Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mo 30.04.2012 | | Autor: | kord89 |
| Aufgabe | [mm] f:R^2 \to \IR f(x,y)\mapsto e^{xy/(x^2+y^2)} [/mm] für [mm] (x,y)\not= [/mm] (0,0) 1 für (0,0)
Bestimmen sie die Punkte in denen f stetig ist. |
Hallo,
zur folgenden Aufgabe soll ich nun die punkte bestimmen in denen f Stetig ist. Das f über all ausser in (0,0) stetig ist klar. Um zu zeigen das f in (0,0) stetig ist müsste ich ja nun zeigen, dass von einer beliebigen Folge die gegen Null konvergiert auch der Quotient der in der e-Funktion steht gegen Null konvergiert. Nur wie tue ich dies?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Mo 30.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f:R^2 \to \IR f(x,y)\mapsto e^{xy/(x^2+y^2)}[/mm] für
> [mm](x,y)\not=[/mm] (0,0) 1 für (0,0)
>
> Bestimmen sie die Punkte in denen f stetig ist.
> Hallo,
>
> zur folgenden Aufgabe soll ich nun die punkte bestimmen in
> denen f Stetig ist.
>
> Das f über all ausser in (0,0) stetig
> ist klar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Du solltest aber auf Deinem bearbeiteten Aufgabenblatt auch begründen, warum das klar ist. Denn das DIR das klar ist, reicht nicht als Begründung 
> Um zu zeigen das f in (0,0) stetig ist müsste
> ich ja nun zeigen, dass von einer beliebigen Folge die
> gegen Null konvergiert auch der Quotient der in der
> e-Funktion steht gegen Null konvergiert. Nur wie tue ich
> dies?
Überdenke erst mal, ob die Funktion wirklich stetig in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] ist:
Wie sieht das ganze für [mm] $x=x_n=y=y_n:=1/n\,$ [/mm] denn aus? Für diese [mm] $(x,y)=(x_n,y_n)$ [/mm] gilt (nachrechnen)
[mm] $$\frac{xy}{x^2+y^2}=\ldots=1/2$$
[/mm]
und damit...
P.S.
Wäre [mm] $f\,$ [/mm] wirklich stetig (in [mm] $(0,0)\,$) [/mm] gewesen, dann hättest Du am besten nach einer Abschätzung für die [mm] $e\,$-Funktion [/mm] gesucht. Oft hilft dabei auch schon die Reihenentwicklung (die man dann ggf. auch mal abbrechen läßt).
P.P.S.
Witzig wäre es hier auch, mal die "entsprechende in Polarkoordinaten transformierte Funktion zu betrachten":
Setze also mal an [mm] $x=x(r,\alpha)=r*\cos(\alpha)$ [/mm] und [mm] $y=y(r,\alpha)=r*\sin(\alpha)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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