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| Aufgabe | Ist f(x) stetig in [mm] x_0 [/mm] = 0 ?
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \\ -x^2 , & \mbox{für } x > 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Ich soll dies einmal mit dem [mm] \delta-\varepsilon-Kriterium [/mm] zeigen und dann auch mit dem Folgenkriteium. |
Also erstmal zum [mm] \delta-\varepsilon-Kriterium:
[/mm]
ich rechne von links aus:
|f(x)-f(0)|= [mm] |x^2-1+1| [/mm] = [mm] |x^2| [/mm] = |x+0| |x-0| => |f(x)-f(0)| [mm] \le [/mm] 1 * |x-0|
von rechts:
|f(x)-f(0)| = [mm] |-x^2| [/mm] = [mm] |x^2| [/mm] => analog das selbe wie von links.
Daher wäre die Funktion stetig, dies ist ja aber gar nicht in dem Punkt [mm] x_0 [/mm] = 0
Wo ist mein Fehler?
Zum Folgenkriterium:
Hier habe ich keine Ahnung wie ich meine Folge wählen soll :(
Hat jemand einen Tipp für eine geeignete Folge?
Vielen Dank schonmal :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Di 27.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist f(x) stetig in [mm]x_0[/mm] = 0 ?
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \\ -x^2 , & \mbox{für } x > 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Ich soll dies einmal mit dem [mm]\delta-\varepsilon-Kriterium[/mm]
> zeigen und dann auch mit dem Folgenkriteium.
> Also erstmal zum [mm]\delta-\varepsilon-Kriterium:[/mm]
>
> ich rechne von links aus:
>
> |f(x)-f(0)|= [mm]|x^2-1+1|[/mm] = [mm]|x^2|[/mm] = |x+0| |x-0| => |f(x)-f(0)|
> [mm]\le[/mm] 1 * |x-0|
>
> von rechts:
>
> |f(x)-f(0)| = [mm]|-x^2|[/mm] = [mm]|x^2|[/mm] => analog das selbe wie von
> links.
>
> Daher wäre die Funktion stetig, dies ist ja aber gar nicht
> in dem Punkt [mm]x_0[/mm] = 0
>
> Wo ist mein Fehler?
bei der Berechnung von rechts: Du musst dort natürlich auch [mm] $f(0)=0^2-1=-1$ [/mm] und NICHT [mm] $f(0)=0\,$ [/mm] benutzen!
[mm] $\text{(}$D.h.: [/mm] Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt
[mm] $$|f(x)-f(0)|=|-x^2-(-1)|=|1-x^2|=\ldots\text{)}$$
[/mm]
Aber:
Du hast nicht das [mm] $\epsilon$-$\delta$-Kr. [/mm] benutzt. Zeige aber (mit ein wenig Nachdenken über Deine obigen Überlegungen):
Zu [mm] $\epsilon=1/2$ [/mm] kann es kein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so geben, dass...
>
> Zum Folgenkriterium:
>
> Hier habe ich keine Ahnung wie ich meine Folge wählen soll
> :(
> Hat jemand einen Tipp für eine geeignete Folge?
Naja, ohne es komplett auszuformulieren: Man "sieht"
$$f(1/n) [mm] \to [/mm] 0$$
und
$$f(-1/n) [mm] \to -1\,.$$
[/mm]
(Noch einfacher: $f(1/n) [mm] \to [/mm] 0 [mm] \not=-1=f(0)\,.$)
[/mm]
Das reicht, um die Stetigkeit zu widerlegen! (Wäre [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $0\,,$ [/mm] so müsstest Du aber zeigen: Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] IRGENDEINE Nullfolge in [mm] $D_f$, [/mm] so folgt schon [mm] $f(x_n) \to f(0)\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank :)
Ich habe noch eine Frage zum ersten Teil:
muss ich von recht nicht die Funktion f(x) = [mm] -x^2 [/mm] betrachten? denn die gilt doch für alle positiven x, also quasi ab der null...
und hierfür erhalte ich, wenn ich die null einsetze eben [mm] |-x^2|
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Di 27.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank :)
>
> Ich habe noch eine Frage zum ersten Teil:
>
> muss ich von recht nicht die Funktion f(x) = [mm]-x^2[/mm]
> betrachten? denn die gilt doch für alle positiven x, also
> quasi ab der null...
Du hast aber folgendes geschrieben:
> $ [mm] f(x)=\begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \\ -x^2 , & \mbox{für } x > 0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
Kontrolliere das bitte nochmal!
