mm] ein fester Wert ist, so kann es auch nur endlich viele p geben, die
[mm] $|p|\leq q(1+|x_o|)$ [/mm] erfüllen.
Damit ist [mm] $B_\epsilon$ [/mm] eine endliche Menge.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 Mi 28.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Micha,
> Hallo Forum,
> auch wenn die Lösung für die Aufgabe schon so gut wie
> vorgegeben ist, möchte ich meine Formulierung noch einmal
> einstellen. Ich möchte mich insgesamt auch noch mal ganz
> herzlich bei allen Bedanken, die mir bei dieser Aufgabe
> geholfen haben.
>
>
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig aber fest, so gilt
> [mm]\frac{1}{p}<\epsilon[/mm] für fast alle [mm]p\in \mathbb{N}[/mm]. Das
> bedeutet, es existiert eine endliche Menge natürlicher
> Zahlen, für die gilt: [mm]\frac{1}{p}>\epsilon[/mm].
>
> Somit ist die Menge [mm]A_\epsilon := \{ p \in \mathbb{N}: \frac{1}{p}>\epsilon \}[/mm]
> eine endliche Menge.
>
>
> Seien nun [mm]q_1 ... q_N[/mm] die Elemente von [mm]A_\epsilon[/mm] mit
> [mm]q_1
>
>
>
>
> Wir betrachten die Menge [mm]B_\epsilon:=\{\frac{p}{q}: p \in \mathbb{Z} ,q \in A_\epsilon[/mm]
> mit [mm]x_o-1\leq\frac{p}{q}\leq x_o+1\}[/mm]
>
>
> Wir wollen zeigen, daß [mm]B_\epsilon[/mm] eine endliche Menge
> ist.
> Da wir gezeigt haben, dass nur endlich viele [mm]q\in A_\epsilon[/mm]
> existieren, so bleibt noch zu zeigen, dass es nur endlich
> viele ganze Zahlen für p geben kann.
>
> [mm]\frac{p}{q}\in B_\epsilon \quad \Leftrightarrow \quad |\frac{p}{q}-x_o|<1 \quad \Leftrightarrow \quad |p-q*x_o|
> (*
>
> [mm]|p|=|p-qx_o+qx_o|\leq|p-qx_o|+|qx_o|[/mm]
>
> mit (* und weil [mm]q \in \mathbb{N}[/mm] folgt:
>
> [mm]|p|\red{\;=\;}q+|qx_o|=q(1+|x_o|)[/mm]
das rote Gleichheitszeichen ist nicht korrekt - durch was kannst (darfst) Du
es ersetzen? (Nebenbei: Hier verwendest Du eigentlich auch noch [mm] $|ab|=|a|\;|b|$ $\text{---}$ [/mm] das
gilt sogar für (alle) $a,b [mm] \in \IC$!)
[/mm]
> Da alle q durch [mm]q_N[/mm] nach oben beschränkt sind und [mm]x_0[/mm] ein
> fester Wert ist, so kann es auch nur endlich viele p geben,
> die
> [mm]|p|\leq q(1+|x_o|)[/mm] erfüllen.
Genau: Du kannst auch [mm] $|p|\;\;\le\;\; q_N(1+|x_0|)$ [/mm] (oder [mm] $-\;q_N(1+|x_0|) \;\;\le\;\;p\;\;\le\;\; q_N (1+|x_0|)$) [/mm] folgern.
(Und hier darfst Du sogar auch alle [mm] $\le$ [/mm] durch [mm] $<\,$ [/mm] ersetzen [mm] $\text{---}$ [/mm] denn beachte: Aus
$a < [mm] b\,$ [/mm] und $c [mm] \le [/mm] d$ folgt $a+c [mm] \red{\;<\;}b+d$!)
[/mm]
> Damit ist [mm]B_\epsilon[/mm] eine endliche Menge.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Soweit ich das sehe ist das ja im Wesentlichen das, was ich gemacht habe,
allerdings nochmal mit Deinen Worten aufgeschrieben. Letzteres ist immer
ganz wichtig, denn nur so kannst Du selbst feststellen (lassen), ob Du alles
verstanden hast!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Mi 28.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
> > [mm]|p|\red{\;=\;}q+|qx_o|=q(1+|x_o|)[/mm]
>
> das rote Gleichheitszeichen ist nicht korrekt - durch was
> kannst (darfst) Du
> es ersetzen? (Nebenbei: Hier verwendest Du eigentlich auch
> noch [mm]|ab|=|a|\;|b|[/mm] [mm]\text{---}[/mm] das
> gilt sogar für (alle) [mm]a,b \in \IC[/mm]!)
>
War eigentlich eher ein Tippfehler. Sollte [mm] \le [/mm] heißen.
> > Da alle q durch [mm]q_N[/mm] nach oben beschränkt sind und [mm]x_0[/mm] ein
> > fester Wert ist, so kann es auch nur endlich viele p geben,
> > die
> > [mm]|p|\leq q(1+|x_o|)[/mm] erfüllen.
>
> Genau: Du kannst auch [mm]|p|\;\;\le\;\; q_N(1+|x_0|)[/mm] (oder
> [mm]-\;q_N(1+|x_0|) \;\;\le\;\;p\;\;\le\;\; q_N (1+|x_0|)[/mm])
> folgern.
> (Und hier darfst Du sogar auch alle [mm]\le[/mm] durch [mm]<\,[/mm] ersetzen
> [mm]\text{---}[/mm] denn beachte: Aus
> [mm]a < b\,[/mm] und [mm]c \le d[/mm] folgt [mm]a+c \red{\;<\;}b+d[/mm]!)
>
> > Damit ist [mm]B_\epsilon[/mm] eine endliche Menge.
>
> (Soweit ich das sehe ist das ja im Wesentlichen das,
> was ich gemacht habe,
> allerdings nochmal mit Deinen Worten aufgeschrieben.
> Letzteres ist immer
> ganz wichtig, denn nur so kannst Du selbst feststellen
> (lassen), ob Du alles
> verstanden hast!)
>
> Gruß,
> Marcel
Ja, soweit habe ich das auch verstanden. Jetzt würde ich gerne in dem Beweis weiter machen. Wenn ich das recht verstanden habe, dann basiert dieser Stetigkeitsbeweis auf dem [mm] \epsilon \delta [/mm] Kriterium der Stetigkeit.
Ich formuliere dann schon einmal vor und versuche dann den Beweis für :
[mm] $A_\epsilon \cap (\delta-x_o,\delta+x_o)=\emptyset
[/mm]
in der nächsten Frage einzustellen.
Grüße,
Micha
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