Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Di 12.01.2010 | | Autor: | egmont |
| Aufgabe | | [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x y^6}{sin(x^4+y^8)}, & \mbox{für } (x,y)\not= (0,0)\\ 1, & \mbox{für } (x,y)= (0,0) \end{cases} [/mm] |
Hallo liebes Mathe-Raum-Team,
wir haben diese Aufgabe bekommen und sollen auf stetigkeit prüfen. Leider verstehe ich die herangehensweise noch nicht. Ich weiß nur dass ich über Punktfolgen auf Konvergenz prüfen soll. Aber das wars dann auch schon. Zudem meinte mein Lehrer, dass es sinvoll wäre entweder auf "Stetigkeit" oder auf "nicht Steigkeit" zu prüfen.
könnte mir dabei bitte einer Helfen?
danke
egmont
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x y^6}{sin(x^4+y^8)}, & \mbox{für } (x,y)\not= (0,0)\\ 1, & \mbox{für } (x,y)= (0,0) \end{cases}[/mm]
>
> Hallo liebes Mathe-Raum-Team,
> wir haben diese Aufgabe bekommen und sollen auf stetigkeit
> prüfen. Leider verstehe ich die herangehensweise noch
> nicht.
Na dann versuchen wir dich da mal heranzuführen.
> Ich weiß nur dass ich über Punktfolgen auf
> Konvergenz prüfen soll.
Ok, dann schreib mal bitte auf, ob du weisst, was Folgenstetigkeit bedeutet?
Was heisst es, dass eine Funktion (folgen-)stetig ist?
Schreib die Definition auf und mal bitte in eigenen Worten erklären, was das heisst 
> Zudem meinte mein Lehrer, dass es sinvoll wäre entweder
> auf "Stetigkeit" oder auf "nicht Steigkeit" zu prüfen.
Ja, denn um etwas zu widerlegen, reicht ein Gegenbeispiel.
Das ist meist einfacher
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Di 12.01.2010 | | Autor: | egmont |
> > Ich weiß nur dass ich über Punktfolgen auf
> > Konvergenz prüfen soll.
>
> Ok, dann schreib mal bitte auf, ob du weisst, was
> Folgenstetigkeit bedeutet?
> Was heisst es, dass eine Funktion (folgen-)stetig ist?
> Schreib die Definition auf und mal bitte in eigenen Worten
> erklären, was das heisst
Eine Funktion ist dann Stetig, wenn eine Folge zu einer Ausnahme hin konvergiert. In diesesn Beispiel ist die Ausnahme 1 da diese eine Division durch 0 ergeben würde.
Und das kann man über die Konvergenz einer Folge prüfen. Z.b.:
[mm] x_{k} [/mm] und [mm] y_{k} [/mm] sind Punktfolgen mit
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (x_{k}, y_{k}) [/mm] =(0,0)
soviel mein ich verstanden zu haben.
danke
egmont
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> Eine Funktion ist dann Stetig, wenn eine Folge zu einer
> Ausnahme hin konvergiert. In diesesn Beispiel ist die
> Ausnahme 1 da diese eine Division durch 0 ergeben würde.
>
> Und das kann man über die Konvergenz einer Folge prüfen.
> Z.b.:
> [mm]x_{k}[/mm] und [mm]y_{k}[/mm] sind Punktfolgen mit
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} (x_{k}, y_{k})[/mm] =(0,0)
>
> soviel mein ich verstanden zu haben.
Hui, ich glaube, da ist noch ein wenig im argen:
Also: Eine Funktion f (hier im zweidimensionalen Fall) ist dann folgenstetig im Punkt [mm] (x_0,y_0), [/mm] wenn für ALLE Folgen [mm] $(x_k,y_k)$ [/mm] mit [mm] $\lim_{k\to\infty}(x_k,y_k) [/mm] = [mm] (x_0,y_0)$ [/mm] die Folge der Funktionswerte [mm] $f(x_k,y_k)$ [/mm] gegen den Funktionswert an der Stelle, also [mm] $f(x_0,y_0)$ [/mm] konvergieren, d.h.
[mm] $\lim_{k\to\infty}f(x_k,y_k) [/mm] = [mm] f(x_0,y_0)$
[/mm]
Da man die Vorbetrachtung [mm] $\lim_{k\to\infty}(x_k,y_k) [/mm] = [mm] (x_0,y_0)$ [/mm] nicht jedesmal hinschreiben will, verwuselt man das als Index im Limes, man schreibt dann nämlich
[mm] $\lim_{(x_k,y_k)\to (x_0,y_0)} f(x_k,y_k) [/mm] = [mm] f(x_0,y_0)$
[/mm]
Um sich noch mehr Schreibarbeit zu sparen, schreibt man normalerweise die Folgen nicht als [mm] $(x_k,y_k)$ [/mm] sondern nur als $(x,y)$ und wir erhalten:
[mm] $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} [/mm] f(x,y) = [mm] f(x_0,y_0)$
[/mm]
In unserem Fall betrachten wir die Stelle [mm] $(x_0,y_0) [/mm] = (0,0)$, d.h. wir müssen prüfen, ob gilt:
[mm] $\lim_{(x,y)\to (0,0)} [/mm] f(x,y) = f(0,0)$
für ALLE Folgen $x$ und $y$, für die gilt [mm] $x\to [/mm] 0$ und [mm] $y\to [/mm] 0$.
