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| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] sei durch
(x,t) [mm] \mapsto [/mm] f(x,t) = [mm] \begin{cases} |x|(1-|tx|), & \mbox{für } |tx|<1 \\ 0, & \mbox{für } |tx| \ge 1 \end{cases}
[/mm]
definiert.
(i) Prüfen Sie, ob f stetig ist.
(ii) Zeigen Sie, dass durch
x [mm] \mapsto [/mm] F(x):= [mm] \integral_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,t) dt}
[/mm]
eine Funktion F: [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert wird und prüfen Sie, ob F stetig ist. |
Hi Matheräumler,
Mit der (i) hatte ich keine Proleme:
$ |x|(1-|tx|) = |x| - |x| [mm] \cdot [/mm] |tx| = |x| - |x| = 0 $ mit $|tx| = 1$ für $ |tx| [mm] \ge [/mm] 1 $.
Bei der (ii) hab ich allerdings kaum eiene Idee.
Laut WolframAlpha konvergiert das Integral von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] garnicht, also muss ich die Grenzen wahrscheinlich verändern.
Kann mir bitte jemand erklären, wie diese Aufgabe lösen kann?,
Danke
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Moin Mathestudi,
> Die Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] sei durch
> (x,t) [mm]\mapsto[/mm] f(x,t) = [mm]\begin{cases} |x|(1-|tx|), & \mbox{für } |tx|<1 \\ 0, & \mbox{für } |tx| \ge 1 \end{cases}[/mm]
>
> definiert.
>
> (i) Prüfen Sie, ob f stetig ist.
> (ii) Zeigen Sie, dass durch x [mm]\mapsto[/mm] F(x):= [mm]\integral_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,t) dt}[/mm]
>
> eine Funktion F: [mm]\IR \to \IR[/mm] definiert wird und prüfen
> Sie, ob F stetig ist.
>
> Bei der (ii) hab ich allerdings kaum eiene Idee.
> Laut WolframAlpha konvergiert das Integral von [mm]-\infty[/mm] bis
> [mm]+\infty[/mm] garnicht, also muss ich die Grenzen wahrscheinlich
> verändern.
> Kann mir bitte jemand erklären, wie diese Aufgabe lösen kann?,
Überlege dir zunächst, wie die Funktion in [mm] f(x,t)=f_x(t) [/mm] bei festem x aussieht.
Für x=0 gilt offenbar [mm] f_0(t)\equiv0, [/mm] also folgt F(0)=0.
Sonst [mm] (x\neq0) [/mm] kann man schreiben
[mm] f_x(t)=\begin{cases}|x|-|t|x^2, & |t|<1/|x|\\0, & sonst\end{cases}
[/mm]
Damit ist für [mm] x\neq0:
[/mm]
[mm] $F(x)=\int_{-1/|x|}^{1/|x|}|x|-|t|x^2 [/mm] dt$
Jetzt bist du dran.
LG
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Hallo kamaleonti, danke shconmal für deine Antwort.
Wenn ich dein Integral nun ausrechne, komme ich darauf:
$ [mm] F(x)=\int_{-1/|x|}^{1/|x|}|x|-|t|x^2 [/mm] dt = [mm] \int_{-1/|x|}^{1/|x|}|x| [/mm] dt - [mm] \int_{-1/|x|}^{1/|x|}|t|x^2 [/mm] dt = [ |x|t [mm] ]_{-1/|x|}^{1/|x} [/mm] - [mm] [\bruch{1}{2} \cdot x^2 \cdot [/mm] t [mm] \cdot [/mm] |t| [mm] ]_{-1/|x|}^{1/|x|} [/mm] = (|x| [mm] \cdot \bruch{1}{|x|} [/mm] + |x| [mm] \cdot \bruch{1}{|x|}) [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2} \cdot x^2 \cdot \bruch{1}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \cdot x^2 \cdot \bruch{1}{x^2} [/mm] ) = 2-1=1 $
Ich habe hier mit [mm] \integral{|x| dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \cdot [/mm] |x| [mm] \cdot [/mm] x gerechnet.
Das Ergebnis kann doch nicht stimmen, oder?
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> Hallo kamaleonti, danke shconmal für deine Antwort.
>
> Wenn ich dein Integral nun ausrechne, komme ich darauf:
>
> [mm]F(x)=\int_{-1/|x|}^{1/|x|}|x|-|t|x^2 dt = \int_{-1/|x|}^{1/|x|}|x| dt - \int_{-1/|x|}^{1/|x|}|t|x^2 dt = [ |x|t ]_{-1/|x|}^{1/|x} - [\bruch{1}{2} \cdot x^2 \cdot t \cdot |t| ]_{-1/|x|}^{1/|x|} = (|x| \cdot \bruch{1}{|x|} + |x| \cdot \bruch{1}{|x|}) - (\bruch{1}{2} \cdot x^2 \cdot \bruch{1}{x^2} + \bruch{1}{2} \cdot x^2 \cdot \bruch{1}{x^2} ) = 2-1=1[/mm]
>
> Ich habe hier mit [mm]\integral{|x| dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \cdot[/mm] |x| [mm]\cdot[/mm] x gerechnet. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das Ergebnis kann doch nicht stimmen, oder?
Es ist ein, wie ich finde, recht erstaunliches/überraschendes Ergebnis, da das Integral für [mm] x\neq0 [/mm] nicht von x abzuhängen scheint. Deine Rechnung scheint jedenfalls soweit zu stimmen.
LG
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OK,
angenommen, mein Ergebnis stimmt, also
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = 0 \\ 1, & \mbox{für } x \not= 0 \end{cases}
[/mm]
dann ist diese Funktion ja nicht stetig, ,da für [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 0 gilt:
[mm] F(a_n) \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
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