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| Aufgabe | Sei S [mm] \subset \IR [/mm] abzählbar, sei M [mm] \subset \IN [/mm] und sei [mm] \beta [/mm] : M [mm] \to [/mm] S bijektiv. Sei f : [mm] \IR \to \IR
[/mm]
definiert durch f(x)= [mm] \summe_{k \in \IN ; \beta (k) \le x}^{} 2^{-k}.
[/mm]
Zeigen Sie:
a) f ist rechtsstetig
b) Ist a= [mm] \beta [/mm] (n) für ein n [mm] \in [/mm] M, dann gilt: f(a-)+ [mm] 2^{-n} [/mm] = f(a) |
Bin mal wieder mit dieser Aufgabe total überfordert!
Ich versteh erst gar nicht wie die Funktion denn aussehen soll, geschweige denn, wie ich rechts- oder linksstetigkeit zeige (die def. davon hatten wir schon).
Bei b) hab ich leider genauso wenig Ahnung!
Wär net, wenn mir jemand erklären könnte, was bei dieser Aufgabe überhaupt verlangt ist, bzw. wie man rechtsstetigkeit zeigt!
Lg SirBigMac
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Hallo und guten Morgen,
also Rechtsstetigkeit soll doch heissen, dass fuer alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt:
[mm] \lim_{h\to 0,h>0}f(x+h)=f(x).
[/mm]
Ok, das f(x) haengt doch davon ab, welche Werte [mm] \beta(k) [/mm] groesser oder gleich x sind, und
dies sind abzaehlbar viele Werte. Also:
Fall 1: Es gibt k mit [mm] \beta(k)=x. [/mm] Da [mm] \beta [/mm] bijektiv von M nach S abbildet und M,S abz. sind,
gibt es dann doch ein [mm] \delta [/mm] >0 mit
[mm] (x,x+\delta)\cap S=\emptyset [/mm] (offenes Intervall ist gemeint).
Aber dann ist doch fuer [mm] 0
Uebrigens gilt linksseitige Stetigkeit nicht, gerade die Stellen [mm] x\in [/mm] S sind da Gegenbeispiele.
Zu (b):
Ja genau, das meinte ich schon implizit in der letzten Bemerkung zu (a). Nimm [mm] a=\beta(n), [/mm] dann kommt ja an der Stelle a der Summand [mm] 2^{-n} [/mm] dazu (laut Def. der Funktion f), und fuer alle b<a kommt er noch nicht dazu, also in einer kleinen Umgebung links von a gilt [mm] f(b)=f(a)-2^{-n}.
[/mm]
Viele Gruesse,
Mathias
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