Finden wir nun also EINE Folge, für die das nicht gilt, sind wir fertig.
Die Funktion ist dann NICHT stetig, weil es ja für ALLE Folgen gelten soll, wenn sie stetig wäre.
Also: Gibt es nun also eine Folge $(x,y)$, so dass [mm] $\lim_{(x,y)\to (0,0)} [/mm] f(x,y) = f(0,0) = 1$ NICHT gilt? (Als Tip: Ja es gibt viele, nun finde mal eine)
MFG,
Gono.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:44 Di 12.01.2010 | | Autor: | egmont |
| Aufgabe | | [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x y^6}{sin(x^4+y^8)}, & \mbox{für } (x,y)\not= (0,0)\\ 1, & \mbox{für } (x,y)= (0,0) \end{cases} [/mm] |
kann ich das auch so ausdrücken? Das machen wir im Unterricht so und das ist mir auch klarer:
wähle [mm] x_{k}= \bruch{1}{k^2} [/mm] und [mm] y_{k}= \bruch{1}{k} [/mm] mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(x_{k},y_{k}) [/mm] = (0,0)
Damit hätte ich zwei Punktfolgen erzeugt, die gegen Null Konvergieren.
z.Z. [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}f(x_{k},y_{k}) [/mm] = 1
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{k^2} \bruch{1}{k^6}}{sin(\bruch{1}{k^8}+\bruch{1}{k^8})} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{k^8} }{sin(\bruch{2}{k^8})}
[/mm]
aber dann erhalte ich einen Ausdruck von [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ist der gültig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Di 12.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x y^6}{sin(x^4+y^8)}, & \mbox{für } (x,y)\not= (0,0)\\ 1, & \mbox{für } (x,y)= (0,0) \end{cases}[/mm]
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> kann ich das auch so ausdrücken? Das machen wir im
> Unterricht so und das ist mir auch klarer:
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> wähle [mm]x_{k}= \bruch{1}{k^2}[/mm] und [mm]y_{k}= \bruch{1}{k}[/mm] mit
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(x_{k},y_{k})[/mm] = (0,0)
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> Damit hätte ich zwei Punktfolgen erzeugt, die gegen Null
> Konvergieren.
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> z.Z. [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f(x_{k},y_{k})[/mm] = 1
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{k^2} \bruch{1}{k^7}}{sin(\bruch{1}{k^8}+\bruch{1}{k^8})}[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{k^14} }{sin(\bruch{2}{k^8})}[/mm]
Was rechnest Du da ?
Es ist
[mm] $x_ky_k^6 [/mm] = [mm] \bruch{1}{k^8} \not [/mm] = [mm] \bruch{1}{k^2}*\bruch{1}{k^7}\not= \bruch{1}{k^{14}}$
[/mm]
Tipp: für $x [mm] \not=0$ [/mm] betrachte $f(x,0)$ . Was macht dieser Ausdruck für $x [mm] \to [/mm] 0$ ?
FRED
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> aber dann erhalte ich einen Ausdruck von [mm]\bruch{0}{0}[/mm] ist
> der gültig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Di 12.01.2010 | | Autor: | egmont |
> Was rechnest Du da ?
>
> Es ist
>
> [mm]x_ky_k^6 = \bruch{1}{k^8} \not = \bruch{1}{k^2}*\bruch{1}{k^7}\not= \bruch{1}{k^{14}}[/mm]
>
Habs korrigiert
>
> Tipp: für [mm]x \not=0[/mm] betrachte [mm]f(x,0)[/mm] . Was macht dieser
> Ausdruck für [mm]x \to 0[/mm] ?
>
Versteh denn Tipp nicht, ich dachte ich muss von x = 0 ausgehen?
Wenn ich von x [mm] \not= [/mm] 0 ausgehe und y = 0 setzte, werde ich immer 0 erhalten ungeachtet dessen, welcher Wert für x eingegeben wird
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Di 12.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Was rechnest Du da ?
> >
> > Es ist
> >
> > [mm]x_ky_k^6 = \bruch{1}{k^8} \not = \bruch{1}{k^2}*\bruch{1}{k^7}\not= \bruch{1}{k^{14}}[/mm]
>
> >
> Habs korrigiert
> >
> > Tipp: für [mm]x \not=0[/mm] betrachte [mm]f(x,0)[/mm] . Was macht dieser
> > Ausdruck für [mm]x \to 0[/mm] ?
