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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Seien X,Y metrische Räume. Zeigen Sie:
Eine Funktion f: [mm] X\to [/mm] Y ist genau dann stetig in [mm] x_{0}\in [/mm] X,
wenn für jedes [mm] \epsilon [/mm] >0 ein [mm] \delta [/mm] >0 existiert, so dass [mm] f(B_{\delta}(x_{0})) \subseteq B_{\epsilon}(f(x_{0})). [/mm] |
Hi!
Mir fehlt mal wieder der Lösungsansatz bei dieser Aufgabe.
Ich hoffe, ihr könnt mich mal wieder auf die richtige Spur bringen.
Schonmal danke im Voraus für die Hilfe!
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Fr 09.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib mal auf, was da [mm] B_{delta} [/mm] und [mm] B_{\epsilon} [/mm] in R oder [mm] R^2 [/mm] bedeutet, dann schreib eure Def. von Stetigkeit auf und vergleiche.
Gru0 leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
es gibt mehrere Möglichkeiten, die Stetigkeit von Funktionen auf metrischen Räumen zu definieren. Die Gleichwertigkeit dieser Definitionen wird dann bewiesen; was also bei dem einen eine Definition ist, ist bei dem anderen ein Satz und umgekehrt.
Um deine Frage beantworten zu können, ist es deshalb notwendig, dass du diejenige Definition angibst, auf die ihr euch bezieht.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 11.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Sorry, dass es solange gedauert hat und schon mal danke, dass ihr mir Tipps gegeben hat. Nur bin ich leider nicht so wirklich weitergekommen.
Ich habe jetzt mal die Definition aufgeschrieben und die lauten wie folgt:
Stetigkeit: [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall x\in [/mm] X : [mm] [d_{x}(x,x_{0})<\delta \Rightarrow d_{y}(f(x),f(x_{0})<\epsilon].
[/mm]
Epsilon-Kugel: [mm] B_{\epsilon}(f(x_{0})) [/mm] := [mm] \{x\in X | d_{y}(f(x),f(x_{0})<\epsilon\}.
[/mm]
Delta-Kugel: [mm] B_{\delta}(x_{0}) [/mm] := [mm] \{x\in X | d_{x}(x,x_{0})<\delta\}.
[/mm]
Soweit so gut. Ich muss ja nun beide Richtungen zeigen. Allerdings bin ich mir nicht ganz im Klaren, wie ich das anstellen soll. Ich hoffe, ihr könnt mir da vielleicht einen Ansatz dazu geben. Wäre echt super.
Schonmal danke im Voraus.
Viele Grüße Petrit!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 So 11.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Ist A eine Teilmenge von X und B eine Teilmenge von Y, so gilt
(x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] f(A) [mm] \subseteq [/mm] B
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi.
Erstmal danke für den Hinweis. Jetzt weiß ich zumindest, was zu zeigen ist.
Ich such mir also einen Punkt x aus der Menge A:=$ [mm] B_{\delta}(x_{0}) [/mm] $ woraus folgt, dass [mm] f(x)\in [/mm] B:=$ [mm] B_{\epsilon}(f(x_{0})) [/mm] $ ist. Dies muss ja nun äquivalent dazu sein, dass f($ [mm] B_{\delta}(x_{0}) [/mm] $) [mm] \subseteq [/mm] $ [mm] B_{\epsilon}(f(x_{0})) [/mm] $. Hierzu nehme ich ja zunächst an, dass f stetig ist. Und dann muss ich mittels der Definition der Stetigkeit und der der [mm] \epsilon [/mm] - bzw. [mm] \delta [/mm] -Kugeln dies zeigen. Allerdings habe ich noch große Schwierigkeiten damit, das richtig aufzuschreiben. Vielleicht kann mir da ja jemand ein bisschen helfen. Wäre echt toll von euch.
Ich bedanke mich schonmal und viele Grüße, Petrit!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Die Frage hat sich erledigt, bin selbst drauf gekommen.
Danke an alle, die sich schon damit beschäftigt hatten!
Gruß Petrit!
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