Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mi 29.02.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | | Beweisen Sie das Folgenkriterium der Stetigkeit! |
Hallo, wir hatten das Folgenkriterium so notiert:
Es seien $(X,d), (Y,e)$ zwei metrische Räume und es sei [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$.
$f$ ist genau dann stetig in [mm] $x\in [/mm] X$, wenn für jede Folge [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb N}$, [/mm] die gegen $x$ konvergiert, gilt, daß [mm] $(f(x_n))_{n\in\mathbb N}$ [/mm] gegen $f(x)$ konvergiert.
Mein Beweisversuch für [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Sei $f$ stetig in [mm] $x\in [/mm] X$. Dann ist das Urbild jeder Umgebung von $f(x)$ eine Umgebung von $x$. Nimm' als eine solche Umgebung von $f(x)$ die Epsilon-Kugel [mm] $B(f(x),\varepsilon)$, [/mm] dann ist also [mm] $f^{-1}(B(f(x),\varepsilon))$ [/mm] Umgebung von $x$.
Kann man jetzt so argumentieren:
[mm] $f^{-1}(B(f(x),\varepsilon)$ [/mm] ist offene Umgebung von $x$, da $f$ stetig ist und daher das Urbild jeder offenen Menge offen ist? Oder geht das nicht, weil man nicht weiß, ob $f$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$ stetig ist (denn meines Wissens gilt das mit dem Urbild offener Mengen nur dann, wenn $f$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$ stetig ist).
Falls man so argumentieren kann, gehts dann bei mir so weiter:
Sei [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ [/mm] eine Folge, die gegen $x$ konvergiert, d.h. es ex. ein [mm] $N\in\mathbb [/mm] N: [mm] d(x_n,x)<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\geq [/mm] N$ und alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$.
Da (falls das stimmt) [mm] $f^{-1}(B(f(x),\varepsilon))$ [/mm] offene Umgebung von $x$ ist, liegen also alle diese [mm] $x_n$ [/mm] für [mm] $n\geq [/mm] N$ in dieser Menge und damit
[mm] $f(x_n)\in B(f(x),\varepsilon)~\forall~n\geq [/mm] N$, was gerade bedeutet, daß [mm] $(f(x_n))_{n\in\mathbb N}\to [/mm] f(x)$.
Die andere Beweisrichtung versuche ich später auch noch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie das Folgenkriterium der Stetigkeit!
>
> Hallo, wir hatten das Folgenkriterium so notiert:
>
> Es seien [mm](X,d), (Y,e)[/mm] zwei metrische Räume und es sei
> [mm]f\colon X\to Y[/mm].
>
> [mm]f[/mm] ist genau dann stetig in [mm]x\in X[/mm], wenn für jede Folge
> [mm](x_n)_{n\in\mathbb N}[/mm], die gegen [mm]x[/mm] konvergiert, gilt, daß
> [mm](f(x_n))_{n\in\mathbb N}[/mm] gegen [mm]f(x)[/mm] konvergiert.
>
>
> Mein Beweisversuch für "[mm]\Rightarrow[/mm]":
>
> Sei [mm]f[/mm] stetig in [mm]x\in X[/mm]. Dann ist das Urbild jeder Umgebung
> von [mm]f(x)[/mm] eine Umgebung von [mm]x[/mm].
ihr habt also Stetigkeit "im topologischen Sinne" definiert?
> Nimm' als eine solche
> Umgebung von [mm]f(x)[/mm] die Epsilon-Kugel [mm]B(f(x),\varepsilon)[/mm],
> dann ist also [mm]f^{-1}(B(f(x),\varepsilon))[/mm] Umgebung von [mm]x[/mm].
>
> Kann man jetzt so argumentieren:
>
> [mm]f^{-1}(B(f(x),\varepsilon)[/mm] ist offene Umgebung von [mm]x[/mm], da [mm]f[/mm]
> stetig ist und daher das Urbild jeder offenen Menge offen
> ist? Oder geht das nicht, weil man nicht weiß, ob [mm]f[/mm] für
> alle [mm]x\in X[/mm] stetig ist (denn meines Wissens gilt das mit
> dem Urbild offener Mengen nur dann, wenn [mm]f[/mm] für alle [mm]x\in X[/mm]
> stetig ist).
