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| Aufgabe | Sei eine Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] stetig an der Stelle a und sei f(a) > b.
Dann gibt es eine Umgebung U von a derart, dass f(x) > b für alle [mm] x\inU [/mm] |
Ich weiß nicht so recht wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Habe mir überlegt zu zeigen, dass die Funktion im Intervall
[a - [mm] \varepsilon [/mm] ; a + [mm] \varepsilon] [/mm] stetig sein soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wegen $f(a) > b$ ist [mm] $\frac{f(a)-b}{2} [/mm] > 0$.
Setze nun [mm] $\varepsilon:=\frac{f(a)-b}{2}$. [/mm] Weil [mm]f[/mm] stetig in $a$ ist, gibt es zu diesem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm] $\delta=\delta(a,\varepsilon) [/mm] > 0$, so dass für alle $x [mm] \in [a-\delta,a+\delta]$ [/mm] (meintwegen auch [mm] $(a-\delta,a+\delta)$) [/mm] gilt:
$|f(x)-f(a)| [mm] \le \varepsilon$ [/mm] (meinetwegen auch $< [mm] \varepsilon$).
[/mm]
Nun zeige, dass für alle diese $x$ gilt:
$f(x) > b $
(Ansatz: Für alle diese $x$ gilt:
$f(x)=f(x)-f(a)+f(a)$ sowie [mm] $-\varepsilon \le [/mm] f(x)-f(a) [mm] \le \varepsilon$ [/mm] und beachte, dass [mm] $\varepsilon=\frac{f(a)-b}{2}$ [/mm] war).
(Ein letzter Tipp, womit die Aufgabe nun in einer Zeile gelöst ist:
Wegen $f(a) > b$ ist [mm] $f(a)=\frac{f(a)+f(a)}{2} [/mm] > [mm] \frac{f(a)+b}{2} [/mm] > [mm] \frac{b+b}{2}=b$, [/mm] also insbesondere [mm] $\frac{f(a)+b}{2} [/mm] > b$.)
P.S.:
Was hat die Aufgabe mit der Stetigkeit in einem Intervall [mm] $[a-\varepsilon, a+\varepsilon]$ [/mm] überhaupt zu tun? Du musst hier nur geeignete Abschätzungen benutzen, die sich aus der Stetigkeit von $f$ an der Stelle $a$ ergeben. Du hast doch auch eine Abschätzung zu zeigen!
Gruß,
Marcel
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