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Hallo. Ich habe ein kleines Problem. Ich soll gucken, ob die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} xsin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } ,falls x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } ,falls x = 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
die beiden Funktionen müssen sich ja für die Stetigkeit bei 0 treffen. Gehe ich richtig mit der Annahme, dass ich nun gucken muss welchen Wert x annahmen muss, damit sich Null ergibt??? also z.B. wäre ja der sinus von 180° =0. Also würde ich sagen. Das die Funktion hierfür STetig ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo. Ich habe ein kleines Problem. Ich soll gucken, ob
> die Funktion [mm]f(x)=\begin{cases} x*\sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{falls } x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{falls } , x = 0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> die beiden Funktionen müssen sich ja für die Stetigkeit bei
> 0 treffen.
welche beiden Funktionen? Da steht nur eine Funktion!
> Gehe ich richtig mit der Annahme, dass ich nun
> gucken muss welchen Wert x annahmen muss, damit sich Null
> ergibt??? also z.B. wäre ja der sinus von 180° =0. Also
> würde ich sagen. Das die Funktion hierfür STetig ist.
Das verstehe ich überhaupt nicht, was Du da schreibst. Klar ist, dass $f$ stetig für $x [mm] \not=0$ [/mm] ist, denn:
$x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$ [/mm] ist stetig auf [mm] $\IR\backslash\{0\}$, [/mm] $x [mm] \mapsto \sin(x)$ [/mm] ist stetig auf [mm] $\IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] x$ ist stetig auf [mm] $\IR$. [/mm] Daher ist $x [mm] \mapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] stetig auf [mm] $\IR \backslash\{0\}$ [/mm] als Verknüpfung stetiger Funktionen und daher ist auch
$x [mm] \mapsto x*\sin\left(\frac{1}{x}\right)$
[/mm]
stetig auf [mm] $\IR \backslash\{0\}$ [/mm] als Produkt (auf [mm] $\IR \backslash\{0\}$) [/mm] stetiger Funktionen.
Es bleibt einzig zu klären, ob $f$ auch stetig an $0$ ist. Dazu:
Für jedes $y [mm] \in \IR$ [/mm] ist [mm] $|\sin(y)| \le [/mm] 1$, daher ist für jedes $x [mm] \in \IR \backslash\{0\}$ [/mm] auch [mm] $\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le [/mm] 1$.
Das hat zur Folge, dass für jedes $x [mm] \in \IR\backslash\{0\}$ [/mm] gilt:
[mm] $|f(x)|=|x|*\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le [/mm] |x|$
Und damit sollte es Dir ein leichtes sein, die Stetigkeit von $f$ an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] nachzuweisen (ob mit Folgenkriterium, [mm] $\varepsilon-\delta$ [/mm] oder wie auch immer, kannst Du Dir ja selbst aussuchen).
Gruß,
Marcel
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Alles klar. Lass ich mal auf mich wirken.
Wir hatten ähnliches Beispiel leichtere Aufgabe.
Prüfen sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
$ [mm] f(x)=\begin{cases}\sin(2x), & \mbox{falls } x>0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{falls } x\le0 \mbox{} \end{cases} [/mm] $
Hier würde ich den links und rechtsseitigen Grenzwert überprüfen. Interessant ist ja nun die Stelle 0. Da für x [mm] \not= [/mm] 0 die Funktion definitiv stetig ist. Brauch ich denke ich mal nicht Beweisen. Wenn ja, wie???
Ich überprüfe nun den links und rechtsseitigen Grenzwert an der STelle Null. für die Funkiton cos(2x) g9ilt an der STelle 0, dass der linksseitige Grenzwert hier 1 ist. FÜr die Funkiton -x gilt allerdings, dass diese and der Stelle -x, dass der rechtsseitige Grenzwert 0 ist. Also nicht stetig in x=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Alles klar. Lass ich mal auf mich wirken.
>
> Wir hatten ähnliches Beispiel leichtere Aufgabe.
