Stetigkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Mo 13.12.2010 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Seien [mm] f,g:\IR\to\IR [/mm] zwei stetige Funktionen mit
f(x) = g(x) für alle [mm] x\in\IQ
[/mm]
Man zeige dass dann bereits f(x) = g(x) für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt. |
Hallo,
ich weiß nicht wie ich an diese Aufgabe herangehen soll und würde sie gerne mit Hilfe Schritt für Schritt versuchen zu lösen.
Was wäre der erste Schritt?
Viele Grüße und vielen Dank,
Paula.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Seien [mm]f,g:\IR\to\IR[/mm] zwei stetige Funktionen mit
>
> f(x) = g(x) für alle [mm]x\in\IQ[/mm]
>
> Man zeige dass dann bereits f(x) = g(x) für alle [mm]x\in\IR[/mm]
> gilt.
> Hallo,
> ich weiß nicht wie ich an diese Aufgabe herangehen soll
> und würde sie gerne mit Hilfe Schritt für Schritt
> versuchen zu lösen.
> Was wäre der erste Schritt?
Du weißt ja bereits, dass f und g identisch sind für alle [mm]x\in\IQ[/mm].
Jetzt betrachte einen beliebiges $x [mm] \in \IR$. [/mm] Du willst zeigen: $f(x)=g(x)$.
Ihr habt mit Sicherheit in der Vorlesung gehabt, dass man jede relle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren kann (Intervallschachtelung). Nun betrachte eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}, x_n \in \IQ$ [/mm] die gegen das oben geählte $x [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiert.
Was weißt du über die Funktionswerte [mm] $f(x_n), g(x_n)$?
[/mm]
Um dann eine Aussage über f(x) und g(x) zu treffen, musst du die Stetigkeit der Funktionen f und g ins Spiel bringen.
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße, Lippel
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