Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Faenol |
Hallo !
So langsam verzweifle ich ein wenig:
Thema Stetigkeit von Funktionen.
Eine Funktion auf Stetigkeit zu überprüfen, geht ja noch so, und ich finde das Delta-Episolon Kriterium, Zwischenwertsatz usw. auch eigentlich ganz logisch, nur happerts in den folgenden Punkten:
- Wie kann eine Funktion in einem Punkt stetig sein ?
(Also jetzt veranschaulicht gemeint).
Wenn x hinreichend nahe an c liegt, also |x-c|< [mm] \delta, [/mm] dann soll auch |f(x)-f(c)| < [mm] \varepsilon [/mm] gelten. Ist dies, ist die Funktion ja dann im Punkt c stetig. Das ist klar, aber graphisch ?
Und was ist mit einer Umkehrung. Mittlerweile haben unsere Aufgabenblätter nur noch Umkehrungen:
Finde eine Funktion auf [mm] \IR, [/mm] die (jeweils)
- in 0 stetig und in jeder von 0 verschiedenen Zahl unstetig ist.
- unstetig ist, stetig aber in jeder rationalen Zahl ist.
- in keinem Punkt stetig ist, aber ihr Absolutbetrag in jedem
Punkt stetig ist.
Wie geht man an sowas ran ?
Für die erste Funktion muss ja bei c=0 gelten:
[mm] |x-0|<\delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(0)|<\varepsilon
[/mm]
und für andere c's darf es nicht gelten.
So ganz den Zusammenhang hab ich da noch nicht geschnallt, wenn man keine vorgegeben Funktionen hat.. :-(
Epsilon muss doch irgendwieeee von/mit Delta abhängig sein.
Jemand ne Idee ?
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Faenôl !!
> Finde eine Funktion auf [mm] $\IR$, [/mm] die (jeweils)
> - in keinem Punkt stetig ist, aber ihr Absolutbetrag in
> jedem Punkt stetig ist.
Wie wär's mit:
f(x) = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ \\ -1, & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IQ \end{cases}
[/mm]
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mi 29.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi
hier noch ein weiterer vorschlag für die von dir gesuchten funktionen. das ist aber mit etwas vorsicht zu genießen, da ich es jetzt nicht durchgerechnet habe, aber mein gefühl sagt mir, dass es funktionieren sollte:
> Finde eine Funktion auf [mm]\IR,[/mm] die (jeweils)
> - in 0 stetig und in jeder von 0 verschiedenen Zahl
> unstetig ist.
hier würde ich sowas wie [m] f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} [/m] mit [m] f(x) = \begin{cases} x & \text{für } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \textrm{für } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} [/m] vorschlagen. (wenn du $x$ durch [mm] $x^2$ [/mm] ersetzt sollte die funktion in [mm] $x_0 [/mm] = 0 $ sogar differenzierbar sein).
> - unstetig ist, stetig aber in jeder rationalen Zahl
> ist.
kann das sein, dass hier ein wort fehlt?
> - in keinem Punkt stetig ist, aber ihr Absolutbetrag in
> jedem
> Punkt stetig ist.
siehe antwort von Loddar.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Do 30.12.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi ihr beiden !
>
> > Finde eine Funktion auf [mm]\IR,[/mm] die (jeweils)
> > - in 0 stetig und in jeder von 0 verschiedenen Zahl
> > unstetig ist.
>
> hier würde ich sowas wie [m]f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}[/m]
> mit [m]f(x) = \begin{cases} x & \text{für } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \textrm{für } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}[/m]
> vorschlagen.
HMM, an genau so was hatte ich auch gedacht, aber es ehrlich gesagt, nicht verstanden !
Die Funktion bildet ja die rationalen Zahlen auf sich selbst ab, sowie die irrationalen Zahlen auf die null !
O.K, dass die Funktion an sich, nicht stetig ist, ist klar, da ja, umgangsprachlich, immer Lücken entstehen, wenn x=irrational.
Aber warum ist die Funktion ist c=0 stetig ? 0 ist ein Häufungspunkt.
(Es konvergieren, also viele Teilfolgen gegen 0)
(Wo wir wieder bei meinem Problem wären, was bedeutet es, in einem Punkt stetig zu sein ? )
|x|< [mm] \delta [/mm] => |f(x)-f(c)|=|f(x)|< [mm] \varepsilon
[/mm]
Angenommen: 0 [mm] \in \IQ
[/mm]
|x- [mm] \wurzel{3}|< \delta [/mm] => |f(x)-0|=|f(x)|< [mm] \varepsilon
[/mm]
Mit diesem Kriterium kann ich nun gerade nicht sagen, dass die Funktion in c=0 stetig ist.