>
> Prüfen sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}\sin(2x), & \mbox{falls } x>0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{falls } x\le0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Hier würde ich den links und rechtsseitigen Grenzwert
> überprüfen. Interessant ist ja nun die Stelle 0. Da für x
> [mm]\not=[/mm] 0 die Funktion definitiv stetig ist. Brauch ich denke
> ich mal nicht Beweisen. Wenn ja, wie???
kann man schon. Am einfachstens:
$x [mm] \mapsto [/mm] -x$ ist stetig auf [mm] $\IR$, [/mm] insbesondere auf [mm] $(-\infty,0)$. [/mm] Zudem ist $x [mm] \mapsto [/mm] 2x$ stetig auf [mm] $\IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto \sin(x)$ [/mm] ist stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] und daher ist $x [mm] \mapsto \sin(2x)$ [/mm] stetig als Verknüpfung stetiger Funktionen auf [mm] $\IR$, [/mm] insbesondere auf [mm] $(0,\infty)$.
[/mm]
Damit ist klar, dass obige Funktion stetig auf [mm] $\IR \backslash\{0\}$ [/mm] ist.
> Ich überprüfe nun den links und rechtsseitigen Grenzwert an
> der STelle Null. für die Funkiton cos(2x) g9ilt an der
> STelle 0, dass der linksseitige Grenzwert hier 1 ist.
Warum steht da [mm] $\cos(2x)$? [/mm] Oben schreibst Du [mm] $\sin(2x)$. [/mm]
> FÜr
> die Funkiton -x gilt allerdings, dass diese and der Stelle
> -x, dass der rechtsseitige Grenzwert 0 ist. Also nicht
> stetig in x=0
Ich glaube, Du verwechselst zudem links- und rechtsseitig. Rechtsseitig an $0$ heißt, dass ich mich "von rechts" an die $0$ nähere, also mit $x$-Werten echt größer als $0$.
Für die Funktion oben
[mm]f(x)=\begin{cases}\sin(2x), & \mbox{falls } x>0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{falls } x\le0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
gilt:
[mm] $\lim_{x \to 0 \mbox{ und } x > 0}f(x)=\lim_{x \to 0 \mbox{ und } x > 0}\sin(2x)=\lim_{x \to 0}\sin(2x)=\sin(\lim_{x \to 0}2x)=\sin(0)=0$
[/mm]
und
[mm] $\lim_{x \to 0 \mbox{ und } x < 0}f(x)=\lim_{x \to 0 \mbox{ und } x < 0} -x=\lim_{x \to 0}-x=0$
[/mm]
und $f(0)=-0=0$, d.h. diese ist stetig in $0$.
Wenn Du aber meintest:
[mm]f(x)=\begin{cases}\cos(2x), & \mbox{falls } x>0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{falls } x\le0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
so gilt:
[mm] $\lim_{x \to 0 \mbox{ und } x > 0}f(x)=\lim_{x \to 0 \mbox{ und } x > 0}\cos(2x)=\lim_{x \to 0}\cos(2x)=\cos(\lim_{x \to 0}2x)=\cos(0)=1$
[/mm]
( und
[mm] $\lim_{x \to 0 \mbox{ und } x < 0}f(x)=\lim_{x \to 0 \mbox{ und } x < 0} -x=\lim_{x \to 0}-x=0$ [/mm] )
und $f(0)=0 [mm] \not=1=\lim_{x \to 0 \mbox{ und } x > 0}f(x)$, [/mm] d.h. diese ist unstetig stetig in $0$.
Gruß,
Marcel
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Die Funktion heißt cos(2x) ich weiß auch nicht was da mal wieder in mich gefahren ist.  . Sorry...
Das mit links und rechtsseitigen Grenzwert habe ich eigentlich schon verstanden. Dachte ich bisher zumindest. Vielleicht habe ich mich auch wieder vertippt wenn ich den rechtssewitigen durchführe, dann muss ich das für cos(2x) machen. Den linksseitgen dann für -x.
Aber woher erkennst du das alles für Aufgabe 1 ($ [mm] f(x)=\begin{cases} xsin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } ,falls x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } ,falls x = 0 \mbox{} \end{cases} [/mm] $)???
Entscheidend ist ja auch hier die Stelle x=0. Für x= [mm] \IR [/mm] \ {0} ist [mm] xsin(\bruch{1}{x}) [/mm] ja nicht definiert. Da die STelle aber entscheidend für die Stetigkeit ist, bleibt mir ja nichts anderes übrig als diese zu überprüfen. Wenn ich also x=0 einsetze erhalte ich ''Error'' Was für mich dazu führt, dass [mm] xsin(\bruch{1}{x}) [/mm] an der STelle 0 nicht stetig ist. Du sagst aber, dass doch. Das kapier ich irgendwie nicht. Für mich war die Sache eigentlich gelaufen mit der Annahme, dass die Funktion daher nicht stetig ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Fr 14.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Die Funktion heißt cos(2x) ich weiß auch nicht was da mal
> wieder in mich gefahren ist. . Sorry...
