Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Steffy |
| Aufgabe | a) geg: f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] definiert durch f(x,y)= [mm] \begin{cases} x+y, x=0 oder y=0 \\ 1, sonstige \end{cases}
[/mm]
b) geg: f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] definiert durch f(x,y)= [mm] \begin{cases} \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}, (x,y)\not= (0,0) \\ 0, (x,y) = (0,0) \end{cases}
[/mm]
c) geg: f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f(x,y)=(\bruch{x^{3}-3xy^{2}}{x^{2}+y^{2}},\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}})
[/mm]
zz:(Un)stetigkeit im Ursprung
Differenzierbarkeit im Ursprung (partiell und total diffbar)
Ableitungen in (0,0) in Richtung [mm] v=\bruch{1}{\wurzel{2}}(1,1) [/mm] |
Hallo Zusammen,
könnte mir bitte jemand bei der obigen Aufgabe helfen??
Ich weiß einfach nicht, wie ich da vorgehen muss?
Gibt es da generelle Schritte, die ich bei solchen Aufgaben beibehalten muss??
Wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe.
Gruß, Steffy
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> a) geg: f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] definiert durch f(x,y)=
> [mm]\begin{cases} x+y, x=0 oder y=0 \\ 1, sonstige \end{cases}[/mm]
>
> b) geg: f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] definiert durch f(x,y)=
> [mm]\begin{cases} \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}, (x,y)\not= (0,0) \\ 0, (x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
>
> c) geg: f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x,y)=(\bruch{x^{3}-3xy^{2}}{x^{2}+y^{2}},\bruch{3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}})[/mm]
>
>
> zz:(Un)stetigkeit im Ursprung
Hallo,
dann beginn doch zunächst mit der Stetigkeit.
Wie ist Stetigkeit im Punkt a definiert?
f: [mm] X\to [/mm] Y ist stetig im Punkt [mm] a\in [/mm] X, falls [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a).
[/mm]
D.h.: Für jede Folge, die gegen a konvergiert, konvergiert die Folge ihrer Funktionswerte gegen f(a).
Konsequenz: wenn Du bei Deiner Aufgabe eine Folge [mm] (x_n,y_n) [/mm] findest, welche gegen (0,0) konvergiert, für welche [mm] f(x_n,y_n) [/mm] jedoch nicht gegen f(0,0) konvergiert, hast Du die Unstetigkeit gezeigt.
zu c) Ist diese Funktion überhaupt für (0,0) definiert? Nein, ist sie nicht. Somit erledigt sich jegliche überlegung bzgl. Stetigkeit im Punkt (0,0)
zu a) Diese Funktion ist ja so gemacht, daß man sie sich ganz gut vorstellen kann. Sie ist ja überall =1 außer auf den Koordinatenachsen, auf welchen sie die Identität ist. Stell Dir die Sache vor. Hast Du das "Gefühl", daß sie stetig ist?
Falls nein: such eine Folge, mit der Du die Stetigkeit widerlegen kannst.
Falls ja: zeig, daß für jede Folge, die gegen (0,0) konvergiert, die Folge der Funktionswerte gegen f(0,0)=0 konvergiert.
zu b) Hier fällt es mir schon schwer, mir das aus dem Stand vorzustellen. Experimentiere ein bißchen mit Folgen, die gegen (0,0) konvergieren.
Die Funktion ist nicht stetig. Versuch eine Folge zu finden, die beliebig dicht an (0,0) heranrückt, deren Grenzwert der Folge der Funktionswerte jedoch nicht 0 ist.
Du kannst es zunächst mit [mm] (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) [/mm] versuchen, was zwar nicht klappen wird, Dich aber auf eine gut Idee bringen könnte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
um ehrlich zu sein, weiß ich leider nicht, wie ich Stetigkeit bei einer Funktion nachweisen muss. :-(
Könntest du mir bitte ein Beispiel geben?? Hab bei dem Thema totale Probleme
Steffy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Fr 31.08.2007 | | Autor: | cutter |
Hi
der Tipp wurde dir doch schon gegeben.