Dann trügt Dich Dein Wissen. Eine solche Aussage kann man an einer Stelle [mm] $x\,$ [/mm] treffen!!
>
> Falls man so argumentieren kann, gehts dann bei mir so
> weiter:
>
> Sei [mm](x_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] eine Folge, die gegen [mm]x[/mm]
> konvergiert, d.h. es ex. ein [mm]N\in\mathbb N: d(x_n,x)<\varepsilon[/mm]
> für alle [mm]n\geq N[/mm] und alle [mm]\varepsilon > 0[/mm].
>
> Da (falls das stimmt) [mm]f^{-1}(B(f(x),\varepsilon))[/mm] offene
> Umgebung von [mm]x[/mm] ist, liegen also alle diese [mm]x_n[/mm] für [mm]n\geq N[/mm]
> in dieser Menge und damit
>
> [mm]f(x_n)\in B(f(x),\varepsilon)~\forall~n\geq N[/mm], was gerade
> bedeutet, daß [mm](f(x_n))_{n\in\mathbb N}\to f(x)[/mm].
Das ist zu vorschnell:
Richtig ist schon, dass man zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ die Menge
[mm] $$U:=f^{-1}(B(f(x),\varepsilon))$$
[/mm]
betrachtet. Nun ist [mm] $U\,$ [/mm] eine Umgebung von [mm] $x\,,$ [/mm] daher kannst Du nun ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so finden, dass [mm] $B(x,\delta) \subseteq U\,.$ [/mm] Und nun kannst Du sagen: Ist [mm] $(x_n)$ [/mm] eine Folge in [mm] $X\,$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x\,,$ [/mm] so gibt es zu diesem [mm] $\delta [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\delta\,,$ [/mm] so dass [mm] $x_n \in B(x,\delta)$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Danach beachte halt [mm] $B(x,\delta) \subseteq U=\ldots$ [/mm] .
P.S.:
(Offene) Umgebungen müssen ja nicht zwangsläufig "Kreise/Bälle" sein - das hast Du bei Deiner Argumentation nicht beachtet!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 29.02.2012 | | Autor: | mikexx |
Ah, ich verstehe.
Alles, was ich von der offenen Umgebung von x dann weiß, ist ja, daß sie halt offen ist.
Das bedeutet ja aber nicht, daß sie eine offene Kugel ist, sondern sie kann ja sonstwie aussehen.
Weil sie offen ist, weiß man aber, daß es eine offene Kugel um x gibt, die ganz in der offenen Umgebung enthalten ist und Teilmenge davon ist.
Okay, dann habe ich es verstanden, denke ich, dankeschön.
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Fehlt noch die Rückrichtung.
Sei [mm] $(f(x_n))_{n\in\mathbb N}\to [/mm] f(x)$.
Angenommen, daß $f$ nicht stetig in $x$ ist.
Dann gibt es jedenfalls eine Umgebung von $f(x)$ (wähle wieder [mm] $U:=B(f(x),\varepsilon)$ [/mm] für ein [mm] $\varepsilon [/mm] >0$), deren Urbild nicht Umgebung von $x$ ist. Das heißt man kann irgendwelche offenen Kugeln um x wählen (Radien beliebig) und die liegen nicht in [mm] $f^{-1}(B(f(x),\varepsilon)$, [/mm] sonst wäre dieses Urbild ja Umgebung von x.
Dann wähle doch mal Kugeln um x mit Radien [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] und eine Folge [mm] $x_n\in B(x,\frac{1}{n})$. [/mm] Dann hat man jedenfalls eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb N}, [/mm] die gegen x konvergiert.
Jedoch ist dann [mm] $f(x_n)$ [/mm] nach Obigem nicht in [mm] $B(f(x),\varepsilon)$ [/mm] enthalten.
Dann kann aber die Folge [mm] $((f(x_n))_{n\in\mathbb N}$ [/mm] nicht gegen $f(x)$ konvergieren, denn dann müsste ja für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gelten, daß es ein [mm] $N(\varepsilon)\in\mathbb [/mm] N$ gibt, sodaß [mm] $e(f(x_n),f(x))<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\geq N(\varepsilon)$. [/mm] Für das anfangs gewählte [mm] $\varepsilon$ [/mm] gilt dies aber eben nicht.
