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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Mo 05.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion:
f: R -> R: x -> [mm] \begin{cases} -x, & \mbox{für } x< - \pi/2 \\ lcos(x)l, & \mbox{für } -\pi/2 \le x < 3/2 \pi \\ -x + 3/2 \pi, & \mbox{für } x \ge 3/2 \pi \end{cases}
[/mm]
Wo ist f stetig?
Wo ist f differenzierbar? |
So schönen Tag zusammen,
wie geh ich denn bei folgender Aufgabenstellung vor. Ich weiß was eine stetige Funktion ist aber hab hier keine Idee wie ich vorgehe..Was für ein Schema ich anwenden könnte.
Vielen Dank für Tipps!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mo 05.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die fkt ist ja ausser an Stellen, wo die Def sich ändert sicher stetig, weil die einzelnen fkt stetig sind.
du musst also nur die Stelle [mm] \-pi/2 [/mm] und [mm] 3/2*\pi [/mm] untersuchen.
also jeweils GW bzw Wert von links und rechts. Bei |cosx| für die Differenzierbarkeit noch [mm] \pi/2
[/mm]
Am besten erstmal die fkt skizzieren, dann weisst du schon wo sie stetig und diffb. ist und dann das eben zeigen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Mo 05.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Okay also das heißt ich geh immer an den Grenzen von + und minus ran:
[mm] \limes_{x\rightarrow-\pi/2 +} [/mm] -x -> [mm] -\pi/2 [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\pi/2 -} [/mm] -x -> [mm] -\pi/2 [/mm]
stetig
[mm] \limes_{x\rightarrow-\pi/2 +} [/mm] lcos(x)l -> 0
[mm] \limes_{x\rightarrow-\pi/2 -} [/mm] lcos(x)-> 0
stetig..also ist an der Stelle [mm] -\pi/2 [/mm] stetig
[mm] \limes_{x\rightarrow-\3pi/2 +} [/mm] lcos(x)l -> 0
[mm] \limes_{x\rightarrow-\3pi/2 -} [/mm] lcos(x)l -> 0
[mm] \limes_{x\rightarrow-\3pi/2 +} [/mm] -x + 3/2 [mm] \pi [/mm] -> 0
[mm] \limes_{x\rightarrow-\3pi/2 -} [/mm] -x + 3/2 [mm] \pi [/mm] -> 0
wäre so auch stetig...jedoch ist laut meiner Lösung nur [mm] -\pi/2 [/mm] stetig..
Ist die Vorgehensweise falsch?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mo 05.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
an den Stellen, wo die Def der fkt wechselt kannst du nicht mit er linken fkt den rechts GW bestimmen, und mit der rechten nicht den links GW.
also etwa bei [mm] -\pi/2 [/mm] ist der linksseitige GW [mm] \pi/2, [/mm] der techseitige 0 also ist die fkt unstetig bei [mm] -\pi/2 [/mm] und dann natürlich auch nicht diffbar. dann bei [mm] \pi/2 [/mm] , dann bei [mm] 3/2\pi [/mm] aber immer den einen GW von links, den der rechten fkt von rechts.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mo 05.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Okay..
Also - [mm] \pi/2 [/mm] unstetig
bei 3/2 [mm] \pi [/mm] stetig!
Wieso muss ich [mm] \pi/2 [/mm] noch untersuchen? Sind die Grenzen nicht nur bei den oben genannten Stellen?
Wie kann ich die Differenzierbarkeit zeigen?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Mo 05.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
an der Stelle [mm] x=\pi/2 [/mm] wird cosx negativ, also |cosx| muss untersucht werden.
für Differenzierbarkeit untersuchst du den GW der Steigungen an den 3 Stellen, wieder jeweils von links und rechts.
Wo musst du noch untersuchen?
Grus leduart
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Hallo,
die Funktion ist in drei "Abschnitte" gegliedert. Du musst für die Stetigkeit prüfen, ob der "Übergang" von einem zum anderen Abschnitt stetig ist. Das heißt:
Geht die Funktion1, also -x stetig über in die Funktion2, also lcos(x)l und schließlich musst du prüfen, ob die Funktion lcos(x)l stetig in die Funktion -x+3/2pi übergeht. (Vgl. dazu: Grenzwertbetrachtung).
Zur zweiten Frage: Überlege dir den Zusammenhang zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Differenzeierbarkit im Bezug auf die Stetigkeit.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
noch nicht ganz gezeigt