Zitat:
Konsequenz: wenn Du bei Deiner Aufgabe eine Folge [mm] (x_n,y_n) [/mm] findest, welche gegen (0,0) konvergiert, für welche [mm] f(x_n,y_n) [/mm] jedoch nicht gegen f(0,0) konvergiert, hast Du die Unstetigkeit gezeigt.
und dazu hat man dir noch gesagt:
zu b) Hier fällt es mir schon schwer, mir das aus dem Stand vorzustellen. Experimentiere ein bißchen mit Folgen, die gegen (0,0) konvergieren.
Die Funktion ist nicht stetig. Versuch eine Folge zu finden, die beliebig dicht an (0,0) heranrückt, deren Grenzwert der Folge der Funktionswerte jedoch nicht 0 ist.
Du kannst es zunächst mit( [mm] \bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) [/mm] versuchen, was zwar nicht klappen wird, Dich aber auf eine gut Idee bringen könnte
Was passiert denn mit der Folge ( [mm] \bruch{1}{n},\bruch{1}{n}), [/mm] wenn du n gegen unendlich laufen laesst?
Die Folge konvergiert gegen (0,0). und was passiert mit
f( [mm] \bruch{1}{n},\bruch{1}{n}).
[/mm]
Nun einfach einsetzen. f( [mm] \bruch{1}{n},\bruch{1}{n})=\frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}
[/mm]
wenn du das nun weiter zusammen fast, dann kommst du darauf, dass es gegen 0 konvergiert..nun musst du ein wenig rumspielen ,da die Fkt auf jeden fall nicht stetig ist.
Probier mal die Folge ( [mm] \bruch{1}{n^2},\bruch{1}{n})
[/mm]
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
mein Problem ist, dass ich leider generell nicht verstehe, wie man Stetigkeit nachweist und wie man auf [mm] \bruch{1}{n} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] kommt, wo man es für was einsetzen muss und was man daraus erhält? :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Fr 31.08.2007 | | Autor: | cutter |
Hi
das ist die wichtige Aussage
f: [mm] X\to [/mm] Y ist stetig im Punkt [mm] a\in [/mm] X, falls [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a). [/mm]
Nun sollst du zB bei b) die Unstetigkeit im Punkt (0,0) nachweisen.
Also:
f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] ist stetig im Punkt (0,0) [mm] \in \IR^{2}, [/mm] falls [mm] \limes_{x\rightarrow (0,0)}f(x)=f((0,0))=0. [/mm]
Da wir nun Unstetigkeit beweisen wollen, brauchen wir ein Gegenbsp..
Also suchen wir ein x [mm] \in \IR^2, [/mm] das gegen (0,0) konvergiert, jedoch nicht f(x)=0 erfuellt. Also formal
f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] ist unstetig im Punkt (0,0) [mm] \in \IR^{2}, [/mm] falls [mm] \limes_{x\rightarrow (0,0)}f(x)\not= [/mm] f((0,0))=0.
So nun musst du ein x [mm] \in \IR^2 [/mm] finden ,das dies erfuellt.
Nun nimmt man sich eine Folge x [mm] \in \IR^2, [/mm] zB [mm] x=(\frac{1}{n},\frac{1}{n})
[/mm]
Fuer n gegen unendlich konvergiert die Folge gegen (0,0) ...also x [mm] \rightarrow [/mm] (0,0).
Nun musst du noch nachpruefen ob f(x)=f((0,0)) oder eben [mm] f(x)\not= [/mm] f((0,0))
Das zweite wollen wir erreichen. Also muss man manchmal an der Folge ein wenig rumspielen um das gewuenschte zu erreichen...:)
Nun verstandne ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Fr 31.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo steffy
Es ist GANZ WICHTIG sich bei solchen Beweisaufgaben erst mal nochmal genau die Stetigkeitsdefinition aufzuschreiben und sich klar zu machen, was sie bedeutet.
