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| Aufgabe | Gegeben sei die auf [mm] D=(x\in\IR^2|x=(x_1,x_2),x_1\not=x_2) [/mm] definierte Funktion f mit:
[mm] f(x)=\bruch{x_1+x_2}{x_1-x_2}
[/mm]
Geben sie jeweils ein Beispiel füe eine gegen (0,0) konvergente Punktfolge [mm] (x_k)_{k\in\IN} [/mm] im [mm] \IR^2 [/mm] an,so dass:
a) [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k)=-1
[/mm]
b) [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k)=1 [/mm] |
Hallo:)
Ich hab ein Problem schon mit der Aufgabenstellung an sich.
Ich vorallem mit dem auftauchenden k nicht wirklich was anfangen, was sagt mir das aus? Muss ich nun eine Punktfolge finden die gegen (0,0) geht oder gegen -1??
Gibt es Verfahren wie ich geeignete Punktfolgen schnell finde???
Was is wichtig zu wissen bei diesem Thema?
Gruß
mathefreak
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> Gegeben sei die auf [mm]D=(x\in\IR^2|x=(x_1,x_2),x_1\not=x_2)[/mm]
> definierte Funktion f mit:
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> [mm]f(x)=\bruch{x_1+x_2}{x_1-x_2}[/mm]
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> Geben sie jeweils ein Beispiel füe eine gegen (0,0)
> konvergente Punktfolge [mm](x_k)_{k\in\IN}[/mm] im [mm]\IR^2[/mm] an,so
> dass:
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> a) [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k)=-1[/mm]
> b) [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k)=1[/mm]
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> Hallo:)
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> Ich hab ein Problem schon mit der Aufgabenstellung an
> sich.
> Ich vorallem mit dem auftauchenden k nicht wirklich was
> anfangen, was sagt mir das aus? Muss ich nun eine
> Punktfolge finden die gegen (0,0) geht oder gegen -1??
ACHTUNG! Nicht $lim [mm] x_n$ [/mm] mit $lim [mm] f(x_n)$ [/mm] verwechseln! Mit anderen Worten: Man möchte von dir, dass du eine Folge findest, die zwar gegen den Punkt (0,0) im Unendlichen strebt, für die der Funktionswert aber existiert und eben a) oder b) beträgt. Dann könnte man im zweiten Zuge über sowetwas wie stetige Ergänzung sprechen. Klarer?
> Gibt es Verfahren wie ich geeignete Punktfolgen schnell
> finde???
> Was is wichtig zu wissen bei diesem Thema?
Das ist eine weitläufige Frage. Allgemein gibt es kein Verfahren, du solltest halt Standardfolgen für den Fall 0 oder 1 kennen. Also Klassiker wie alle Formen [mm] \bruch{1}{k} [/mm] und auch höhere Potenzen von k, der ln(k) für k gegen 1 oder der sin(k) respektive der cos(k) für die entsprechenden Winkel.
Würdest du [mm] $x_k=\bruch{1}{k}$ [/mm] wählen, so wäre mit k [mm] \to \infty [/mm] ja der Grenzwert (0,0) erfüllt ,der Funktionswert [mm] f(x_k) [/mm] wäre dann aber nach wie vor nicht definiert weil im Nenner 0 steht. Außerdem soll wohl extra eine Folge gewählt werden, so dass [mm] x_1 \not= \x_2, [/mm] daher fällt das Beispiel eh raus, aber nehmen wir mal [mm] $x_k=\vektor{1/k \\ 1/k^2}$.
[/mm]
Dann wäre $ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k)=\bruch{\bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^2}}{\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k^2}}$
[/mm]
Erweitern mit k bringt:
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}f(x_k)=\bruch{1+\bruch{1}{k}}{1-\bruch{1}{k}}=1$
[/mm]
Damit hättest du einen funktionierenden Fall. Du siehst: es exisitert kein Schema, um das immer hinzubekommen, man muss probieren und einfach ein wenig Erfahrung bzw ein geschultes Auge haben ;)
>
> Gruß
> mathefreak
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Is wohl wie bei den Integralen was ...Man braucht ein Gefühl dafür^^ obwohl ich finde dass es ganz gut ohne geht:P
Zur Aufgabe würde das ganze auch mit [mm] x_k =(\bruch{1}{k},0) [/mm] für 1
und [mm] x_k =(0,\bruch{1}{k}) [/mm] für -1??
gruß
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> Is wohl wie bei den Integralen was ...Man braucht ein
> Gefühl dafür^^ obwohl ich finde dass es ganz gut ohne
> geht:P
Je nachdem wie komplex die vorgegebene Funktion ist ;)
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> Zur Aufgabe würde das ganze auch mit [mm]x_k =(\bruch{1}{k},0)[/mm]
> für 1
> und [mm]x_k =(0,\bruch{1}{k})[/mm] für -1??
>
> gruß
Ja, das wäre der einfachste Fall, aber auch hier handelt es sich um eine Punktfolge (soweit ich deren Definition verstehe). Manchmal ist aber extra nach einer nicht konstanten Folge gerfagt, aber hier denke ich, ist das eine gute einfache Lösung, denn deine beiden Folgen streben ja in der Tat gegen (0,0)
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