Stetige, beschränkte Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] C_b(\IR^n) [/mm] der Raum der stetigen beschränkten Funktionen auf [mm] \IR^n.
[/mm]
1.) Sei f [mm] \in C_b(\IR^n) [/mm] mit kompaktem Träger. Beweisen Sie, dass die Abbildung [mm] \IR^n \to C_b(\IR^n), [/mm] y [mm] \mapsto \tau_yf [/mm] stetig ist, wobei [mm] \tau_yf(x) [/mm] := f(x-y) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^n.
[/mm]
2.) Zeigen Sie, dass die Aussage aus Teil 1 falsch sein kann, wenn der Träger von f nicht kompakt ist. |
Hallo,
kann mir jemand bei 1.) helfen? Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.
Edit:
Also meine Lösung zu 1.) wäre folgende:
Definiere [mm] \Phi: \IR^n \to C_b(\IR^n), [/mm] y [mm] \mapsto \tau_yf
[/mm]
Sei [mm] y_n \to [/mm] y für n [mm] \to \infty
[/mm]
Dann folgt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \Phi(y_n)(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \tau_{y_n}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x-y_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x-y) = [mm] \tau_yf(x) [/mm] = [mm] \Phi(y)(x). [/mm] Hier wurde benutzt, dass f stetig ist, aber ich habe nicht benutzt, dass f einen kompakten Träger hat. Wo ist also der Fehler?
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Di 11.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
du willst Konvergenz bzgl. der Supremumsnorm haben, d.h. $ [mm] \| f(\cdot-y_n)-f(\cdot-y)\|_\infty\to [/mm] 0 $.
Dafür ist zu zeigen, dass jede stetige Funktion mit kompektem Träger sogar glm. stetig ist.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:22 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]C_b(\IR^n)[/mm] der Raum der stetigen beschränkten
> Funktionen auf [mm]\IR^n.[/mm]
>
> 1.) Sei f [mm]\in C_b(\IR^n)[/mm] mit kompaktem Träger. Beweisen
> Sie, dass die Abbildung [mm]\IR^n \to C_b(\IR^n),[/mm] y [mm]\mapsto \tau_yf[/mm]
> stetig ist, wobei [mm]\tau_yf(x)[/mm] := f(x-y) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR^n.[/mm]
>
> 2.) Zeigen Sie, dass die Aussage aus Teil 1 falsch sein
> kann, wenn der Träger von f nicht kompakt ist.
>
> Hallo,
>
> kann mir jemand bei 1.) helfen? Ich weiß nicht, wie ich
> anfangen soll.
>
> Edit:
>
> Also meine Lösung zu 1.) wäre folgende:
>
> Definiere [mm]\Phi: \IR^n \to C_b(\IR^n),[/mm] y [mm]\mapsto \tau_yf[/mm]
>
> Sei [mm]y_n \to[/mm] y für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> Dann folgt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \Phi(y_n)(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \tau_{y_n}f(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x-y_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x-y) = [mm]\tau_yf(x)[/mm] =
> [mm]\Phi(y)(x).[/mm] Hier wurde benutzt, dass f stetig ist, aber ich
> habe nicht benutzt, dass f einen kompakten Träger hat. Wo
> ist also der Fehler?
Ergänzend zu meinem Vorredner:
Mit
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \Phi(y_n)(x)[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \tau_{y_n}f(x)[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x-y_n)[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x-y) = [mm]\tau_yf(x)[/mm] = [mm]\Phi(y)(x).[/mm]
hast Du nur die punktweise Konvvergenz von [mm] (\Phi(y_n)) [/mm] gegen [mm] \Phi(y) [/mm] gezeigt, aber nicht die gleichmäßige Konvergenz, also die Konvergenz in der Supremumsnorm.
FRED
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
Danke euch beiden. Die Tipps haben mir geholfen.
|
|
|
|