> und hierfür erhalte ich, wenn ich die null einsetze eben
> [mm]|-x^2|[/mm]
Ich erhalte mit der von Dir angegebenen Funktionsvorschrift
[mm] $$f(\blue{0})=\blue{0}^2-1=-1\,,$$
[/mm]
denn es ist ja [mm] $\blue{0} \le 0\,.$
[/mm]
Und natürlich: Für jedes $n [mm] \in \IN=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] ist $1/n > [mm] 0\,,$ [/mm] also [mm] $f(1/n)=-1/n^2\,.$ [/mm] Daher folgt ja [mm] $f(1/n)=-1/n^2 \to [/mm] -0=0 [mm] \not=-1=f(0)\,.$
[/mm]
Also so ganz ist mir nicht klar, was Dein Problem ist. Dass [mm] $f(0)=-1\,$ [/mm] gilt?
Also allgemein:
Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Nullfolge, so gilt
[mm] $$|f(x_n)-f(0)|=|f(x_n)-(-1)|=|1+f(x_n)|\,.$$
[/mm]
Falls nun [mm] $x_n [/mm] > 0$ ist, so gilt
[mm] $$|f(x_n)-f(0)|=|f(x_n)+1|=|-x_n^2+1|=|1-x_n^2|\,,$$
[/mm]
und falls [mm] $x_n \le 0\,,$ [/mm] so gilt
[mm] $$|f(x_n)-f(0)|=|f(x_n)+1|=|x_n^2-1+1|=x_n^2\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Vielen Dank :)
> >
> > Ich habe noch eine Frage zum ersten Teil:
> >
> > muss ich von recht nicht die Funktion f(x) = [mm]-x^2[/mm]
> > betrachten? denn die gilt doch für alle positiven x, also
> > quasi ab der null...
>
> Du hast aber folgendes geschrieben:
> > [mm]f(x)=\begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \\ -x^2 , & \mbox{für } x > 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Kontrolliere das bitte nochmal!
>
> > und hierfür erhalte ich, wenn ich die null einsetze eben
> > [mm]|-x^2|[/mm]
>
> Ich erhalte mit der von Dir angegebenen
> Funktionsvorschrift
> [mm]f(\blue{0})=\blue{0}^2-1=-1\,,[/mm]
> denn es ist ja [mm]\blue{0} \le 0\,.[/mm]
>
> Und natürlich: Für jedes [mm]n \in \IN=\IN \setminus \{0\}[/mm]
> ist [mm]1/n > 0\,,[/mm] also [mm]f(1/n)=-1/n^2\,.[/mm] Daher folgt ja
> [mm]f(1/n)=-1/n^2 \to -0=0 \not=-1=f(0)\,.[/mm]
Warum ist f(1/n) = [mm] -1/n^2 [/mm] = 0? lim [mm] f(1\n) [/mm] ist doch [mm] \infty [/mm] oder? Da je kleiner der Nenner wird, der Funktionswert umso größer oder?
>
> Also so ganz ist mir nicht klar, was Dein Problem ist. Dass
> [mm]f(0)=-1\,[/mm] gilt?
>
> Also allgemein:
> Ist [mm](x_n)_n[/mm] eine Nullfolge, so gilt
> [mm]|f(x_n)-f(0)|=|f(x_n)-(-1)|=|1+f(x_n)|\,.[/mm]
> Falls nun [mm]x_n > 0[/mm] ist, so gilt
> [mm]|f(x_n)-f(0)|=|f(x_n)+1|=|-x_n^2+1|=|1-x_n^2|\,,[/mm]
> und falls [mm]x_n \le 0\,,[/mm] so gilt
> [mm]|f(x_n)-f(0)|=|f(x_n)+1|=|x_n^2-1+1|=x_n^2\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mi 28.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > Vielen Dank :)
> > >
> > > Ich habe noch eine Frage zum ersten Teil:
> > >
> > > muss ich von recht nicht die Funktion f(x) = [mm]-x^2[/mm]
> > > betrachten? denn die gilt doch für alle positiven x, also
> > > quasi ab der null...
> >
> > Du hast aber folgendes geschrieben:
> > > [mm]f(x)=\begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \\ -x^2 , & \mbox{für } x > 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Kontrolliere das bitte nochmal!