Wenn eine Funktion in 0 stetig sein soll, was heißt das ?
Kann mir da jemand das vielleicht erklären ? *liebschau*
Das hier war gemeint:
> > In [mm] \IR [/mm] unstetig ist, stetig aber in jeder rationalen Zahl
Ich versuch das mal nochmal:
Eine Funktion, die irrationale Zahlen immer auf die nächste rationale Zahl abbilden würde.
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \IQ \\ x^{2}, & \mbox{für } x \in \IR \ \IQ \end{cases}
[/mm]
Ich weiß nicht, ob [mm] x^{2} [/mm] das letztere erfüllt.
Hatte als Gedanken [mm] \wurzel{3}* \wurzel{3}=3 \in \IQ
[/mm]
Faenôl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 30.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi Faenôl (wo kommt denn der name her?)
> > mit [m]f(x) = \begin{cases} x & \text{für } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \textrm{für } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}[/m]
>
> > vorschlagen.
>
> HMM, an genau so was hatte ich auch gedacht, aber es
> ehrlich gesagt, nicht verstanden !
> Die Funktion bildet ja die rationalen Zahlen auf sich
> selbst ab, sowie die irrationalen Zahlen auf die null !
dann sind wir uns soweit ja schonmal einig.
> O.K, dass die Funktion an sich, nicht stetig ist, ist klar,
> da ja, umgangsprachlich, immer Lücken entstehen, wenn
> x=irrational.
ok (das kann man zwar noch formaler machen, aber es reicht ja erstmal, wenn es dir klar ist).
> Aber warum ist die Funktion ist c=0 stetig ? 0 ist ein
> Häufungspunkt.
> (Es konvergieren, also viele Teilfolgen gegen 0)
> (Wo wir wieder bei meinem Problem wären, was bedeutet es,
> in einem Punkt stetig zu sein ? )
>
> |x|< [mm]\delta[/mm] => |f(x)-f(c)|=|f(x)|< [mm]\varepsilon
[/mm]
> Angenommen: 0 [mm]\in \IQ
[/mm]
das braucht man nicht annehmen, das ist allgemein akzeptiert  , also gilt [m] f(0) = 0 [/m].
> Wenn eine Funktion in 0 stetig sein soll, was heißt das ?
> Kann mir da jemand das vielleicht erklären ? *liebschau*
also es gilt nach definition der stetigkeit für [m] f: ]a, b[ \longrightarrow \mathbb{R} [/m] und [m] c \in ]a, b[ [/m], dass
[m] f \textrm{ stetig in } c \quad \Longleftrightarrow \quad \forall \, \varepsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0 \; \forall \, x \in ]a, b[: |x - c| < \delta \; \Longrightarrow \; |f(x) - f(c) | < \varepsilon [/m]
hier ist ja jetzt [m] c = 0[/m] und [m]f(c) = f(0) = 0 [/m]. nun sei ein [m] \varepsilon > 0 [/m] vorgegeben. die aufgabe ist nun ein [m] \delta > 0 [/m] zu finden, so dass für die [m] x [/m] in der entsprechenden [m] \delta [/m]-umgebung von $0$ gilt, dass [m] |f(x) - f(0) | = |f(x)| [/m] kleiner als das vorgegebne [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist. gut soweit warst du ja auch schon. hier beitet es sich an [m] \delta := \varepsilon > 0 [/m] zu wählen, denn dann gilt für ein beilbiges [m] x [/m] mit [m] |x| < \delta [/m], das gilt (fallunterscheidung):
(1) [m] x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} [/m] : [m] |f(x) - f(0) | = | 0 | = 0 < \varepsilon [/m], da [m] \varepsilon > 0[/m]
(2) [m] x \in \mathbb{Q} [/m] : [m] |f(x) - f(0)| = |x| < \delta = \varepsilon [/m], da [m] \delta [/m] ja gerade so gewählt wurde, dass es funktioniert
also gilt - sobald [m] |x - 0| < \delta [/m], dass [m] |f(x) - f(0) | < \varepsilon [/m] nach obiger fallunterscheidung. somit ist $f$ stetig in $c=0$, da oben angegebn wurde, wie man zu einem vorgegeben [m] \varepsilon > 0 [/m] stets ein [m] \delta > 0 [/m] finden kann, so dass dafür stetigkeits-bedingung erfüllt ist (man kann das [m] \delta [/m] auch anders wählen, z.b. [m] \delta := \frac{\varepsilon}{2} [/m], ..., insbesondere ist jede wahl [m] 0 < \delta \leq \varepsilon [/m] zugelassen)!