Es kommt also auch drauf an, was ihr dazu gemacht habt. Folgenstetigkeit, oder nur mit [mm] \delta [/mm] Umgebungen?
danach musst du dann diese Schritte für die spezielle fkt aufschreiben.
Kannst du denn die Stetigkeit für 1 dimensionale Funktionen f(x) sonst wirds mit den 2-d schon recht schwierig.
Also schreib für dich und uns klar die Def, der Stetigkeit auf, so wie du sie verstehst, das ist wirklich der wichtigst Schritt. beim technischen helfen wir dann!
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo Leduart,
bei uns ist die Stetigkeit wie folgt definiert:
f: [mm] X\to [/mm] Y ist stetig im Punkt [mm] a\in [/mm] X, falls [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a).
[/mm]
Könntest du mir bitte die Stetigkeit am Besipiel von Aufgabe b erklären???
Ich komm von alleine einfach nicht weiter :-(
Gruß, Steffy
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Hallo,
hast Du denn die Stetigkeit im Falle der Funktionen, die nur von einer Variablen abhängen, verstanden?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Ne, leider nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Fr 31.08.2007 | | Autor: | cutter |
Die Frage hab ich dir beantwortet. Genau mit dieser Definition.
Vielleicht solltest du die Hilfe auch mal durcharbeiten!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Fr 31.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo Leduart,
>
> bei uns ist die Stetigkeit wie folgt definiert:
>
> f: [mm]X\to[/mm] Y ist stetig im Punkt [mm]a\in[/mm] X, falls
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a).[/mm]
hier muss nun noch die Def von lim her.
[mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a).[/mm] gilt dann wenn es zu jedem [mm] \varepsolon>0 [/mm] ein [mm] \delta [/mm] gibt so dass für [mm] |x-a|<\delta [/mm] folgt [mm] |f(a)-f(x)|<\varepsilon.
[/mm]
die ander Möglichkeit ist, für JEDE BELIEBIGE FOLGE [mm] x_n [/mm] mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a [/mm] gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(a)
[/mm]
dabei kann man nicht ne bestimmte Folge auswählen um die Stetigkeit zu zeigen, aber wenn man eine findet, wo es nicht gilt hat man schon Unstetigkeit.
jetzt zu a)
f(x,y)= $ [mm] \begin{cases} x+y, x=0 oder y=0 \\ 1, sonstige \end{cases} [/mm] $
es geht nur um die Stelle 0, da an allen anderen Stellen die fkt aus Summe, Produkt, [mm] Quotient(\ne0) [/mm] die stetig sind bestehen.
f(0,0)=0 weil x=0 und y=0 also x+y=0
also schauen wir eine Umgebung von (0,0) also eine kleine Kreisscheibe, [mm] x^2+y^2<\delta [/mm] daraus [mm] |x^2<\delta [/mm] und [mm] y^2
dann ist f(x,y)-f(0,0)=1 falls x und y [mm] \ne0
[/mm]
d.h. in jeder noch so kleinen Umgebung von (0,0) gibt es x,y mit [mm] f(x,y)-f(0,0)>\varepsilon [/mm] wenn [mm] \varepsilon<1.
[/mm]
also nicht stetig.
Wenn dus anschaulich verstehen willst:
Wenn du auf der x Achse auf die Null zuläufst ist y=0, f(x,y)=x+0=x , je näher du an (0,0) rankommst desto kleiner wird f, in der Grenze wirds 0, genauso wenn du auf der y-Achssye nach 0 läufst. ABER jetzt lauf auf irgendner anderen Geraden nach 0, dann ist f immer =1 du bist also sozusasgen auf ner Terasse, aber wenn du zur 0 kommst ist da ein Loch von 1m Tiefe! also unstetig.