> >
> > > und hierfür erhalte ich, wenn ich die null einsetze eben
> > > [mm]|-x^2|[/mm]
> >
> > Ich erhalte mit der von Dir angegebenen
> > Funktionsvorschrift
> > [mm]f(\blue{0})=\blue{0}^2-1=-1\,,[/mm]
> > denn es ist ja [mm]\blue{0} \le 0\,.[/mm]
> >
> > Und natürlich: Für jedes [mm]n \in \IN=\IN \setminus \{0\}[/mm]
> > ist [mm]1/n > 0\,,[/mm] also [mm]f(1/n)=-1/n^2\,.[/mm] Daher folgt ja
> > [mm]f(1/n)=-1/n^2 \to -0=0 \not=-1=f(0)\,.[/mm]
>
> Warum ist f(1/n) = [mm]-1/n^2[/mm] = 0?
Nein, f(1/n) ist nicht =0, sondern f(1/n) [mm] \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
> lim [mm]f(1\n)[/mm] ist doch [mm]\infty[/mm]
Im Quelltext sehe ich, dass Du f(1/n) meinst. Es ist $f(1/n)=- [mm] \bruch{1}{n^2}$. [/mm] Damit ist (f(1/n)) eine Nullfolge.
> oder? Da je kleiner der Nenner wird, der Funktionswert umso
> größer oder?
Der Nenner wird doch immer größer.
FRED
> >
> > Also so ganz ist mir nicht klar, was Dein Problem ist. Dass
> > [mm]f(0)=-1\,[/mm] gilt?
> >
> > Also allgemein:
> > Ist [mm](x_n)_n[/mm] eine Nullfolge, so gilt
> > [mm]|f(x_n)-f(0)|=|f(x_n)-(-1)|=|1+f(x_n)|\,.[/mm]
> > Falls nun [mm]x_n > 0[/mm] ist, so gilt
> > [mm]|f(x_n)-f(0)|=|f(x_n)+1|=|-x_n^2+1|=|1-x_n^2|\,,[/mm]
> > und falls [mm]x_n \le 0\,,[/mm] so gilt
> > [mm]|f(x_n)-f(0)|=|f(x_n)+1|=|x_n^2-1+1|=x_n^2\,.[/mm]
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
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> > > Hallo,
> > >
> > > > Vielen Dank :)
> > > >
> > > > Ich habe noch eine Frage zum ersten Teil:
> > > >
> > > > muss ich von recht nicht die Funktion f(x) = [mm]-x^2[/mm]
> > > > betrachten? denn die gilt doch für alle positiven x, also
> > > > quasi ab der null...
> > >
> > > Du hast aber folgendes geschrieben:
> > > > [mm]f(x)=\begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \\ -x^2 , & \mbox{für } x > 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Kontrolliere das bitte nochmal!
> > >
> > > > und hierfür erhalte ich, wenn ich die null einsetze eben
> > > > [mm]|-x^2|[/mm]
> > >
> > > Ich erhalte mit der von Dir angegebenen
> > > Funktionsvorschrift
> > > [mm]f(\blue{0})=\blue{0}^2-1=-1\,,[/mm]
> > > denn es ist ja [mm]\blue{0} \le 0\,.[/mm]
> > >
> > > Und natürlich: Für jedes [mm]n \in \IN=\IN \setminus \{0\}[/mm]
> > > ist [mm]1/n > 0\,,[/mm] also [mm]f(1/n)=-1/n^2\,.[/mm] Daher folgt ja
> > > [mm]f(1/n)=-1/n^2 \to -0=0 \not=-1=f(0)\,.[/mm]
> >
> > Warum ist f(1/n) = [mm]-1/n^2[/mm] = 0?
>
> Nein, f(1/n) ist nicht =0, sondern f(1/n) [mm]\to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
Aber warum sucht man den Grenzwert gegen [mm] \infty [/mm] und nicht n [mm] \to [/mm] 0 ? Mann will doch wissen welchen Wert die Funktion an der stelle 0 annehmen würde, oder?
>
>
>
>
> > lim [mm]f(1\n)[/mm] ist doch [mm]\infty[/mm]
>
> Im Quelltext sehe ich, dass Du f(1/n) meinst. Es ist
> [mm]f(1/n)=- \bruch{1}{n^2}[/mm]. Damit ist (f(1/n)) eine
> Nullfolge.
>
>
>
> > oder? Da je kleiner der Nenner wird, der Funktionswert umso
> > größer oder?
>
> Der Nenner wird doch immer größer.
