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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] mit Norm ||.||
Beweisen Sie, dass dann die Abbildung f:V [mm] \rightarrow \IR, [/mm] f(x) := ||x|| [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V, stetig ist |
Hoi.
Ich muss ja nun zeigen, dass [mm] \lim_{x\to a}f(x) [/mm] = f(a).
||x|| ist wohl die Betragssummennorm, also [mm] ||x||_1, [/mm] weil da steht ja keine Normzahl.
[mm] \lim_{x \to a} [/mm] ||x|| = [mm] ||\lim_{x \to a\ x} [/mm] || = ||a||
Das ist so natürlich nicht richtig. Ich bin hier ahnungslos.
Kann mir jemand ein paar Tipps reichen?
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Hiho,
also meine Erfahrungen sind eigentlich die, daß wenn nix dransteht, ist mit [mm]||x|| = ||x||_2 [/mm] also die euklidische Standartnorm gemeint...... oder sollst du es Möglicherweise für alle Normen sogar zeigen?
Ich würds über die Grenzwertdefinition zeigen, also z.z.
[mm]\forall \varepsilon \exists n_0 \forall n\ge n_0: |f(x) - f(a)| < \varepsilon[/mm]
Grüße, Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Wehm |
Hallo
> Ich würds über die Grenzwertdefinition zeigen, also z.z.
>
> [mm]\forall \varepsilon \exists n_0 \forall n\ge n_0: |f(x) - f(a)| < \varepsilon[/mm]
Also [mm] $|\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}-\sqrt{a}| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Wie soll ich da jetzt das Episilon wählen?
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Hiho,
nicht [mm] \sqrt{a}, [/mm] das geht nicht, weil a schliesslich selbst ein Vektor ist.
Als Tip: [mm]|f(x) - f(a)|^2 = f^2(x) - 2f(x)f(a) + f^2(a) \le f^2(x) + f^2(a)[/mm]
Zeige nun [mm]f^2(x) + f^2(a) \le \varepsilon^2[/mm], indem du beachtest, daß [mm]x \to a[/mm] gilt,dann hast du aufgrund obiger Gleichungskette die Formel bewiesen.
Gruß,
Gono.
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