Wenn du das nicht mit der Umgebung, sondern mit folgen machen willst: 2 Folgen die nach 0 laufen sind: [mm] (x_n,y_n)=(1/n,1/n) [/mm] und (0,1/n) bei der ersten Folge ist der Funktionswert immer 1, also auch der GW. bei der zweiten Folge ist der Funktionswert immer 0 also auch der GW, also unstetig, weil der GW für JEDE Folge 0 sein müsste.
jetzt probier dasselbe mit b, entweder mit der Umgebung, oder mit Folgen. probier die einnfachste Folge (1/n,1/n) aus was da der GW ist und ob er mit f(0,0)=0 übereinstimmt.
Wenn bei c) kein Funktionswert für (0,0) angegeben ist, ist f(0,0) nicht definiert und deshalb nicht stetig!
Wenn du jetzt was nicht verstehst, zitier meinen post, und schreib genau, wo es bei dir aushakt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
> jetzt probier dasselbe mit b, entweder mit der Umgebung,
> oder mit Folgen. probier die einnfachste Folge (1/n,1/n)
> aus was da der GW ist und ob er mit f(0,0)=0
> übereinstimmt.
> schreib genau, wo es bei dir aushakt!
> Gruss leduart
Meine Schwierigkeit liegt darin, dass ich nun nicht weiß, wie ich die Folge (1/n,1/n) in Zusammenhang mit der angegebenen Funktion bringe.
Muss ich jeweils 1/n für x und y einsetzen??
Also: [mm] \bruch{1/n * (1/n)^{2}}{(1/n)^{2}+(1/n)^{4}}??
[/mm]
Wäre es auch möglich, dass ich die Folge [mm] (1/n,1/\wurzel{n}) [/mm] nehme??
Ich weiß nicht so recht, ob ich es richtig gemacht habe, aber ist folgende vorgehensweise richtig:
ad b: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(1/n,1/\wurzel{n})
[/mm]
= [mm] \bruch{1/n * (1/\wurzel{n})^{2}}{(1/n)^{2}+(1/\wurzel{n})^{4}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1/n * 1/n}{1/n^{2}+1/n^{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1/n^{2}}{2/n^{2}}=1/2
[/mm]
Da ungleich Null, ist die Funktion unstetig.
Könntest du bitte nachsehen, ob ich da richtig vorgegangen bin???
Danke für deine Hilfe
Steffy
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> Meine Schwierigkeit liegt darin, dass ich nun nicht weiß,
> wie ich die Folge (1/n,1/n) in Zusammenhang mit der
> angegebenen Funktion bringe.
>
> Muss ich jeweils 1/n für x und y einsetzen??
Genau.
Deine Folge ist [mm] \vektor{x_n \\ y_n}=\vektor{\bruch{1}{n} \\ \bruch{1}{n}},
[/mm]
und Du mußt nun [mm] f(\vektor{x_n \\ y_n})=f(\vektor{\bruch{1}{n} \\ \bruch{1}{n}})=\bruch{1/n * (1/n)^{2}}{(1/n)^{2}+(1/n)^{4}} [/mm] anschauen,
überlegen, was damit passiert, wenn n gegen [mm] \infty [/mm] geht.
>
> Also: [mm]\bruch{1/n * (1/n)^{2}}{(1/n)^{2}+(1/n)^{4}}??[/mm]
>
>
> Wäre es auch möglich, dass ich die Folge [mm](1/n,1/\wurzel{n})[/mm]
> nehme??
Ja. das wäre eine weitere Folge, die gegen [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] konvergiert. Ob die Folge ihrer Funktionswerte gegen [mm] f(\vektor{0 \\ 0}) [/mm] konvergiert, wäre zu prüfen.
Wenn Du nur eine einzige Folge findest, die gegen [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] konvergiert, und für die die Folge der Funktionswerte nicht gegen [mm] f(\vektor{0 \\ 0}) [/mm] konvergiert, ist Deine Funktion nicht stetig im Ursprung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Vielen lieben Dank für eure Hilfe.
Mit euren Erklärungen und hilfreichen Tips, hätt ich es nicht lösen können.
Gruß, Steffy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Wie geh ich am besten vor, wenn ich die Differenzierbarkeit (die partielle und totale) überprüfen muss??
Könnt ihr mir da bitte vielleicht nochmal helfen??
