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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Do 20.01.2005 | | Autor: | kaynak |
Hallo liebe Leute, ich zerbreche mir schon die ganze Zeit den Kopf über folgende Aufgabe:
[mm] f(x)=\begin{cases} -(x+3)^2+3, & \mbox{für } -5 \le x < -1 \mbox{ } \\ |2x|, & \mbox{für } -1 \le x \le 3 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
"Wo ist die Fkt stetig? Liegt an den Unstetigkeitsstellen rechts- oder linksseitige Stetigkeit vor?"
So, da gehts dann auch schon los: Man muss ja den Betrage wegbekommen, da sieht die Fkt so aus:
f(x)= [mm] -(x+3)^2 [/mm] + 3 für -5 [mm] \le [/mm] x < -1
2x für ???
-2x für ???
So, nun weiss ich schon mal nicht, wie die Intervalle jetzt sein müssen für 2x und -2x...Wie kommt man auf die?
Wenn ich das erstmal verstanden habe...
vielen dank für die mühe!
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Hallo!
> [mm]f(x)=\begin{cases} -(x+3)^2+3, & \mbox{für } -5 \le x < -1 \mbox{ } \\ |2x|, & \mbox{für } -1 \le x \le 3 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
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> "Wo ist die Fkt stetig? Liegt an den Unstetigkeitsstellen
> rechts- oder linksseitige Stetigkeit vor?"
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> So, da gehts dann auch schon los: Man muss ja den Betrage
> wegbekommen, da sieht die Fkt so aus:
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> f(x)= [mm]-(x+3)^2[/mm] + 3 für -5 [mm]\le[/mm] x < -1
> 2x für ???
> -2x für ???
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> So, nun weiss ich schon mal nicht, wie die Intervalle jetzt
> sein müssen für 2x und -2x...Wie kommt man auf die?
Also, schau dir das doch mal genau an und setze mal ein paar Werte ein. Wenn wir Werte zwischen 0 und 3 einsetzen, dann kommt für 2x natürlich was Positives raus. Wenn wir aber Werte zwischen -1 und 0 einsetzen, dann ist 2x negativ. Da der Betrag aber immer positiv ist, steht hier -2x, also wird das Ganze auch wieder positiv und ist somit das Gleiche wie |2x| - alles klar?
Es sieht dann also so aus:
2x, für [mm] 0\le3
[/mm]
-2x, für -1<0
(wobei du dir hier aussuchen kannst, ob du die 0 mit zu dem ersten oder zu dem zweiten tust)
> Wenn ich das erstmal verstanden habe...
Na, wenn's nur das war und du jetzt alleine weiterkommst?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 20.01.2005 | | Autor: | kaynak |
> Hallo!
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> > [mm]f(x)=\begin{cases} -(x+3)^2+3, & \mbox{für } -5 \le x < -1 \mbox{ } \\ |2x|, & \mbox{für } -1 \le x \le 3 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
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> > "Wo ist die Fkt stetig? Liegt an den Unstetigkeitsstellen
>
> > rechts- oder linksseitige Stetigkeit vor?"
> >
> > So, da gehts dann auch schon los: Man muss ja den Betrage
>
> > wegbekommen, da sieht die Fkt so aus:
> >
> > f(x)= [mm]-(x+3)^2[/mm] + 3 für -5 [mm]\le[/mm] x < -1
> > 2x für ???
> > -2x für ???
> >
> > So, nun weiss ich schon mal nicht, wie die Intervalle
> jetzt
> > sein müssen für 2x und -2x...Wie kommt man auf die?
>
> Also, schau dir das doch mal genau an und setze mal ein
> paar Werte ein. Wenn wir Werte zwischen 0 und 3 einsetzen,
> dann kommt für 2x natürlich was Positives raus. Wenn wir
> aber Werte zwischen -1 und 0 einsetzen, dann ist 2x
> negativ. Da der Betrag aber immer positiv ist, steht hier
> -2x, also wird das Ganze auch wieder positiv und ist somit
> das Gleiche wie |2x| - alles klar?
> Es sieht dann also so aus:
> 2x, für [mm]0\le3
[/mm]
> -2x, für -1<0
> (wobei du dir hier aussuchen kannst, ob du die 0 mit zu
> dem ersten oder zu dem zweiten tust)
>
> > Wenn ich das erstmal verstanden habe...