> Das hier war gemeint:
> > > In [mm]\IR[/mm] unstetig ist, stetig aber in jeder rationalen
> Zahl
mir ist leider immernoch nicht klar, was das heißen soll:
eine funktion, die in allen irrationalen punkte unstetig, in allen rationalen punkte jedoch stetig ist, oder eine funktion die in den rationalen punkten unstetig, in den irrationalen punkten jedoch unstetig ist, ...?
hoffe, das hilft erstmal weiter
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
HMM, noch eine Nachfrage:
Warum ist die letzte Funktion z.B. nicht im Punkt 2 stetig:
[mm] x\in \IR\\IQ: [/mm] |x-2|<delta => ? |f(x)-f(2)|=0< [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] x\in \IQ: [/mm] |x-2|<delta => ? |f(x)-f(2)|=|x-2|<delta= [mm] \varepsilon
[/mm]
Mit gewähltem delta= [mm] \varepsilon
[/mm]
Warum klappt das bei der null ?
Wie beweise ich, dass die Funktion, außer der null in keinem sonstigen Punkt stetig ist ?
Und übrigens Zitat der dritten Aufgabe;
Finden Sie jeweils eine auf [mm] \IR [/mm] definierte Funktion, die unstetig ist, aber in jeder rationalen Zahl stetig ist.
Wenn jemand gerade da ist, wäre eine schnelle Antwort nett, aber naja, ich werd's sonst auch überleben.
Faenôl @Andreas: ist übrigens elbisch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mi 05.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Hi !
>
> HMM, noch eine Nachfrage:
>
> Warum ist die letzte Funktion z.B. nicht im Punkt 2
> stetig:
>
> [mm]x\in \IR\\IQ:[/mm] |x-2|<delta => ? |f(x)-f(2)|=0< [mm]\varepsilon
[/mm]
> [mm]x\in \IQ:[/mm] |x-2|<delta => ? |f(x)-f(2)|=|x-2|<delta=
> [mm]\varepsilon
[/mm]
>
> Mit gewähltem delta= [mm]\varepsilon
[/mm]
die untere zeile stimmt, die obere nicht. denn beachte für [m] x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} [/m] gilt ja nach definition der funktion [m] f(x) = 0 [/m]. da aber [m] 2 \in \mathbb{Q} [/m] gilt [m] f(2) = 2 [/m], also [m] |f(x)-f(2)| = | 0 - 2 | = |-2| = 2 [/m] und das ist größer als [m] \varepsilon [/m], sobald [m] \varepsilon < 2 [/m] und solche [m] \varepsilon > 0[/m] gibt es ja. das kann man auch nicht mit einer geschickten wahl des [m] \delta [/m] retten, denn egal wie klein du dieses auch wählst, es wird immer eine irrationale zahl in der umgebung um die $2$ geben. also kann $f$ in $2$ nicht stetig sein!
> Warum klappt das bei der null ?
> Wie beweise ich, dass die Funktion, außer der null in
> keinem sonstigen Punkt stetig ist ?
>
> Und übrigens Zitat der dritten Aufgabe;
> Finden Sie jeweils eine auf [mm]\IR[/mm] definierte Funktion, die
> unstetig ist, aber in jeder rationalen Zahl stetig ist.
jetzt verstehe ich das. du brauchst eine funktion, die nur in irrationalen punkten unstetig ist!
probiere es doch mal mit
[m] q(x) = \begin{cases} 0 & \textrm{ für } x \not= \sqrt{2} \\
1 & \textrm{ für } x = \sqrt{2} \end{cases} [/m]
oder verstehe ich das immernoch falsch?
> Faenôl @Andreas: ist übrigens elbisch
das ist was?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Faenol |
> jetzt verstehe ich das. du brauchst eine funktion, die nur
> in irrationalen punkten unstetig ist!
>
> probiere es doch mal mit
>
> [m]q(x) = \begin{cases} 0 & \textrm{ für } x \not= \sqrt{2} \\
1 & \textrm{ für } x = \sqrt{2} \end{cases}[/m]
>
>
> oder verstehe ich das immernoch falsch?
>
>
Du verstehst das bestimmt richtig ! Nur ich net !
