Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Mi 26.01.2011 | | Autor: | yuppi |
Hallo Zusammen und zwar versuche ich zu zeigen das die Funktion in (0,0) stetig ist.
f(x,y)= [mm] \bruch{x^4+y^4}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}}
[/mm]
Außerhalb von also ungleich (0,0) ist das ja klar. Eine Kompisition stetiger Abildungen ist stetig. Und der Nenner wird ebenfalls nicht 0 da ungleich (0,0) nur betrachtet wird. Wäre super nett wenn ich das hier mit jemanden machen könnte. Habe gar kein plan wie man da rangeht.
Gruß
yuppi
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Hallo yuppi,
> Hallo Zusammen und zwar versuche ich zu zeigen das die
> Funktion in (0,0) stetig ist.
>
>
> f(x,y)= [mm]\bruch{x^4+y^4}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Außerhalb von also ungleich (0,0) ist das ja klar. Eine
> Kompisition stetiger Abildungen ist stetig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und der Nenner
> wird ebenfalls nicht 0 da ungleich (0,0) nur betrachtet
> wird. Wäre super nett wenn ich das hier mit jemanden
> machen könnte. Habe gar kein plan wie man da rangeht.
Probier's mit Polarkoordinaten:
[mm]x=r\cdot{}\cos(\varphi)[/mm]
[mm]y=r\cdot{}\sin(\varphi)[/mm] ...
Also [mm]f(r,\varphi)=...[/mm]
Lasse dann [mm]r\to 0[/mm] gehen und schaue, ob sich unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] ein (und derselbe) Grenzwert ergibt.
>
> Gruß
> yuppi
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 26.01.2011 | | Autor: | yuppi |
Polarkoordinaten sind mir leider fremd... hast du vielleicht einen anderen Tipp, wie man das noch machen könnte ?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Polarkoordinaten sind mir leider fremd... hast du
> vielleicht einen anderen Tipp, wie man das noch machen
> könnte ?
der Ausdruck
$$f(x,y)= [mm] \bruch{x^4+y^4}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}}$$
[/mm]
ist für [mm] $x=y=0\,$ [/mm] nicht definiert. Aber was man sich fragen kann, ist, ob man diese (z.B. auf [mm] $\IR^2\setminus\{(0,0)\}$ [/mm] definierte) Funktion stetig in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] ergänzen könnte. Ich behaupte, dass das mit [mm] $f(0,0):=0\,$ [/mm] geht.
Wegen
[mm] $$x^4+y^4 \le (x^2)^2+2x^2y^2+(y^2)^2=(x^2+y^2)^2$$ [/mm]
für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}$ [/mm] folgt nämlich
[mm] $$(\star)\;\;|f(x,y)| \le \sqrt{x^2+y^2}\,,$$
[/mm]
woraus wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion, der Addition, der Betragsfunktion und [mm] $\sqrt{0}=0=|0|$ [/mm] die Behauptung folgt.
P.S.:
Die Stetigkeit der Betragsfunktion kann man auch weglassen, wenn man [mm] $(\star)$ [/mm] im Sinne von
$$|f(x,y)|=|f(x,y)-0| [mm] \le \sqrt{x^2+y^2}\,,$$
[/mm]
liest.
Ich selber folgere aber aus [mm] $(\star)$ [/mm] einfach
[mm] $$\lim_{(0,0) \not=(x,y) \to (0,0)}|f(x,y)|=0\,,$$
[/mm]
und die Stetigkeit der Betragsfunktion erlaubt's mir, den Limes unter den Betrag zu ziehen, woraus sich dann
[mm] $$\lim_{(0,0) \not=(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=0$$
[/mm]
ergibt (weil glücklicherweise [mm] $|r|=0\,$ [/mm] auch $r=0$ nach sich zieht; also die Betragsfunktion nur die einzige Nullstelle in der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] hat).
Gruß,
Marcel
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