Gruß, Steffy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Fr 31.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn ne Funktion nicht stetig ist, kann sie auch nicht differenzierbar sein.
also erübrigt sich das für die Aufgaben, da alle in 0 unstetig sind. und sonst überall harmlos.
Wenn du andere Aufgaben zur Differenzierbarkeit hast, schreib erst die Definition auf, und versuchs mal damit ein Stück!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
wie sieht das mit der partiellen Differenzierbarkeit aus?
Muss dafür die Funktion auch stetig sein oder können die partiellen Ableitungen im Nullpunkt auch existieren, wenn die Funktion im Nullpunkt unstetig ist??
Wie müsste ich in dem Fall vorgehen?
Danke für deine Hilfe.
Steffy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Fr 31.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
untersuchs, aber wie gesagt, erst die Definition und dann nen wenigstens kleinen Versuch von dir.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
wenn man partiell differenziert betrachtet man zunächst die eine Variable und die andere als Konstante.(so haben wir es nicht definiert, so versteh ich es nur  )
Bei der Aufgabe a würde ich für [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=1 [/mm] und für [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=1 [/mm] erhalten. Somit ist die Funktion partiell differenzierbar. Aber nicht total, da sie unstetig ist.
Bei Teil b weiß ich es irgendwie nicht. Könntest du mir da nur einen Ansatz geben??
Danke.
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> Bei Teil b weiß ich es irgendwie nicht. Könntest du mir da
> nur einen Ansatz geben??
Hallo,
der Ansatz wäre, daß Du nachschaust, wie die i-te partielle Ableitung definiert ist.
Erst dann können wir das ja auf die Funktion anwenden.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Fr 31.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wieso ist f(x,y)=1 abgeleitet 1?
Du musst wirklich die Def. von differenzierbarkeit benutzen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Sa 01.09.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
ich versteh nicht so ganz, was ich falsch gemacht habe.
Mein Lösungsweg (zu den partiellen Ableitungn) sieht wie folgt aus
ad a
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\bruch{x+0-0}{x}=1
[/mm]
[mm] \limes_{y\rightarrow 0} \bruch{f(0,y)-f(0,0)}{y}=\bruch{0+y-0}{y}=1
[/mm]
Kannst du mir bitte erklären, was ich da falsch gemacht habe??
Wie würde das mit Aufgabe b aussehen???
DAnke im voraus.
Steffy
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> Mein Lösungsweg (zu den partiellen Ableitungn) sieht wie
> folgt aus
>
> ad a
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\bruch{x+0-0}{x}=1[/mm]
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0} \bruch{f(0,y)-f(0,0)}{y}=\bruch{0+y-0}{y}=1[/mm]
>
> Kannst du mir bitte erklären, was ich da falsch gemacht
> habe??
Hallo,
Dein Lösungsweg zu a) ist richtig (obgleich ich hier statt x und y lieber die Variable h gewählt hätte), was man aber Deinem Post zunächst nicht entnehmen konnte, da Du nur das Ergebnis angegeben hast.
>
> Wie würde das mit Aufgabe b aussehen???
Ich hatte Dich gebeten, die Definitionen für die i-te partielle Ableitung aufzuschreiben, leider hast Du das nicht getan.
Dein Lösungsweg für a) deutet aber daraufhin, daß sie Dir bekannt ist.
Genau diese Def. mußt Du für b) auch anwenden.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Sa 01.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir die partielle Ableitung nach x an der Stelle (o,c) an!
Wir haben uns zusehr auf (0,0) konzentriert, die fkt. ist überall auf der x-Achse und der y- Achse unstetig!
Gruss leduart
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Hallo,
Du verwirrst mich gerade ein bißchen...
Du bist bei Aufgabe a), richtig?
> sieh dir die partielle Ableitung nach x an der Stelle
> (o,c) an!
Jaja, schon klar (mir!): die gibt's nicht.
> Wir haben uns zusehr auf (0,0) konzentriert,
Aber Steffy sollte ja die (partielle) Diffbarkeit im Ursprung untersuchen.