>
> Das mit links und rechtsseitigen Grenzwert habe ich
> eigentlich schon verstanden. Dachte ich bisher zumindest.
> Vielleicht habe ich mich auch wieder vertippt wenn ich den
> rechtssewitigen durchführe, dann muss ich das für cos(2x)
> machen. Den linksseitgen dann für -x.
>
> Aber woher erkennst du das alles für Aufgabe 1 ([mm] f(x)=\begin{cases} xsin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } ,falls x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } ,falls x = 0 \mbox{} \end{cases} [/mm])???
>
> Entscheidend ist ja auch hier die Stelle x=0. Für x= [mm]\IR[/mm] \
> {0} ist [mm]xsin(\bruch{1}{x})[/mm] ja nicht definiert. Da die
> STelle aber entscheidend für die Stetigkeit ist, bleibt mir
> ja nichts anderes übrig als diese zu überprüfen. Wenn ich
> also x=0 einsetze erhalte ich ''Error''
Das darfst du nicht einsetzen. Für die Stelle x=0 gilt doch nicht mehr der erste Teil der Funktionsbeschreibung [mm] (y=x*\sin\bruch{1}{x}), [/mm] sondern der zweite Teil der Beschreibung (y=0). Du kannst im ersten Fall nur mit x beliebig nah an Null rangehen und erhältst dabei Funktionswerte, die ebenfalls biliebig nah an Null rangehen. Die Definitionslücke wird dann mit der Festlegung y=0 geschlossen.
Viele Grüße
Abakus
> Was für mich dazu
> führt, dass [mm]xsin(\bruch{1}{x})[/mm] an der STelle 0 nicht stetig
> ist. Du sagst aber, dass doch. Das kapier ich irgendwie
> nicht. Für mich war die Sache eigentlich gelaufen mit der
> Annahme, dass die Funktion daher nicht stetig ist.
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Ja ist richtig.
Aber mein Problem ist ja vielmehr, dass $ [mm] xsin(\bruch{1}{x}) [/mm] $ gegen 0 konvergiert. Diesen Punkt aber nicht trifft. $ [mm] xsin(\bruch{1}{x}) [/mm] $ soll für [mm] x\not=0 [/mm] überprüft werden. Muss ich dann nicht eher eine Zahl [mm] x\not=0 [/mm] finden, für welche die Bedingung der Stetigkeit dann zutrifft???
Irgendwo ist bei dieser Aufgabe der Wurm bei mir drin!!!
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> Aber mein Problem ist ja vielmehr, dass [mm]xsin(\bruch{1}{x})[/mm]
> gegen 0 konvergiert.
Hallo,
das ist doch Grund zur Freude, jedenfalls für die Funktion
$ [mm] f(x)=\begin{cases} xsin(\bruch{1}{x}), & \mbox{falls } x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{falls } x = 0 \mbox{} \end{cases} [/mm] $,
denn sie ist somit stetig an der Stelle x=0:
Es ist [mm] \limes_{n\rightarrow 0} xsin(\bruch{1}{x})=0= [/mm] f(x)
> Diesen Punkt aber nicht trifft.
Das ist bei Grenzwerten doch ziemlich oft der Fall.
> [mm]xsin(\bruch{1}{x})[/mm] soll für [mm]x\not=0[/mm] überprüft werden. Muss
> ich dann nicht eher eine Zahl [mm]x\not=0[/mm] finden, für welche
> die Bedingung der Stetigkeit dann zutrifft???
Du mußt die Stetigkeit an der Stelle 0 überprüfen, und das kannst Du tun, indem Du zeigst, daß der Grenzwert der Funktion für [mm] x\to [/mm] 0 gerade der Funktionswert an dieser Stelle ist.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Domenigge,
richtig ist, dass der Term [mm] $x*\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] nur Sinn macht, wenn $x [mm] \in \IR \backslash\{0\}$. [/mm] Deswegen kann man ja auch NICHT schreiben:
Wir betrachten $g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x)=x*\sin\left(\frac{1}{x}\right)$, [/mm] denn hier hätten wir ein Problem an der Stelle $x=0$, denn wenn wir $g(0)$ ausrechnen wollten, stünde da [mm] $0*\sin\left(\frac{1}{0}\right)$, [/mm] und der Ausdruck [mm] $\frac{1}{0}$ [/mm] stört dort (deswegen auch der "Error").
