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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Do 10.05.2007 | | Autor: | caro5 |
| Aufgabe | Untersuchen sie in welchen Punkten die Funktion f: [mm] \IR\to\IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } x\in\IQ \mbox{} \\ -x, & \mbox{für } x\in \IR\setminus\IQ \mbox{} \end{cases}
[/mm]
stetig bzw. unstetig ist. |
Hallo ihr lieben...
ich habe bei dieser Aufgabe leider ein Problem.
Ich weiss dass ich prüfen muss, ob die Funktion in ihrem Schnittpunkt stetig ist.
Nur erstens: wie mache ich das???
und zweitens: ist das dann alles???
Oder muss ich noch irgendwie beweisen, dass sie an allen anderen Punkten unstetig ist???
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen sie in welchen Punkten die Funktion f:
> [mm]\IR\to\IR[/mm]
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> [mm]f(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } x\in\IQ \mbox{} \\ -x, & \mbox{für } x\in \IR\setminus\IQ \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> stetig bzw. unstetig ist.
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> ich habe bei dieser Aufgabe leider ein Problem.
> Ich weiss dass ich prüfen muss, ob die Funktion in ihrem
> Schnittpunkt stetig ist.
> Nur erstens: wie mache ich das???
> und zweitens: ist das dann alles???
> Oder muss ich noch irgendwie beweisen, dass sie an allen
> anderen Punkten unstetig ist???
Hallo,
Du scheinst ja schon zu ahnen, was es mit dieser Funktion auf sich hat:
sie ist im Punkt 0 stetig und an den anderen Stellen nicht - und beides mußt Du beweisen.
Da Du von "Schnittpunkt" redest, gehe ich davon aus, daß Du Dir schon ein Bildchen gemacht hast mit dem rationalen und dem nicht rationalen Teil der Funktion. Zwei Geraden, die sich im Punkt (0/0) schneiden.
Zum Beweis würde ich das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \vardelta-Kriterium [/mm] nehmen.
Wenn Du Dir eine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um den Funktionswert 0 einzeichnest, erfaßt Du gleich, daß es Dir gelingen wird, eine [mm] \vardelta-Umgebung [/mm] des Argumentes 0 zu finden, so daß deren Bild in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] liegt. Du mußt nur noch das passende [mm] \vardelta [/mm] (in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon) [/mm] finden.
Wenn Du dieselbe Prozedur nun an einer rationalen Stelle versuchst, mißlingt das gründlich: Du findest dort zu jedem Funktionswert f(a) eine [mm] \varepsilon-Umgebung, [/mm] so daß Du mit b so dicht an a heranrücken kannst, wie Du möchtest, trotzdem liegt f(b) außerhalb Deiner Umgebung.
Der Witz hierbei ist die Wahl der [mm] \varepsilon-Umgebung. [/mm] Sie muß klein genug sein.
Nun sind noch die irrationalen Stellen zu untersuchen. Das geht genauso.
Mein Haupttip ist der, Dir vor Beginn der Bemühungen das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \vardelta-Kriterium [/mm] richtig klar zu machen. Dann kann nur noch wenig schiefgehen.
Ah - falls Du das Kriterium überhaupt nicht magst, geht natürlich auch die Variante mit Folgen. Wenn ich es mir recht überlege, ist sie sogar weniger aufwendig.
Für rationales a konstruierst Du eine irrationale Folge, welche gegen a konvergiert und zeigst, daß der Grenzwert der Folge der Funktionswerte nicht f(a) ist. Für irrationales a entsprechend.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Do 10.05.2007 | | Autor: | caro5 |
Vielen vielen lieben Dank für deine Hilfe... mir ist dieses Kriterium schon klar soweit nur in der Anwendung scheitere ich meistens noch ;-(
Aber dank dir, hab ich es jetz hinbekommen... 
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