Widerspruch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ah, ich verstehe.
>
> Alles, was ich von der offenen Umgebung von x dann weiß,
> ist ja, daß sie halt offen ist.
genau.
> Das bedeutet ja aber nicht, daß sie eine offene Kugel ist,
> sondern sie kann ja sonstwie aussehen.
>
> Weil sie offen ist, weiß man aber, daß es eine offene
> Kugel um x gibt, die ganz in der offenen Umgebung enthalten
> ist und Teilmenge davon ist.
So ist es!!
>
> Okay, dann habe ich es verstanden, denke ich, dankeschön.
>
> -----------------
> Fehlt noch die Rückrichtung.
Ich habe da noch nicht wirklich drübergeguckt, daher lasse ich die Frage mal auf teilweise beantwortet. (Aber der Anfang kommt mir notationsmäßig komisch vor: Du solltest [mm] $f(x_n) \to [/mm] f(x)$ schreiben - man schreibt ja auch nicht, dass [mm] $(x_n)_n \to x\,,$ [/mm] sondern [mm] $x_n \to x\,.$)
[/mm]
Aber so sporadisch würde ich vom Gefühl her sagen, dass da irgendwas fehlt:
Wenn Du sagst: "Es gibt ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so, dass das Urbild [mm] $B(f(x),\varepsilon)$ [/mm] keine offene Umgebung um [mm] $x\,$ [/mm] ist", dann muss man schon begründen, warum man hier ohne Einschränkung annehmen kann, dass man die offene Umgebung um [mm] $f(x)\,$ [/mm] "als Ball/Kugel" annehmen kann. Hast Du Argumente dafür?
Also sagen wir erstmal einfach, dass [mm] $f(x)\,$ [/mm] eine Umgebung $U [mm] \subseteq [/mm] Y$ hat, so dass deren Urbild nicht offen in [mm] $X\,$ [/mm] ist, also
[mm] $$f^{-1}(U)$$
[/mm]
ist keine offene Umgebung von [mm] $x\,.$ [/mm] (Dass $x [mm] \in f^{-1}(U)$ [/mm] gilt, ist klar wegen $f(x) [mm] \in U\,.$) [/mm]
Die Frage ist nun: Warum sollte [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] keine offene Umgebung/keinen offenen Ball um [mm] $x\,$ [/mm] enthalten? Hier fehlen sicher noch wichtige Eigenschaften metrischer Räume, die Du mit ins Spiel bringen musst...
Aber das ganze habe ich, wie gesagt, nur sporadisch überlegt - vielleicht übersehe ich selbst was. Deshlab ist's besser, wenn nochmal jmd. anderes da genau drüberliest und mitdenkt ^^
Gruß,
Marcel
> Sei [mm](f(x_n))_{n\in\mathbb N}\to f(x)[/mm].
> Angenommen, daß [mm]f[/mm]
> nicht stetig in [mm]x[/mm] ist.
>
> Dann gibt es jedenfalls eine Umgebung von [mm]f(x)[/mm] (wähle
> wieder [mm]U:=B(f(x),\varepsilon)[/mm] für ein [mm]\varepsilon >0[/mm]),
> deren Urbild nicht Umgebung von [mm]x[/mm] ist. Das heißt man kann
> irgendwelche offenen Kugeln um x wählen (Radien beliebig)
> und die liegen nicht in [mm]f^{-1}(B(f(x),\varepsilon)[/mm], sonst
> wäre dieses Urbild ja Umgebung von x.
>
> Dann wähle doch mal Kugeln um x mit Radien [mm]$\frac{1}{n}$[/mm]
> und eine Folge [mm]$x_n\in B(x,\frac{1}{n})$.[/mm] Dann hat man
> jedenfalls eine Folge [mm]$(x_n)_{n\in\mathbb N},[/mm] die gegen x
> konvergiert.
>
> Jedoch ist dann [mm]f(x_n)[/mm] nach Obigem nicht in
> [mm]B(f(x),\varepsilon)[/mm] enthalten.