>
> FRED
> > >
> > > Also so ganz ist mir nicht klar, was Dein Problem ist. Dass
> > > [mm]f(0)=-1\,[/mm] gilt?
> > >
> > > Also allgemein:
> > > Ist [mm](x_n)_n[/mm] eine Nullfolge, so gilt
> > > [mm]|f(x_n)-f(0)|=|f(x_n)-(-1)|=|1+f(x_n)|\,.[/mm]
> > > Falls nun [mm]x_n > 0[/mm] ist, so gilt
> > > [mm]|f(x_n)-f(0)|=|f(x_n)+1|=|-x_n^2+1|=|1-x_n^2|\,,[/mm]
> > > und falls [mm]x_n \le 0\,,[/mm] so gilt
> > > [mm]|f(x_n)-f(0)|=|f(x_n)+1|=|x_n^2-1+1|=x_n^2\,.[/mm]
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo LittleStudi!
Aber es wurde doch bewusst eine Folge [mm]a_n[/mm] ausgesucht, dessen Grenzwert für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] gegen 0 geht.
Und da gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} \ = \ 0[/mm] , liefert dies auch (bei vorhandener Stetigkeit): [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f\left(\bruch{1}{n}\right) \ = \ f(0) \ = \ ...[/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:52 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Loddar,
> Hallo LittleStudi!
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>
> Aber es wurde doch bewusst eine Folge [mm]a_n[/mm] ausgesucht,
> dessen Grenzwert für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] gegen 0 geht.
>
> Und da gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} \ = \ 0[/mm]
> , liefert dies auch
> [mm]\red{\limes_{n\rightarrow\infty}f\left(\bruch{1}{n}\right) \ = \ f(0)} \ = \ ...[/mm]
die rote Gleichheit gilt hier eben nicht (und das zeigt schon die (rechtsseitige) Unstetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle $0$)!
Hier steht nämlich
[mm] $$\lim_{n \to \infty}f(1/n)=0 \not=-1=f(0)\,.$$
[/mm]
Wäre aber etwa [mm] $f\,$ [/mm] rechtsseitig stetig in [mm] $0\,,$ [/mm] dann dürfte man insbesondere
[mm] $$\lim_{n \to \infty}f(1/n)=f(\lim_{n \to \infty}1/n)$$
[/mm]
benutzen: Das geht hier aber nicht!!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Studi,
Du scheinst ein wenig verwirrt (worden?) zu sein. Mach' Dir doch mal alles klar:
Es war
[mm] $f(x)=-x^2$ [/mm] für $x > 0$
und
[mm] $f(x)=x^2-1$ [/mm] für $x [mm] \le 0\,.$
[/mm]
Weil mit [mm] $x_0:=\red{0}$ [/mm] dann sicher [mm] $\red{0}=x_0 \le [/mm] 0$ gilt, ergibt sich
1.) [mm] $f(x_0)=f(\red{0})=\red{0}^2-1=0-1=-1\,.$ [/mm]
Nun sei [mm] $x_n:=1/n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN=\IN \setminus \{0\}\,.$ [/mm] Dann gilt
2.) [mm] $x_n=1/n [/mm] > 0$ sowie [mm] $x_n=1/n \to \red{0}=x_0\,.$
[/mm]
Wie in 2.) gesehen sind alle [mm] $1/n=x_n [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] also gilt per Definitionem von [mm] $f\,$ [/mm] sodann
3.) [mm] $f(x_n)=x_n^2-1=(1/n)^2-1=1/n^2\;-1\,.$
[/mm]
Und das, was Du in der letzten Frage meinst, sind zwei verschiedene Dinge, die Du durcheinanderbringst (nämlich einmal die Rolle der Folgenglieder [mm] $x_n$ [/mm] und dann die Rolle der Indizes [mm] $n\,$ [/mm] der [mm] $x_n$):
[/mm]
Wenn wir $n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen lassen, dann folgt [mm] $x_n \to 0\,.$
[/mm]
Also:
Man sieht:
[mm] $$f(\red{0})=-1 \not=0=\lim_{n \to \infty}(-1/n^2)=\lim_{n \to \infty}f(x_n)\,.$$
[/mm]
(Mach' Dir aber klar: [mm] $\lim_{n \to \infty}x_n=\red{0}\,,$ [/mm] bzw. anders gesagt: [mm] $x_n \to \red{0}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank 
Klar, es sind ja eben die Indizes die gegen [mm] \infty [/mm] laufen. Das habe ich tatsächlich durcheinandergebracht. :-/
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