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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich verstehe einfach nicht die mathematischen Schreibweise und die Ausdrucksweise der Mathematiker.
Beispielsweise kann ich nicht im geringsten Erschliessen, was nun Stetigkeit heisst..
Danke
Gruss DInker
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
ich will Dir das, was dort geschrieben steht, ein wenig anschaulich-intuitiv erklären.
Nehmen wir also eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR.
[/mm]
Wir interessieren uns jetzt mal für die Stetigkeit an der Stelle x=5. Sei bei dieser Funktion f(5)=7.
In Deiner Definition steht nun: die Funktion heißt stetig an der Stelle x=5, wenn folgendes gilt:
wenn Du mit dem x-Wert immer dichter an die 5 heranrückst, so rücken die zugehörigen Funktionswerte immer dichter an f(5)=7 heran.
Überlege Dir einfach mal anschaulich, daß das für die Funktion f mit f(x):= [mm] x^2 [/mm] - 18 der Fall ist.
Für die Funktion g mit
[mm] g(x):=\begin{cases} x^2 - 18, & \mbox{für } x\le 5 \mbox{ } \\ x^2, & \mbox{für } x>5 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
hingegen gilt das nicht. (Wenn Du beipielweise von rechts an die 5 heranrückst.) Der Graph "reißt".
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 13.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich bin einfach zu blöd. Leider weiss ich noch genau gleichw enig, was stetig heisst.
Gruss Dinker
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Hallo Dinker,
> Ich bin einfach zu blöd. Leider weiss ich noch genau
> gleichw enig, was stetig heisst.
Das hilft jetzt nicht unbedingt, das Problem zu lösen. Meiner Meinung nach hat Angela das sehr gut erklärt. Der Graph der Funktion darf nicht "reißen". Es darf also nicht bei irgendeinem x der Graph plötzlich, sagen wir bei y = 7, aufhören und dann bei y = 25 wieder anfangen.
$ [mm] g(x):=\begin{cases} x^2 - 18, & \mbox{für } x\le 5 \mbox{ } \\ x^2, & \mbox{für } x>5 \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
Hier nochmal ein Bild zur Veranschaulichung von Angelas Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
So, und nun betrachten wir den rechtsseitigen Limes [mm] \limes_{x \to 5+}g(x).
[/mm]
Und wir stellen fest (siehe Definition der Funktion g(x)!), dass wenn wir uns aus x-Sicht von rechts der 5 nähern, sich y nicht der f(5) = 7 nähert, sondern 25.
Das hängt eben gerade mit der Tatsache zusammen, dass die Funktion an dieser Stelle "reißt", und wenn du dir das mal durch den Kopf gehen lässt, kommt sicher auch die Erleuchtung.
Wenn nicht, bitte konkretere Fragen stellen!
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 13.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Wieso betrachten wir denn zwei Graphen?
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> Hallo
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> Wieso betrachten wir denn zwei Graphen?
Hallo,
das sind nicht zwei Graphen, sondern das ist der Graph, der zu der abschnittweise definierten Funktion gehört.
Er besteht aufgrund der Definition aus zwei Zweigen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 13.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Da steht ja einmal [mm] x^2 [/mm] und einmal [mm] x^2 [/mm] + 18
Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: Eine reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall ist stetig, wenn der Graph der Funktion f ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Die Funktion darf insbesondere keine Sprungstellen haben. Diese Aussage ist keine Definition, weil unklar ist, wie ohne Absetzen des Stiftes zeichnen in mathematischen Begriffen ausgedrückt werden könnte. Trotzdem entspricht sie ungefähr der Bedeutung der Stetigkeit und ist daher für die Anschauung sehr nützlich.
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Hallo!
Was genau ist jetzt hier deine Frage? Offensichtlich hast du es ja nun anhand der anschaulichen Definition verstanden. Die mathematische Symbolik und Strenge erlaubt eine solche Definition nicht, aber im Endeffekt sagt die mathematische Definition genau das. Mehr muss man m.E. als Schüler der 11. Klasse auch nicht verstanden haben!
Grüße, Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Schapka |
Unser Prof hat immer gesagt : "Wenn du einen Bleistift nimmst und mit diesem den Graphen der Funktion ohne absetzen zeichnen kannst, ist die Funktion stetig"
Ist eine kleine Eselsbruecke, die du dann auch in dem Beispiel, das dir genannt wurde sehen kannst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Unser Prof hat immer gesagt : "Wenn du einen Bleistift
> nimmst und mit diesem den Graphen der Funktion ohne
> absetzen zeichnen kannst, ist die Funktion stetig"
>
> Ist eine kleine Eselsbruecke, die du dann auch in dem
> Beispiel, das dir genannt wurde sehen kannst.
Das ist zwar eine nette Eselsbrücke und mag für gewöhnliche Beispiele gelten..
Doch versuche die Funktion f(x) = [mm] x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] zu zeichnen. Die ist stetig, lässt sich aber nicht in einem Zug zeichnen, nicht wahr? ;)
Grüsse, Amaro
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