>
> Dann kann aber die Folge [mm]((f(x_n))_{n\in\mathbb N}[/mm] nicht
> gegen [mm]f(x)[/mm] konvergieren, denn dann müsste ja für alle
> [mm]\varepsilon > 0[/mm] gelten, daß es ein
> [mm]N(\varepsilon)\in\mathbb N[/mm] gibt, sodaß
> [mm]e(f(x_n),f(x))<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n\geq N(\varepsilon)[/mm].
> Für das anfangs gewählte [mm]\varepsilon[/mm] gilt dies aber eben
> nicht.
>
> Widerspruch
P.S.:
Das ganze hat sich hier geklärt, denke ich!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mi 29.02.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich verstehe den Einwand nicht so gut.
Daß f nicht stetig in [mm] $x\in [/mm] X$ ist, bedeutet doch, dass nicht die Urbilder aller Umgebungen um $f(x)$ Umgebungen von x sind.
Oder?
Also muss es doch irgendeine Umgebung um $f(x)$ geben, deren Urbild nicht Umgebunf von $x$ ist.
Und das bedeutet doch, daß man Kugeln um x legen kann und diese Kugeln liegen nicht in dem Urbild dieser einen Umgebung von $f(x)$.
Was ist daran verkehrt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mi 29.02.2012 | | Autor: | mikexx |
Im Boto von Querenburg lese ich für diese Beweisrichtung Folgendes:
Ist f nicht stetig in [mm] $x\in [/mm] X$, so gibt es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ mit [mm] $f(B(x,\delta))\not\subseteq B(f(x),\varepsilon)$ [/mm] für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$. Zu jedem [mm] $n\in\mathbb N^{*}$ [/mm] existiert daher ein [mm] $x_n\in B(x,\frac{1}{n})$ [/mm] mit [mm] $f(x_n)\notin B(f(x),\varepsilon)$. [/mm] Also konvergiert [mm] $(f(x_n))_{n\in\mathbb N}$ [/mm] nicht gegen $f(x)$.
Kann mir das jemand erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mi 29.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> Kann mir das jemand erklären?
Ist dein(e) Beweis(idee) in grün. Die Ähnlichkeiten finde ich jedenfalls frappkierend. Was genau willst du wissen?
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich verstehe den Einwand nicht so gut.
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> Daß f nicht stetig in [mm]x\in X[/mm] ist, bedeutet doch, dass
> nicht die Urbilder aller Umgebungen um [mm]f(x)[/mm] Umgebungen von
> x sind.
>
> Oder?
>
> Also muss es doch irgendeine Umgebung um [mm]f(x)[/mm] geben, deren
> Urbild nicht Umgebunf von [mm]x[/mm] ist.
soweit stimme ich Dir zu!
> Und das bedeutet doch, daß man Kugeln um x legen kann und
> diese Kugeln liegen nicht in dem Urbild dieser einen
> Umgebung von [mm]f(x)[/mm].
Warum denn das? Das verstehe ich nicht (gib' mir irgendein topologisches Argument, wenn Du das für klar hältst - ich sehe keines)!
Was ich sehe ist folgendes:
[mm] $$V:=f^{-1}(U)$$
[/mm]
erfüllt sicher $x [mm] \in V\,,$ [/mm] und [mm] $V\,$ [/mm] ist keine offene Menge. Daher gibt es ein $v [mm] \in [/mm] V$ so, dass man um dieses [mm] $v\,$ [/mm] keine offene Kugel legen kann, die ganz in [mm] $V\,$ [/mm] liegt.
> Was ist daran verkehrt?
Vielleicht übersehe oder vergesse ich da auch selbst was, wie gesagt, ich habe nur "sporadisch" drübergeschaut. Begründe mir das genauer, dann glaube ich Dir vielleicht auch einfach so 
Bin leider gerade auch ein wenig in Zeitnot, daher vll. bis demnächst. Ich denke nachher nochmal drüber nach (schlimmstenfalls kannst Du auch mal in ![[]](/images/popup.gif) Satz 10.12 reingucken und schauen, ob das im Wesentlichen Deiner Argumentation entspricht!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 29.02.2012 | | Autor: | mikexx |
> Hallo,
>
> > Ich verstehe den Einwand nicht so gut.
> >
> > Daß f nicht stetig in [mm]x\in X[/mm] ist, bedeutet doch, dass
> > nicht die Urbilder aller Umgebungen um [mm]f(x)[/mm] Umgebungen von
> > x sind.