Von daher ist es doch richtig, was sie getan hat. (?)
Gruß v. Angela
> die fkt. ist
> überall auf der x-Achse und der y- Achse unstetig!
> Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 02.09.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo Zusammen,
es geht um Aufgabe a
Ich möchte die Unstetigkeit der Funktion nachweisen.
Dazu verwende ich folgende Definition:
f stetig in [mm] x_{0} \gdw \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] f(x) = [mm] f(x_{0})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] Für jede Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] x_{n} \in [/mm] E [mm] \backslash{x_{0}} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=x_{0} [/mm] gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=f(x_{0})
[/mm]
Beweis:
Wähle die Nullfolge [mm] (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}). [/mm] Es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=(0,0)
[/mm]
Nach Definition müsste gelten: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=f(x_{0})
[/mm]
Also: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})
[/mm]
Und ab da weiß ich nicht weiter.
Muss ich nun [mm] \bruch{1}{n} [/mm] jeweils für x und y einsetzen??
Also: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ??
Vielen lieben Dank für eure Hilfe.
Steffy
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> Hallo Zusammen,
>
> es geht um Aufgabe a
>
> Ich möchte die Unstetigkeit der Funktion nachweisen.
>
> Dazu verwende ich folgende Definition:
>
> f stetig in [mm]x_{0} \gdw \limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] f(x) =
> [mm]f(x_{0})[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] Für jede Folge [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x_{n} \in[/mm] E
> [mm]\backslash{x_{0}}[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=x_{0}[/mm]
> gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=f(x_{0})[/mm]
Hallo,
das ist die Def. für Stetigkeit im Punkt [mm] x_0, [/mm] welche Du für die Aufgabe auch benötigst, denn Du willst ja die (Un)Stetigkeit im Punkt [mm] x_0=(0,0) [/mm] nachweisen.
[Stetigkeit der Funktion würde bedeuten, daß für jedes a aus dem Definitionsbereich [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) [/mm] gilt.]
>
> Beweis:
zu zeigen: f ist nicht stetig im Punkt (0,0).
>
> Wähle die Nullfolge [mm](\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}).[/mm] Es gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=(0,0)[/mm]
>
> Nach Definition müsste gelten: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=f(x_{0})[/mm]
Wäre f stetig in (0,0) so müßte gelten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=f(0,0)=0
[/mm]
>
> Also: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})[/mm]
>
> Und ab da weiß ich nicht weiter.
>
> Muss ich nun [mm]\bruch{1}{n}[/mm] jeweils für x und y einsetzen??
Ja. Du berechnest nun den Funktionswert an der Stelle [mm] (\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] und bildest dann den Grenzwert.
>
> Also: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})[/mm]
Ja.
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Das stimmt nicht. Es ist doch [mm] (\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})\not=(0,0). [/mm] Wie ist der Funktionswert an dieser Stelle?
Achtung: der Grenzwert steht außen. Der kommt zum Schluß. Erst der Funktionswert, davon dann der Grenzwert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 02.09.2007 | | Autor: | Steffy |
Ich weiß nicht, ob ich es jetzt richtig verstanden habe.
Meinst du es wie folgt:
[mm] f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n}
[/mm]
und dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{n}
[/mm]
Wenn ich nun n gegen unendlich laufen lasse, erhalte ich insgesamgt Null.
Ist das so richtig oder komplett falsch?
Danke im voraus für deine Hilfe.
steffy
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> Ich weiß nicht, ob ich es jetzt richtig verstanden habe.
>
> Meinst du es wie folgt:
>
> [mm]f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{n}[/mm]
>
> und dann
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{n}[/mm]
>
> Wenn ich nun n gegen unendlich laufen lasse, erhalte ich
> insgesamgt Null.
>
> Ist das so richtig oder komplett falsch?
Es ist leider komplett falsch.
Guck Dir nochmal die Definition der Funktion bei a) an.
