Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Mi 25.05.2011 | | Autor: | javeda |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] stetig und a,b [mm] \in \IR [/mm] mit f(a)>b.
Zeige, es gibt ein [mm] \delta [/mm] >0, so dass f(x)>b für alle [mm] x\in (a-\delta,a+\delta). [/mm] |
Hallo zusammen!
Irgendwie komme ich bei dieser Aufgabe nicht richtig voran.
Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, heißt das: wenn f stetig ist und f(a)>b dann gibt es eine [mm] \delta-Umgebung [/mm] von a für die alle f(x)>b sind.
Aber wie zeige ich das?
Wenn ich [mm] x\le a+\delta [/mm] einsetzte habe ich:
|x-a| [mm] \le |a+\delta-a|=|\delta|=\delta
[/mm]
Da f stetig gilt für |f(x)-f(a)| = [mm] |f(a+\delta)-f(a)| [/mm] < [mm] |f(a+\delta)-b|<\varepsilon
[/mm]
Aber wie muss ich jetzt weitermachen, damit ich f(x)>b bekomme?
Danke schonmal für die Hilfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Mi 25.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] stetig und [mm]a,b \in \IR[/mm] mit f(a)>b.
> Zeige, es gibt ein [mm]\delta >0[/mm], so dass f(x)>b für alle
> [mm]x\in (a-\delta,a+\delta).[/mm]
> Hallo zusammen!
>
> Irgendwie komme ich bei dieser Aufgabe nicht richtig
> voran.
> Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, heißt das:
> wenn f stetig ist und f(a)>b dann gibt es eine
> [mm]\delta-Umgebung[/mm] von a für die alle f(x)>b sind.
>
> Aber wie zeige ich das?
> Wenn ich [mm]x\le a+\delta[/mm] einsetzte habe ich:
>
> |x-a| [mm]\le |a+\delta-a|=|\delta|=\delta[/mm]
>
> Da f stetig gilt für [mm]|f(x)-f(a)| = |f(a+\delta)-f(a)| < |f(a+\delta)-b|<\varepsilon[/mm]
Nein. Da hast du die die Stetigkeitsbedingung umgedreht. Es gibt nicht ein [mm] $\varepsilon$ [/mm] zu jedem [mm] $\delta$, [/mm] sondern umgekehrt.
Tipp: Wähle [mm] $\varepsilon [/mm] =f(a)-b$ und setze das Stetigkeitskriterium ein.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hallo allerseits!
Ich hänge an selbiger Aufgabe bei der Umformung der Ungleichung.
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (a- [mm] \delta, [/mm] a+ [mm] \delta [/mm] ) : | f(x) - f(a) | < [mm] \varepsilon
[/mm]
Nungut, mit [mm] \varepsilon [/mm] := f(a) -b kommt man zu
|f(x)-f(a)| < f(a)-b , aber hier komme ich leider nicht weiter... Der Betrag macht mir ziehmlich zu schaffen...
Danke für Eure Hilfe!
LG TripleJump
|
|
|
| |
|
> Hallo allerseits!
>
> Ich hänge an selbiger Aufgabe bei der Umformung der
> Ungleichung.
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] : [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] (a-
> [mm]\delta,[/mm] a+ [mm]\delta[/mm] ) : | f(x) - f(a) | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Nungut, mit [mm]\varepsilon[/mm] := f(a) -b kommt man zu
>
> |f(x)-f(a)| < f(a)-b , aber hier komme ich leider nicht
> weiter... Der Betrag macht mir ziehmlich zu schaffen...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn |f(x)-f(a)| < f(a)-b , dann ist das gleichbedeutend mit
-(f(a)-b)<f(x)-f(a)<f(a)-b.
Also ist (linke Seite) b-f(a)< f(x)-f(a) <==> b<f(x).
Gruß v. Angela
>
> Danke für Eure Hilfe!
>
> LG TripleJump
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Fr 27.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Am einfachsten gehts mit einem Widerspruchsbeweis. Nimm an, ein solches [mm] \delta [/mm] würde es nicht geben.
Ist nun n [mm] \in \IN [/mm] , so gibt es also ein [mm] $x_n \in [/mm] (a-1/n, a+1/n)$ mit: [mm] f(x_n)\le [/mm] b.
Die so gewonnene Folge [mm] (x_n) [/mm] konvergiert gegen a. Jetzt nutze die Stetigkeit von f in a, um zu einem Widerspruch zu kommen.
FRED
|
|
|
|