> >
> > Oder?
> >
> > Also muss es doch irgendeine Umgebung um [mm]f(x)[/mm] geben, deren
> > Urbild nicht Umgebunf von [mm]x[/mm] ist.
>
> soweit stimme ich Dir zu!
>
> > Und das bedeutet doch, daß man Kugeln um x legen kann und
> > diese Kugeln liegen nicht in dem Urbild dieser einen
> > Umgebung von [mm]f(x)[/mm].
>
> Warum denn das? Das verstehe ich nicht (gib' mir irgendein
> topologisches Argument, wenn Du das für klar hältst - ich
> sehe keines)!
Mein Argument ist einfach die Definition einer Umgebung. Ein [mm] $U\subseteq [/mm] X$ heißt Umgebung von [mm] $x\in [/mm] X$, wenn U eine offene Kugel um x enthält.
Und wenn jetzt doch das Urbild keine Umgebung von x sein soll, kann es doch keine Kugel um x enthalten, denn sonst wäre es ja eine Umgebung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Ich verstehe den Einwand nicht so gut.
> > >
> > > Daß f nicht stetig in [mm]x\in X[/mm] ist, bedeutet doch, dass
> > > nicht die Urbilder aller Umgebungen um [mm]f(x)[/mm] Umgebungen von
> > > x sind.
> > >
> > > Oder?
> > >
> > > Also muss es doch irgendeine Umgebung um [mm]f(x)[/mm] geben, deren
> > > Urbild nicht Umgebunf von [mm]x[/mm] ist.
> >
> > soweit stimme ich Dir zu!
> >
> > > Und das bedeutet doch, daß man Kugeln um x legen kann und
> > > diese Kugeln liegen nicht in dem Urbild dieser einen
> > > Umgebung von [mm]f(x)[/mm].
> >
> > Warum denn das? Das verstehe ich nicht (gib' mir irgendein
> > topologisches Argument, wenn Du das für klar hältst - ich
> > sehe keines)!
>
> Mein Argument ist einfach die Definition einer Umgebung.
> Ein [mm]U\subseteq X[/mm] heißt Umgebung von [mm]x\in X[/mm], wenn U eine
> offene Kugel um x enthält.
achso. Ich kenne das anders (und in allgemeinen topologischen Räumen ist das auch anders, vgl. Umgebung in topologischen Räumen).
Ein $U [mm] \subseteq [/mm] X$ heißt in einem topologischen Raum [mm] $(X,\mathcal{T})$ [/mm] Umgebung von $x [mm] \in X\,,$ [/mm] wenn $x [mm] \in [/mm] U$ und [mm] $U\,$ [/mm] offen, also $U [mm] \in \mathcal{T}\,,$ [/mm] ist.
In dem durchgestrichenen Teil sehe ich jetzt auch meinen Denkfehler (das durchgestrichene rote ist irgendwie Quatsch von mir gewesen, abgesehen von dem Link!), ich hatte einfach doch irgendwie auch da eine falsche Definition im Kopf:
Korrekt ist: Eine Menge $U [mm] \subseteq [/mm] X$ heißt Umgebung von $x [mm] \in [/mm] X$ im topologischen Raum [mm] $(X,\mathcal{T})\,,$ [/mm] falls es eine offene Menge $O [mm] \subseteq U\,,$ [/mm] also insbesondere $O [mm] \in \mathcal{T}\,,$ [/mm] so gibt, dass $x [mm] \in O\,.$ [/mm]
In metrischen Räumen ist die von Dir zitierte Version aber dann dazu äquivalent (wobei das, glaube ich, nicht ganz trivial ist. Da sind schon ein paar Zeilen zu überlegen, aber das habe ich nicht mehr im kopf).
> Und wenn jetzt doch das Urbild keine Umgebung von x sein
> soll, kann es doch keine Kugel um x enthalten, denn sonst
> wäre es ja eine Umgebung.
Mit der von Dir zitierten Version der Definition von "Umgebung von $x [mm] \in [/mm] X$ in einem metrischen Raum" hast Du dann natürlich absolut recht.