Man kann aber sagen:
Wir betrachten $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit
[mm] $f(x)=\begin{cases} x*\sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x \not=0\\ 0, & \mbox{für } x=0\end{cases}$
[/mm]
Diese Funktion ist an der Stelle $x=0$ durch $f(0)=0$ definiert!
Für obiges $f$ gilt also z.B.:
[mm] $f(2)=2*\sin(0,5)$, [/mm] weil $2 [mm] \not=0$
[/mm]
oder
[mm] $f(\pi)=\pi*\sin\left(\frac{1}{\pi}\right)$, [/mm] weil [mm] $\pi\not=0$
[/mm]
oder
[mm] $f(-1)=-\sin(-1)$
[/mm]
Aber $f(0)=0$, weil $f(0)$ eben so definiert wurde!
D.h. $f$ wurde - soweit es geht - eben durch [mm] $x*\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] definiert, aber die "Problemstelle" $x=0$ in diesem Ausdruck wurde "so umgangen", dass man eben $f$ an der Stelle $0$ extra definiert hat. Damit ist $f$ dann auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert.
P.S.:
Ich schreibe Dir mal gerade den einfachen Beweis, dass die Funktion stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist, fast vollständig hin, vielleicht wird es dann etwas klarer:
Sei dazu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Wir setzen [mm] $\delta:=\varepsilon$ [/mm] (und damit ist auch [mm] $\delta [/mm] > 0$).
Für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|=|x-0|=|x|<\delta$ [/mm] gilt dann [mm] $|x|<\varepsilon$ [/mm] (wegen [mm] $\delta=\varepsilon$). [/mm] Daraus folgt für alle $x$ mit [mm] $|x|<\delta$:
[/mm]
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-f(0)|=|f(x)-0|=|f(x)|$.
[/mm]
Ist nun [mm] $x=0=x_0$, [/mm] so ist in trivialer Weise [mm] $|f(x)-f(x_0)|=|f(x_0)-f(x_0)|=0 [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Ist nun $x [mm] \not [/mm] =0$ mit $|x| < [mm] \delta$, [/mm] so folgt
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-f(0)|=|f(x)-0|=|f(x)|=\left|x*\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right||$
[/mm]
Und wenn Du nun in meinen ersten Post oben guckst, dann wirst Du sofort erkennen, warum das kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] sein wird.
P.P.S.:
Ich "erkenne" solche Dinge, weil ich zum einen genügend Erfahrung mit solchen Sachen habe, zum anderen auch genügend Beweis und damit Sätze etc. für solche Dinge kennengelernt habe. Zudem:
Wenn man sich das hier anschaulich klarmachen wollte, könnte man die Idee graphisch an folgendem Bild klarmachen:
(siehe Mitteilung unten)
Übrigens:
Würdest Du $h: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit
[mm] $h(x)=\begin{cases} x*\sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{ für }x \not=0\\ 2, & \mbox{für } x=0\end{cases}$
[/mm]
betrachten, so wäre $h$ unstetig (genau) an der Stelle [mm] $x_0=0$. [/mm] Wie würdest Du das graphisch erklären?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Marcel |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier auch noch mal ein Schaubild des Graphen von $h$, ich hoffe, Du erkennst, dass $h(0)=2$, ich habe das von Hand eingezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Ja gut ein wenig habe ich es jetzt verstanden. Ich hoffe das in der Klausur nicht sone Aufgabe rankommt. Dann lieber eine AUfgabe wie die andere die wir hatten, dass war glauibe ich die Aufgabe: $ [mm] f(x)=\begin{cases}\cos(2x), & \mbox{falls } x>0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{falls } x\le0 \mbox{} \end{cases} [/mm] $
Wie sieht es eigentlich bei solchen Aufgaben aus? Reicht es hier den links und rechtsseitigen Grenzwert zu prüfen???
Soll heißen für cos(2x) berechne ich den linksseitgen Grenzwert an der Stelle x=0 und für -x berechne ich den rechtsseitigen an der Stelle x=0???
Ich hatte mal etwas davon gehört, dass man das noch direkt drauf überprüfen muss!!! Was hat das damit auf sich???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn x<0 oder x>0 ist es offensichtlich, dass f(x) stetig ist, weil das nur Kompositionen aus stetigen Fkt. sind.