> Na, wenn's nur das war und du jetzt alleine
> weiterkommst?
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
>
>
Suuper! Das hätte ich schonmal verstanden (at last!)...aber leider geht die Aufgabe weiter...und ich weiß nicht so recht was ich machen soll...
Mir liegen die Antworten zwar vor, aber ich verstehe sie nicht, hier sind sie:
1. Als Polynom stetig in ]-5; -1[ und bei x = -5 rechtsseitig stetig.
2. Als Polynom stetig in ]-1; 0[ und bei x = -1 rechtsseitig stetig.
3. Als Polynom stetig in [0; 3]
Meine Frage: Wieso ist das so, bzw was heisst das überhaupt genau?
Und ich glaube bei Punkt 3 fehlt auch noch etwas, oder?
Nochmals vielen dank, ich werde allmählich weiser!
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In diesem Zusammenhang hab ich mir die Stetigkeitsregeln in der Datenbank angeschaut.
Ist 1/x wirklich eine stetige Funktion???
gruss
eberhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Do 20.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hobbymathematiker,
erst einmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
Die Funktion $y = [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] ist stetig, da gemäß Definition von "stetig" alle $x [mm] \in D_x [/mm] = [mm] \IR \backslash \{0 \}$ [/mm] die beiden (rechtsseitige und linksseitige) Grenzwerte existieren.
Grüße
Loddar
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Erst mal das Grundsätzliche. Mit "als Polynom stetig" ist eigentlich nur gemeint, ob eine Funktion in dem vorgegebenen Bereich ein Polynom ist. Falls dem so ist in die Funktion in diesem Bereich automatisch stetig, da alle Polynome stetig sind.
Mit der "rechts-" bzw. "linksseitigen Steigkeit" ist das so: Für "normale" Stetigkeit im Punkt x muß gelten:
[mm] \forall [/mm] Folgen [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = x gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = f(x)
Bei rechtsseitiger Stetigkeit müssen nur Folgen betrachtet werden deren Werte nur rechts von x liegen (die also größer sind). In Formeln
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] x_{n} [/mm] > x
Ganz analog dazu verhält es sich mit der linksseitigen Stetigkeit.
Wichtig: Bei links- bzw rechtsseitiger Stetigkeit in einem Punkt kommt es nur darauf an, wie die Funktion links. bwz. rechts von diesem Punkt aussieht.
Oft ist links- bze rechtsseitige Steigkeit die stärkste Steigkeitsbedingung, die man verlangen kann. Betrachten wir z.B. deine Funktion: Diese ist nur im Intervall [-5,3] definiert. Im Punkt -5 kann man die Funktion nur auf rechtsseitige Stetigkeit untersuchen. Würde man eine Folge betrachten, die von links gegen -5 konvergiert, so wäre für kein [mm] x_{n} [/mm] ein [mm] f(x_{n}) [/mm] definiert. Folglich macht so eine Betrachtung keinen Sinn.
Nun zu deinen Fragen:
1. Im Bereich [-5,-1] ist f durch das Polynom [mm] -(x+3)^2+3 [/mm] definiert. Also erst recht im Bereich ]-5,-1[. Dort ist sie also als Polynom stetig. Wegen der rechtsseitigen Stetigkeit braucht man sich auch keine Sorgen zu machen, da diese polynomiale Funktionsvorschrift auch im Punkt x=-5 gilt.
2. Im Bereich [-1.0] ist die Funktion durch das Polynom -2x gegeben. Beantwortung analog zu Punkt 1.
3. Im Bereich [0,3] ist die Funktion durch das Polynom 2x definiert. Rest analog zu Punkt 1.
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Hi holy_diver_80
f(x) :=
If x < -1
- (x + [mm] 3)^2 [/mm] + 3
ABS(2·x)
wenn ich die obige funktions vorschrift plotte sieht das nicht nach einer stetigen Funktion aus .
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss
Eberhard
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi
holy_diver_80
hat doch schon z.b gesagt:
Im Bereich [-5,-1] ist f durch das Polynom $ [mm] -(x+3)^2+3 [/mm] $ definiert. Also erst recht im Bereich ]-5,-1[. Dort ist sie also als Polynom stetig.
jetzt darfst du natürlich dir nur den bereich zwischen -5 und -1 ansehen
da ist sie dann lokal stetig
mfg martin
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