Was ich machen wollte, war zu zeigen:
Genau dann ist die Abbildung $f: X [mm] \to [/mm] Y$ zwischen metrischen Räumen [mm] $X\,$ [/mm] und [mm] $Y\,$ [/mm] stetig, wenn Urbilder von [mm] $Y\,$-offener [/mm] Mengen, die [mm] $f(x)\,$ [/mm] enthalten, auch offen in [mm] $X\,$ [/mm] sind. Vielleicht denkst Du mal über diese Aussage nach, dann erkennst Du den Unterschied zwischen dem, was Du hier machen darfst und dem, wie ich es machen wollte. Wobei ich gerade hoffe, dass diese Aussage so auch stimmt (denn genau darüber musste ich gerade nochmal nachdenken - der Satz 10.12 bezieht sich ja auf Stetigkeit auf ganz [mm] $X\,$). [/mm] Momentan ist mir das nicht so ganz klar...
Aber wie gesagt: Gemäß Eurer Definition des Begriffes "Umgebung" hast Du vollkommen Recht. (Und mit der richtigen Definition des Begriffes "Umgebung von [mm] $x\,$ [/mm] im topologischen Raum..." folgt das genauso!).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Mi 29.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> In metrischen Räumen ist die von Dir zitierte Version aber
> dann dazu äquivalent (wobei das, glaube ich, nicht ganz
> trivial ist. Da sind schon ein paar Zeilen zu überlegen,
> aber das habe ich nicht mehr im kopf).
Wenn ich als Vorraussetzung nehmen darf, wie die Metrik einem Raum eine Topolgie gibt: Es ist trivial.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Do 01.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > In metrischen Räumen ist die von Dir zitierte Version aber
> > dann dazu äquivalent (wobei das, glaube ich, nicht ganz
> > trivial ist. Da sind schon ein paar Zeilen zu überlegen,
> > aber das habe ich nicht mehr im kopf).
>
> Wenn ich als Vorraussetzung nehmen darf, wie die Metrik
> einem Raum eine Topolgie gibt: Es ist trivial.
richtig: Ich hatte leider eine falsche "Umgebungsdefinition" im Kopf!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Mi 29.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> Dann wähle doch mal Kugeln um x mit Radien [mm]\frac{1}{n}[/mm][/mm]
> und eine Folge [mm]x_n\in B(x,\frac{1}{n})[/mm].[/mm] Dann hat man
> jedenfalls eine Folge [mm]$(x_n)_{n\in\mathbb N},[/mm] die gegen x
> konvergiert.
Beliebig dürfen die nicht sein!
> Jedoch ist dann [mm]f(x_n)[/mm] nach Obigem nicht in
> [mm]B(f(x),\varepsilon)[/mm] enthalten.
Wieso?
SEcki
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Do 01.03.2012 | | Autor: | mikexx |
> > Dann wähle doch mal Kugeln um x mit Radien [mm]\frac{1}{n}[/mm][/mm]
> > und eine Folge [mm]x_n\in B(x,\frac{1}{n})[/mm].[/mm] Dann hat man
> > jedenfalls eine Folge [mm]$(x_n)_{n\in\mathbb N},[/mm] die gegen x
> > konvergiert.
>
> Beliebig dürfen die nicht sein!
Da muss ich zurück fragen: Wieso darf man die Radien der Kugeln um den Punkt x nicht beliebig wählen? Also mit "beliebig" meine ich natürlich > 0, falls das der Grund Deines Einwandes war.
> > Jedoch ist dann [mm]f(x_n)[/mm] nach Obigem nicht in
> > [mm]B(f(x),\varepsilon)[/mm] enthalten.
>
> Wieso?
Die [mm] $x_n$ [/mm] liegen doch nicht im Urbild von [mm] $B(f(x),\varepsilon)$, [/mm] also nicht in [mm] $\left\{x\in X~|~f(x)\in B(f(x),\varepsilon))\right\}$.
[/mm]
Oder was meinst Du?
LG mikexx
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Do 01.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Dann wähle doch mal Kugeln um x mit Radien [mm]\frac{1}{n}[/mm][/mm]
> > > und eine Folge [mm]x_n\in B(x,\frac{1}{n})[/mm].[/mm] Dann hat man
> > > jedenfalls eine Folge [mm]$(x_n)_{n\in\mathbb N},[/mm] die gegen x
> > > konvergiert.