Die ist =1 an allen Stellen, außer an denen, an denen eine Koordinate des eingesetzten Punktes =0 ist.
kann bei [mm] (\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] keine Koordinate =0 sein, egal, welches n man nimmt.
Daher ist f [mm] (\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] = ???.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 02.09.2007 | | Autor: | Steffy |
[mm] (\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] kann nie Null werden. Daraus folgt nach der Definition der Funktion, dass die Funktionswerte der Folgenglieder immer 1 sind.
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})=1 [/mm] für alle [mm] n\in \IN, [/mm] da [mm] \bruch{1}{n} \not= [/mm] 0 für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
Ist diese Erklärung soweit richtig??
Ich versteh nur leider nicht, wie du das mit dem Einsetzen von 1/n für x und y meinst.
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> [mm](\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})[/mm] kann nie Null werden. Daraus
> folgt nach der Definition der Funktion, dass die
> Funktionswerte der Folgenglieder immer 1 sind.
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})=1[/mm]
> für alle [mm]n\in \IN,[/mm] da [mm]\bruch{1}{n} \not=[/mm] 0 für alle [mm]n\in \IN[/mm]
>
> Ist diese Erklärung soweit richtig??
Ja.
Nun mußt Du daraus natürlich noch eine Schlußfolgerung ziehen.
Ist die Funktion nun stetig, oder nicht?
>
> Ich versteh nur leider nicht, wie du das mit dem Einsetzen
> von 1/n für x und y meinst.
Ich versteh' nicht, warum Du DAS nicht verstehst.
Wenn man eine Funktion g hat mit g(x)= [mm] x^2+13x-\wurzel{2} [/mm] und den Funktionswert an der Stelle 5 wissen will, setzt man doch auch ein:
g(5)= [mm] 5^2+13*5-\wurzel{2}
[/mm]
und [mm] g(\bruch{1}{n})=(\bruch{1}{n})^2+13*\bruch{1}{n}-\wurzel{2}.
[/mm]
Nun hast Du eben jetzt eine Funktion vorliegen, die auf [mm] \IR^2 [/mm] erklärt ist, aber ansonsten ist's doch genauso.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 02.09.2007 | | Autor: | Steffy |
Wegen f(0,0)=0 [mm] \not= [/mm] 1 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) [/mm] (da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nie Null sein kann und da nach Definition der Funktion die Funktionswerte der Funktion 1 betragen, wenn x und y nicht gleich Null sind) ist f in (0,0) nicht folgenstetig und somit auch nicht stetig.
Ist es so richtig??
Gruß, steffy
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> Wegen f(0,0)=0 [mm]\not=[/mm] 1 = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})[/mm]
Genau. Deshalb ist f an der Stelle (0,0) unstetig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 So 02.09.2007 | | Autor: | Steffy |
Danke für deine Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 06.09.2007 | | Autor: | clover84 |
> a) geg: f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] definiert durch f(x,y)=
> [mm]\begin{cases} x+y, x=0 oder y=0 \\ 1, sonstige \end{cases}[/mm]
Hallo,
ich hätte da nur eine Frage zu der Aufgabenstellung.
Wäre es möglich, dass an der Stelle von der 1 auch eine Null stehen kann? Oder würde das keinen Sinn ergeben???
(Mein die 1 in der Mengenklammer)
Danke im voraus
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> > a) geg: f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] definiert durch f(x,y)=
> > [mm]\begin{cases} x+y, x=0 oder y=0 \\ 1, sonstige \end{cases}[/mm]
>
> ich hätte da nur eine Frage zu der Aufgabenstellung.
>
> Wäre es möglich, dass an der Stelle von der 1 auch eine
> Null stehen kann? Oder würde das keinen Sinn ergeben???
>
> (Mein die 1 in der Mengenklammer)
Hier wird eine Funktion definiert, und solange Du Dir von deienr Funktion keine besonderen Eigenschaften wünschst, kannst Du sie ganz nach Herzenslust definieren, sofern Du darauf achtest, daß es eine Funktion bleibt.