Bleibt also nur noch die Stelle am "Übergang" von der einen Fkt. zur anderen. Der ist ja bei x=0.
Setzt du f(x=0), dann siehst du durch die Vorschrift, dass du die 0 in die untere Funktion -x einstezen musst, da das ja gilt, wenn [mm] $x\le0$ [/mm] ist.
Nun musst du dich dann nur noch von rechts nähern, denn da gilt ja die Funktion [mm] $\cos(2x)$ [/mm] Du kannst jetzt nicht einfach [mm] $\cos(0)$ [/mm] schreiben, sondern musst den ganzen Quatsch als Limes schreiben, denn wenn du dich bei der Funktion f(x) von rechts der Null näherst, gilt ja die Funktion [mm] $\cos(2x)$, [/mm] und wenn du die 0 einstezt in f(x), dann musst du diese ja, wie oben schon gesagt, in -x einsetzen. Deshalb schreibt man formal:
[mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0+}\cos(2x)=1$
[/mm]
Und was weist du jetzt über rechtsseitigen und linksseitigen Limes? Was muss gelten, damit die Fkt. stetig in 0 ist?
LG
Kroni
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naja damit stetig, muss gelten links und rechtsseitiger Grenzwert müssen übereinstimmen.
Nehmen wir mal vielleicht noch eine Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x\le1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x>1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Ich weiß jetzt leider nicht wie ihr das mit dem links und rechtsseitigen Grenzwert schreibt. Wir haben dafür immer sone schrägen Pfeile benutzt ihr scheinbar + oder -. Ich hoffe, ihr nehmt mir folgende Schreibweise, damit nichts durcheinander gebracht wird nicht übel...
Ich berechne nun den rechtsseitigen Grenzwert für 2x-1, da sich diese der Stelle x=1 von links annährt. ich erhalte somit 1.
Ich berechne den linksseitigen Grenzwert für [mm] x^2, [/mm] da sich diese der Stelle x=1 von rechts annährt. Ich erhalter ebenfalls 1.
Somit würde ich nun sagen das die Komposition dieser beiden Funktionen stetig ist.
Allerdings muss hierfür auch noch der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmen. ich berechne also [mm] f(1)=2\*1-1=1 [/mm] und [mm] f(1)=1^2=1
[/mm]
Somit ist die Funktion stetig...
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> naja damit stetig, muss gelten links und rechtsseitiger
> Grenzwert müssen übereinstimmen.
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> Nehmen wir mal vielleicht noch eine Funktion
> [mm]f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x\le1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x>1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Ich weiß jetzt leider nicht wie ihr das mit dem links und
> rechtsseitigen Grenzwert schreibt. Wir haben dafür immer
> sone schrägen Pfeile benutzt ihr scheinbar + oder -. Ich
> hoffe, ihr nehmt mir folgende Schreibweise, damit nichts
> durcheinander gebracht wird nicht übel...
>
> Ich berechne nun den rechtsseitigen Grenzwert für 2x-1, da
> sich diese der Stelle x=1 von links annährt. ich erhalte
> somit 1.
>
> Ich berechne den linksseitigen Grenzwert für [mm]x^2,[/mm] da sich
> diese der Stelle x=1 von rechts annährt. Ich erhalter
> ebenfalls 1.
>
> Somit würde ich nun sagen das die Komposition dieser beiden
> Funktionen stetig ist.
>
> Allerdings muss hierfür auch noch der Grenzwert mit dem
> Funktionswert übereinstimmen. ich berechne also
> [mm]f(1)=2\*1-1=1[/mm] und [mm]f(1)=1^2=1[/mm]
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> Somit ist die Funktion stetig...
Hallo,
ich glaube, daß Du es jetzt weitgehend verstanden hast.
Du hast allerdings den GW von rechts und v. links vertauscht.
Es ist doch f(x)=2x-1 für die x definiert, die links der 1 liegen. Also berechnest Du mit diesem Term den linksseitigen Grenzwert, für [mm] x^2 [/mm] entsprechend.
Jetzt mußt Du die Grenzwerte noch mit dem Funktionswert vergleichen.
Den Funktionswert erhältst Du aus 2*1-1, denn für x=1 ist die Funktion durch 2x-1 definiert.
"Zufälligerweise" ergibt [mm] x^2 [/mm] denselben Wert, aber für die Berechnung von f(1) ist 2x-1 relevant.
Gruß v. Angela
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