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Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Funktion.
Gegeben ist die Funktion [mm] f:\IR^{2}\to\IR [/mm] mit
f(x,y)=(0,0) für (x,y)=(0,0) und [mm] f(x,y)=\bruch{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
für (x,y)=(0,0).
Ich will zeigen, dass diese Funktion im Nullpunkt stetig ist.
Es muss gelten [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0 [/mm]
Da schätzt man das doch wiefolgt ab:
[mm] |f(x,y)|=|\bruch{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}|
[/mm]
[mm] \le\bruch{max(|x|,|y|)^{3}}{max(|x|,|y|)^{2}}
[/mm]
=max(|x|,|y|)
Dieser Ausdruck max(|x|,|y|) konvergiert gegen null für [mm] (x,y)\to(0,0).
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob die Abschätzung so korrekt ist, weil doch im Zähler nur [mm] x^{3} [/mm] steht und ich aber mit [mm] max(|x|,|y|)^{3}.
[/mm]
Kann das vielleicht mal jemand überprüfen?
Danke VG mathmetzsch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Mo 10.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich bin mir nicht sicher, ob die Abschätzung so korrekt
> ist, weil doch im Zähler nur [mm]x^{3}[/mm] steht und ich aber mit
> [mm]max(|x|,|y|)^{3}.[/mm]
Hier gilt: [m]max(|x|,|y|)^{3}=max(|x|^3,|y|^3)[/m]. (Monotonie!)
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Mo 10.10.2005 | | Autor: | choosy |
> > Ich bin mir nicht sicher, ob die Abschätzung so korrekt
> > ist, weil doch im Zähler nur [mm]x^{3}[/mm] steht und ich aber mit
> > [mm]max(|x|,|y|)^{3}.[/mm]
>
> Hier gilt: [m]max(|x|,|y|)^{3}=max(|x|^3,|y|^3)[/m]. (Monotonie!)
dess liegt aber doch net an de monotonie gell?
>
> SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Mo 10.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> > Hier gilt: [m]max(|x|,|y|)^{3}=max(|x|^3,|y|^3)[/m]. (Monotonie!)
>
> dess liegt aber doch net an de monotonie gell?
Präziser: monotone Steigung der kubischen Funktion. Das geht allgemein für monoton steigende Funktionen f.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:41 Mo 10.10.2005 | | Autor: | choosy |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zu einer Funktion.
> Gegeben ist die Funktion [mm]f:\IR^{2}\to\IR[/mm] mit
> f(x,y)=(0,0) für (x,y)=(0,0) und
> [mm]f(x,y)=\bruch{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
> für (x,y)=(0,0).
> Ich will zeigen, dass diese Funktion im Nullpunkt stetig
> ist.
> Es muss gelten
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0[/mm]
>
> Da schätzt man das doch wiefolgt ab:
> [mm]|f(x,y)|=|\bruch{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}|[/mm]
> [mm]\le\bruch{max(|x|,|y|)^{3}}{max(|x|,|y|)^{2}}[/mm]
> =max(|x|,|y|)
>
ich find die abschätzung recht merkwürdig, ich würd sagen wenn dann
$$
|f(x,y)| [mm] \leq \frac{max |x|^3}{min \{2x^2,2y^2}}
[/mm]
$$
das geht aber nicht, weil das min 0 ist...
ausserdem sagst du nichts über den bereich aus dem das maximum kommt... bei dir sind beide maxima [mm] $\infty$
[/mm]
Ich würds lieber so angehen:
seien [mm] $(x_n)_n\subset [/mm] R$ und [mm] $(y_n)_n\subset [/mm] R$ zwei beliebige Nullfolgen, so ist
$$
[mm] f(x_n,y_n) [/mm] = [mm] \frac{x_n^3}{x_n^2+y_n^2}
[/mm]
$$
und den grenzwert mit n gegen unendlich sollte man mit l-hospital berechnen können...
> Dieser Ausdruck max(|x|,|y|) konvergiert gegen null für
> [mm](x,y)\to(0,0).[/mm]
> Ich bin mir nicht sicher, ob die Abschätzung so korrekt
> ist, weil doch im Zähler nur [mm]x^{3}[/mm] steht und ich aber mit
> [mm]max(|x|,|y|)^{3}.[/mm]
>
> Kann das vielleicht mal jemand überprüfen?
> Danke VG mathmetzsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Mo 10.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> ich find die abschätzung recht merkwürdig
Sie ist richtig da [m]max(x^2,y^2)\le x^2+y^2[/m] gilt.
> das geht aber nicht, weil das min 0 ist...
> ausserdem sagst du nichts über den bereich aus dem das
> maximum kommt... bei dir sind beide maxima [mm]\infty[/mm]
Was? Wo?
> und den grenzwert mit n gegen unendlich sollte man mit
> l-hospital berechnen können...
Ist ja interessant - führe das bitte mal aus. L'Hospital kenne ich nur für 1-dim. Grenzwerte. Nach was willst du hier ableiten? Einmal partiell nach x, dann nach y? Und dann? Ich stelle deine Antwort mal auf fehlerhaft.
Das einzige was mir jetzt spontan einfällt: [m]y_n[/m] durch eine differenzierbare Funktion f darstellen mit [m]f(0)=0[/m] und [m]f(x_n)=y_n[/m]. Aber dann ist erstmal nichts über die Ableitung gesagt - also musst du die Vorraussetzungenvon L'Hospital prüfen bzw. zeigen, dass es für belieibge Folgen eine Funktin f gibt, die hier den Ausdruck im Grenzübergang [m]f'(0)=-1[/m] genügen. Das scheint mir eher nicht möglich - da ich die [m][mm] y_n[/mm] [m] so wählen kann, dass in jeder rechtsseitigen Umgebung Werte oberhalb der x-Achse vorkommen - das widerspricht aber der engativen Ableitung. Wenn du es siehst, sag bitt wie.
SEcki
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Also, ich denke auch, dass l'Hospital hier gar nichts bringt. Außerdem habe ich die Abschätzung so von meinem Prof. präsentiert bekommen. Kann also nicht viel daran falsch sein.
Ich habe nur nicht verstanden, warum man oben mit dem Maximum von x und y abschätzt, obwohl da nur x im Zähler steht.
VG mathmetzsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Mo 10.10.2005 | | Autor: | choosy |
ui ihr habt recht, hab da was verwchselt :(
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