Meinst du wirklich Wurzel 2 ?
x [mm] \in \IQ [/mm] dann ist x immer [mm] \not= \wurzel{2}
[/mm]
Also immer q(x)=0
x [mm] \in \IR [/mm] und x [mm] \not= \wurzel{2}
[/mm]
q(x)=0
Im Falle [mm] x=\wurzel{2} [/mm] q(x)=1
q(x) bildet also immer auf die null ab, nur einmal nicht, daher also in [mm] \IR [/mm] unstetig.
Betrachte ich aber nur die rationalen Zahlen, dann ist sie in jedem Punkt [mm] \in \IQ [/mm] stetig.
Hab ich das so richtig verstanden ?
Beweis:
x [mm] \in \IQ: |x-c|<\delta [/mm] |f(x)-f(c)|=|0-f(c)|< [mm] \varepsilon
[/mm]
Wenn nun c [mm] \in [/mm] IQ dann gilt: |f(x)-f(c)|<|0-0|=0< [mm] \varepsilon
[/mm]
Also für alle Epsilons erfüllt.
Wenn nun c = [mm] \wurzel{2} [/mm] dann gilt: [mm] |f(x)-f(\wurzel{2})|<|0-1|=1< \varepsilon [/mm] => nicht für alle [mm] \varepsilon [/mm] erfüllt.
Ist das so richtig ?
Übrigens danke für deine schnelle Antwort !
Elbisch ist die Sprache Tolkiens, Der Herr der Ringe.
Faenôl ist genauer genommen Sindarin.
Faenôl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mi 05.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> > [m]q(x) = \begin{cases} 0 & \textrm{ für } x \not= \sqrt{2} \\ 1 & \textrm{ für } x = \sqrt{2} \end{cases}[/m]
> Meinst du wirklich Wurzel 2 ?
das weiß ich nicht so genau. du kannst da auch deine irrationale lieblingszahl, also z.b. [m] \pi, \; e, \; \zeta(2) [/m] oder [m] \sqrt[3]{5} [/m] nehmen  oder du kannst die funktion auch in mehrern irrationalen punkten unstetig machen!
> x [mm]\in \IQ[/mm] dann ist x immer [mm]\not= \wurzel{2}
[/mm]
> Also immer
> q(x)=0
>
> x [mm]\in \IR[/mm] und x [mm]\not= \wurzel{2}
[/mm]
> q(x)=0
>
> Im Falle [mm]x=\wurzel{2}[/mm] q(x)=1
>
> q(x) bildet also immer auf die null ab, nur einmal nicht,
> daher also in [mm]\IR[/mm] unstetig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Betrachte ich aber nur die rationalen Zahlen, dann ist sie
> in jedem Punkt [mm]\in \IQ[/mm] stetig.
>
> Hab ich das so richtig verstanden ?
ja.
> Beweis:
> x [mm]\in \IQ: |x-c|<\delta[/mm] |f(x)-f(c)|=|0-f(c)|<
> [mm]\varepsilon
[/mm]
> Wenn nun c [mm]\in[/mm] IQ dann gilt: |f(x)-f(c)|<|0-0|=0<
> [mm]\varepsilon
[/mm]
naja. so würde ich das nicht machen. du musst ja zu einem vorgegebenen [m] \varepsilon > 0 [/m] ein [m] \delta > 0 [/m] angeben, so dass [m] |f(x) - f(c)| < \varepsilon [/m] für alle [m] x [/m] mit [m] |x - c| < \delta [/m] ist. sobald also [m] \varepsilon < 1 [/m] musst du auf jedenfall verhindern, dass [m] \sqrt{2} [/m] in der umgebung liegt. wie könnte man nun so eine [m] \delta [/m] wählen?
> Wenn nun c = [mm]\wurzel{2}[/mm] dann gilt:
> [mm]|f(x)-f(\wurzel{2})|<|0-1|=1< \varepsilon[/mm] => nicht für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] erfüllt.
hier würde ich sagen, dass egal wie klein [m] \delta > 0 [/m] gewählt ist, man findet immer eine rationale zahl [m] x [/m], so dass [m] |x - \sqrt{2} | < \delta [/m] und somit gilt die von dir angegebene ungleichung für [m] \varepsilon < 1 [/m] nicht mehr für alle [m] x [/m] aus der [m] \delta [/m]-umgebung und somit kann $q$ hier nicht stetig sein!
grüße
andreas
> Ist das so richtig ?
>
> Übrigens danke für deine schnelle Antwort !
>
> Elbisch ist die Sprache Tolkiens, Der Herr der Ringe.
> Faenôl ist genauer genommen Sindarin.
>
> Faenôl
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