> >
> > Beliebig dürfen die nicht sein!
>
> Da muss ich zurück fragen: Wieso darf man die Radien der
> Kugeln um den Punkt x nicht beliebig wählen? Also mit
> "beliebig" meine ich natürlich > 0, falls das der Grund
> Deines Einwandes war.
es geht weniger um die Radien, als um die Wahl der [mm] $x_n\,.$ [/mm] Schau' mal in meinem Text, wie ich die [mm] $x_n$ [/mm] auswähle. Wenn Du die irgendwie jeweils aus [mm] $B(x,1/n)\,$ [/mm] auswählst, wird es i.a. so sein, dass Du [mm] $x_n \to [/mm] x$ zwar hast, aber nicht direkt folgern kannst, dass [mm] $(f(x_n))_n$ [/mm] nicht gegen [mm] $f(x)\,$ [/mm] konvergiert!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Do 01.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> -----------------
> Fehlt noch die Rückrichtung.
ich schreibe einfach mal kurz in Worten meinen Gedankengang:
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] nicht stetig in $x [mm] \in [/mm] X$, gibt es eine [mm] $f(x)\,$-enthaltende [/mm] Teilmenge [mm] $U\,$ [/mm] von [mm] $Y\,$ [/mm] so, dass das Urbild dieser keine Umgebung von [mm] $x\,$ [/mm] ist. Nun beachtet man, dass [mm] $U\,$ [/mm] Umgebung von [mm] $f(x)\,$ [/mm] ist, und damit eine [mm] $\delta$-Kugel [/mm] von [mm] $f(x)\,$ [/mm] existiert mit [mm] $B(f(x),\delta) \subseteq U\,.$
[/mm]
Insbesondere gibt es für die Delta-Kugel um [mm] $f(x)\,$ [/mm] keine offene Teilmenge von [mm] $X\,,$ [/mm] die [mm] $x\,$ [/mm] enthält und komplett in dem eben erwähnten Urbild liegt. Jede in [mm] $X\,$ [/mm] liegende [mm] $B(x,1/n)\,$-Kugel, [/mm] nennen wir sie kurz [mm] $B_n:=B(x,1/n)\,,$ [/mm] enthält also Elemente, die nicht in [mm] $f^{-1}(B(f(x),\delta))$ [/mm] liegen. Für jedes genügend große [mm] $n\,$ [/mm] wählen wir ein solches und "setzen für die "zu kleinen [mm] $n\,$" [/mm] etwa [mm] $x_n:=x$". [/mm] So haben wir eine Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] in [mm] $X\,$ [/mm] konstruiert mit [mm] $x_n \to x\,,$ [/mm] aber ...
So in etwa sollte der Beweis grob aussehen - denke ich. Zu Ende führen und mit Deinem vergleichen gelingt Dir sicher auch! (Mir ist das nun ein wenig zu spät, kann gut sein, dass ich da noch irgendwo Patzer habe - nehme ich gerade einfach so in Kauf!).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:19 Do 01.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Danke. Ich sehe da eigentlich gar keinen Unterschied zu dem Beweis, den ich versucht habe.
Ich moechte mich ueberhaupt fuer das rege Interesse an meiner Frage bedanken.
Ich lerne gerade fuer eine Topologiepruefung, die demnaechst ansteht und fange morgen mit den eigentlichen topologischen Begrifflichkeiten an. Von daher werde ich erst dann verstehen koennen, inwiefern zum Beispiel der Begriff der "Umgebung", den ich hier fuer metrische Raeume aus dem "Querenburg" genommen habe, in dem weiteren Rahmen der topologischen Raeume aussieht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Do 01.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke. Ich sehe da eigentlich gar keinen Unterschied zu dem
> Beweis, den ich versucht habe.
vielleicht übersehe ich etwas, aber einen kleinen Unterschied gibt es: Ich schreibe nämlich noch etwas von einer [mm] $\delta$-Kugel [/mm] um [mm] $f(x)\,.$ [/mm] Und das ist entscheidend, um [mm] $f(x_n) \not\to [/mm] f(x)$ zu erkennen, obwohl [mm] $x_n \to x\,.$
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Gruß,
Marcel
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