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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] gegeben durch f(x, y) = [mm] xy\bruch{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} [/mm] und f(0,0) = 0 Zeigen Sie:
a)f, [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}, \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] sind stetig auf [mm] \IR^{2}
[/mm]
[mm] b)\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} [/mm] und [mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} [/mm] existieren auf [mm] \IR^{2} [/mm] und sind stetig in [mm] \IR^{2} [/mm] - {0}
[mm] c)\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} [/mm] (0,0) [mm] \not= \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} [/mm] (0,0) |
Hallo zusammen
Habe erstmal damit angefangen die partiellen Ableitungen zu bestimmen
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] x*\bruch{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+ [/mm] xy * [mm] \bruch{-4x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] und
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] y*\bruch{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+ [/mm] xy * [mm] \bruch{4xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm]
Meine Frage ist jetzt ob das soweit stimmt und wie ich jetzt dies auf Stetigkeit untersuche muss ich das Epsilon delta Kriterium anwenden bis jetzt haben wir immer nur gezeigt dass eine Fkt. in einem Pkt nicht stetig ist
lg eddie
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Hallo eddiebingel,
> Sei f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] gegeben durch f(x, y) = [mm]xy\bruch{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}[/mm] und f(0,0) = 0
> Zeigen Sie:
> a)f, [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}, \bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] sind stetig auf [mm]\IR^{2}[/mm]
> [mm]b)\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}[/mm] und [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}[/mm] existieren auf [mm]\IR^{2}[/mm] und sind stetig in [mm]\IR^{2}[/mm] - {0}
> [mm]c)\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}[/mm] (0,0) [mm]\not= \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}[/mm] (0,0)
> Hallo zusammen
>
> Habe erstmal damit angefangen die partiellen Ableitungen zu
> bestimmen
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] = [mm]x*\bruch{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+[/mm] xy * [mm]\bruch{-4x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] = [mm]y*\bruch{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+[/mm] xy * [mm]\bruch{4xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
Ich würde die partiellen Ableitungen noch gleichnamig machen und auf einen Bruchstrich schreiben.
>
> Meine Frage ist jetzt ob das soweit stimmt und wie ich
> jetzt dies auf Stetigkeit untersuche muss ich das Epsilon
> delta Kriterium anwenden bis jetzt haben wir immer nur
> gezeigt dass eine Fkt. in einem Pkt nicht stetig ist.
Nun, außerhalb von [mm](0,0)[/mm] sind sie ja offensichtlich stetig als Komposition stetiger Funktionen ...
Allein [mm](x,y)=(0,0)[/mm] ist "spannend".
Wie lauten die partiellen Ableitungen in $(x,y)=(0,0)$ ?
Was treiben deine partiellen Ableitungen für [mm] $(x,y)\to [/mm] (0,0)$ ?
Du kannst neben dem [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium auch zu Polarkoordinaten übergehen ([mm]x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)[/mm]) und schauen, ob der entsprechende Ausdrück für [mm]f[/mm] unabhängig vom Winkel [mm]\varphi[/mm] für [mm]r\to 0^+[/mm] gegen $f(0,0)=0$ konvergiert.
Das kannst du analog auch für deine partiellen Ableitungen machen ...
> lg eddie
Gruß
schachuzipus
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