> >
> Versteh denn Tipp nicht, ich dachte ich muss von x = 0
> ausgehen?
> Wenn ich von x [mm]\not=[/mm] 0 ausgehe und y = 0 setzte, werde ich
> immer 0 erhalten ungeachtet dessen, welcher Wert für x
> eingegeben wird
Richtig. Dann nimm doch mal die Folge [mm] $(x_k,y_k) [/mm] =(1/k,0)$. Diese konvergiert zweifelsohne gegen (0,0).
Was treibt [mm] $f(x_k,y_k)$ [/mm] ? Strebt das gegen $f(0,0)$ ?
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Di 12.01.2010 | | Autor: | egmont |
> Richtig. Dann nimm doch mal die Folge [mm](x_k,y_k) =(1/k,0)[/mm].
> Diese konvergiert zweifelsohne gegen (0,0).
>
> Was treibt [mm]f(x_k,y_k)[/mm] ? Strebt das gegen [mm]f(0,0)[/mm] ?
>
> FRED
>
dann erhalte ich:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{k} 0}{Sin(\bruch{1}{k^4})}
[/mm]
Erhalte ich dann nicht wieder [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
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Nein, dann erhälst du:
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{k} 0}{Sin(\bruch{1}{k^4})} = \limes_{k\rightarrow\infty} 0 = 0 [/mm]
Das passiert übrigens bei der Folge [mm] $(x_k,0) \to [/mm] (0,0)$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Di 12.01.2010 | | Autor: | egmont |
> Nein, dann erhälst du:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{k} 0}{Sin(\bruch{1}{k^4})} = \limes_{k\rightarrow\infty} 0 = 0[/mm]
>
> Das passiert übrigens bei der Folge [mm](x_k,0) \to (0,0)[/mm]
>
> MFG,
> Gono.
Warum ist das so? ich erahlte doch unten 0 und oben 0 und [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ist doch nicht gleich 0 oder? Oder wirkt das [mm] \bruch{1}{k} [/mm] 0 stärker als wenn nur [mm] \bruch{1}{k} [/mm] dort stünde, das ist mir jetzt noch unklar.
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Hiho,
oben hast du doch gar kein [mm] \bruch{1}{k} [/mm] mehr, denn für alle k gilt:
[mm] $\bruch{\bruch{1}{k}*0}{\sin(\bruch{1}{k^4})} [/mm] = [mm] \bruch{0}{\sin(\bruch{1}{k^4})} [/mm] = 0$
Das hat nichts mit dem Grenzwert zu tun.
Und [mm] $\lim_{k \to \infty} [/mm] 0 $ ist und bleibt 0
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Di 12.01.2010 | | Autor: | egmont |
Ah okay, wenn ich erst ausrechne und dann den Limes laufen lasse, passts auch bei mir im Kopf,
dankeschön an alle Beteiligten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Di 12.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ah okay, wenn ich erst ausrechne und dann den Limes laufen
> lasse,
.... anders rum gehts auch schlecht .....
> passts auch bei mir im Kopf,
>
> dankeschön an alle Beteiligten
Bitteschön
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:56 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
Da fällt mir noch eine generelle Frage ein.
Bei dieser Aufgabe haben wir ja nun auf "nicht Stetigkeit" geprüft. Da wir widerlet haben, dass bei Punktfolgen die (0,0) ergeben, keine 1 rauskommt.
Woran kann ich erkennen, dass ich auf "Stetigkeit" oder auf "nicht Stetigkeit" prüfen sollte.
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> Da fällt mir noch eine generelle Frage ein.
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> Bei dieser Aufgabe haben wir ja nun auf "nicht Stetigkeit"
> geprüft. Da wir widerlet haben, dass bei Punktfolgen die
> (0,0) ergeben, keine 1 rauskommt.
>
> Woran kann ich erkennen, dass ich auf "Stetigkeit" oder auf
> "nicht Stetigkeit" prüfen sollte.
Hallo,
wenn man das immer auf einen Blick erkennen könnte, könnte man sich das ganze Tamtam ja sparen.
Normalerweise verschafft man sich erstmal einen Eindruck von der Funktion, um zu wissen, was man zeigen möchte.
Das kann man z.B. tun, indem man um die zu untersuchende Stelle herum mal ein paar Werte ausrechnet, ein paar Folgen einsetzt oder sonstige Überlegungen je nach den eigenen Möglichkeiten anstellt.
Tja, nun bist Du vielleicht so schlau wie zuvor...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:55 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
Macht nichts ;) Ist auch eine Erkenntnis, danke
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