Hier könntest Du auch definieren
[mm] f_1(x)=\begin{cases} x+y, & \mbox{für } x=0 \mbox{ oder }y=0 \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ sonstige} \end{cases}
[/mm]
oder
[mm] f_2(x)=\begin{cases} x+y, & \mbox{für } x=0 \mbox{ oder }y=0 \\ x^2+y^2, & \mbox{für } \mbox{ sonstige} \end{cases}
[/mm]
u.v.m.
Die Eigenschaften wären dann erneut zu untersuchen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Do 06.09.2007 | | Autor: | clover84 |
Aber wenn eine Null anstatt einer Eins steht, wie weise ich dann die Unstetigkeit mit der Nullfolge [mm] (\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] nach?
Also die Funktion soll in (0,0) unstetig sein.
Dann würde ich [mm] (\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] nehmen, da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] =
Was würde man hier erhalten??
Danke im voraus
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> Aber wenn eine Null anstatt einer Eins steht, wie weise ich
> dann die Unstetigkeit mit der Nullfolge [mm](\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})[/mm]
> nach?
>
Ich denke nicht, daß Dir das gelingt. Sie ist doch dann im Punkt (0,0) stetig.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})[/mm]
> =
=0
(Das ist aber kein Nachweis für die Stetigkeit der Funktion!)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Do 06.09.2007 | | Autor: | clover84 |
Welche Folge müsste ich dann nehmen, um die Unstetigkeit im Punkt (0,0) nachzuweisen?
Gruß, clover
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Die Funktion [mm] f_1, [/mm] über die wir gerade sprechen, ist im Punkt (0,0) stetig, und deshalb wirst Du mit keiner Folge die Unstetigkeit nachweisen können.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Do 06.09.2007 | | Autor: | clover84 |
Genau da liegt mein Problem. Deswegen hatte ich gefragt, ob an der Stelle von der 0 nicht etwa eine 1 stehen müsste.
Es heiß nämlich in der Aufgabenstellung, dass man zeigen soll, dass die Funktion, in unserem Fall also [mm] f_{1}, [/mm] UNSTETIG in (0,0) ist.
Also müsste doch dann, wenn die Funktion unstetig sein soll, anstatt der 0 eine 1 stehen, oder??
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> Genau da liegt mein Problem. Deswegen hatte ich gefragt, ob
> an der Stelle von der 0 nicht etwa eine 1 stehen müsste.
>
> Es heiß nämlich in der Aufgabenstellung, dass man zeigen
> soll, dass die Funktion, in unserem Fall also [mm]f_{1},[/mm]
> UNSTETIG in (0,0) ist.
>
>
> Also müsste doch dann, wenn die Funktion unstetig sein
> soll, anstatt der 0 eine 1 stehen, oder??
Da kann alles stehen. Bloß nicht 0.
Du bist Dir sicher, daß es ansonsten wirklich haargenau dieselbe Funktion ist?
Und Du sollst nur die (Un-)Stetigkeit im Punkt 0 zeigen? Oder die Unstetigkeit der Funktion?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 06.09.2007 | | Autor: | clover84 |
Es handelt sich um die gleiche Funktion, nur anstatt der 1 steht die 0 und ich soll nachweisen, dass die Funktion im Punkt (0,0) unstetig ist.
Und da steht nur eine 0 und nichts weiter.
Also müsste, da eigentlich, doch was anderes stehen als die Null damit die Funktion UNSTETIG in (0,0) ist??
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> Es handelt sich um die gleiche Funktion, nur anstatt der 1
> steht die 0 und ich soll nachweisen, dass die Funktion im
> Punkt (0,0) unstetig ist.
>
> Und da steht nur eine 0 und nichts weiter.
Dann wird das mit der Unstetigkeit im Punkt (0,0) nicht gehen.
Du könntest dann die Stetigkeit im Punkt (0,0) zeigen.
> Also müsste, da eigentlich, doch was anderes stehen als die
> Null damit die Funktion UNSTETIG in (0,0) ist??
Ja.
Gruß v. Angela
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