Stetige Invertierbarkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Fr 23.11.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Es sei $H$ ein separabler Hilbertraum. Sei [mm] $T\in\mathcal{L}(H,H)$ [/mm] diagonalisierbar und kompakt mit den Eigenwerten [mm] $\left\{\mu_i\right\}$.
[/mm]
Zeige:
[mm] $\lambda [/mm] id-T$ stetig [mm] invertierbar$\Leftrightarrow \lambda\notin\left\{\mu_i\right\}\cup\left\{0\right\}$ [/mm] |
Also [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] habe ich schon hinbekommen.
Jemand ne Idee, wie man [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] zeigen kann?
MfG
mikexx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Sa 24.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]H[/mm] ein separabler Hilbertraum. Sei
> [mm]T\in\mathcal{L}(H,H)[/mm] diagonalisierbar und kompakt mit den
> Eigenwerten [mm]\left\{\mu_i\right\}[/mm].
>
> Zeige:
>
> [mm]\lambda id-T[/mm] stetig invertierbar[mm]\Leftrightarrow \lambda\notin\left\{\mu_i\right\}\cup\left\{0\right\}[/mm]
>
> Also "[mm]\Rightarrow[/mm]" habe ich schon hinbekommen.
>
> Jemand ne Idee, wie man "[mm]\Leftarrow[/mm]" zeigen kann?
Wenn H unendlichdimensionsl ist, so folgt aus der Kompaktheit vonT, dass [mm] (\mu_j) [/mm] eine Nullfolge ist.
Daher ist, weil das Spektrum von T abgesvhlossen ist, das Spektrum von T:
[mm] \sigma(T)=\{ \mu_j: j \in \IN\} \cup \{0\}
[/mm]
FRED
>
>
> MfG
>
> mikexx
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:03 Sa 24.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Das "Problem" ist, dass wir die Begriffe "Spektrum" und "Resolventenmenge" in der Vorlesung nicht eingeführt haben; ich habe mich zwar selbst informiert, was das ist, aber ich weiß nicht, ob ich das so verwenden darf.
Kann man [mm] $(\lambda [/mm] id [mm] -T)^{-1}$ [/mm] auch explizit hinschreiben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 So 25.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Ist es vllt. möglich, daß man [mm] $(\lambda id-T)^{-1}$ [/mm] explizit hinschreiben kann und dann sagen kann, daß es stetig ist?
Ich habe an sowas gedacht:
[mm] $(\lambda id-T)^{-1}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\langle (\lambda-s_i)^{-1}, e_i\rangle e_i$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 So 25.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist es vllt. möglich, daß man [mm](\lambda id-T)^{-1}[/mm]
> explizit hinschreiben kann und dann sagen kann, daß es
> stetig ist?
>
> Ich habe an sowas gedacht:
>
> [mm](\lambda id-T)^{-1}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\langle (\lambda-s_i)^{-1}, e_i\rangle e_i[/mm]
So ist das falsch, denn links steht ein Operator und rechts ein vektor.
Aber Deine Idee ist gut, falls [mm] s_i [/mm] = [mm] \mu_i
[/mm]
Versuchs zu retten.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 So 25.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Ja, es soll [mm] $s_i=\mu_i$ [/mm] sein.
Aber ich kriege es nicht gerettet...
Komme nicht drauf... bin schon seit gestern am Überlegen...
Hm, kannst Du mir vllt. sagen, wie es richtig sein muss? Ich bin nämlich ein bisschen in Zeitverzug.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 So 25.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich krieg es einfach nicht hin die explizite Form hinzuschreiben ;(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Mo 26.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ex. eine ONB [mm] \{u_1,u_2,... \} [/mm] von H mit:
[mm] $Tx=\summe_{j=1}^{\infty}\mu_ju_j$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] H.
Dann ist
[mm] $(\lambda id-T)x=\summe_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)u_j
[/mm]
für alle x [mm] \in [/mm] H.
Wie sieht dann wohl
[mm] (\lambda id-T)^{-1}x [/mm] für $ [mm] \lambda \notin \{ \mu_j:j \in \IN\} \cup\{0\}$
[/mm]
aus ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mo 26.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Okay, daß
[mm] $(\lambda\mbox{id}-T)x=\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)\langle x,u_j\rangle u_j~\forall~x\in [/mm] H$
erkenne ich jetzt auch, denn da [mm] $\left\{u_i\right\}$ [/mm] eine ONB von H ist, kann man jedes [mm] $x\in [/mm] H$ schreiben als
[mm] $x=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\langle x,u_j\rangle u_j$
[/mm]
und demnach ist
[mm] $\lambda\mbox{id}(x)=\lambda x=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\lambda\langle x,u_j\rangle u_j$.
[/mm]
Daraus ergibt sich dann
[mm] $(\lambda\mbox{id}-T)x=\lambda\mbox{id}(x)-Tx=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\lambda\langle x,u_j\rangle u_j-\sum\limits_{j=1}^{\infty}\mu_j\langle x,u_j\rangle u_j=\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)\langle x,u_j\rangle u_j$.
[/mm]
> Wie sieht dann wohl
>
> [mm](\lambda id-T)^{-1}x[/mm] für [mm]\lambda \notin \{ \mu_j:j \in \IN\} \cup\{0\}[/mm]
>
> aus ?
Ist das
[mm] $(\lambda\mbox{id}-T)^{-1}x=\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)^{-1}\langle x,\mu_j\rangle u_j~\forall~x\in [/mm] H$?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mo 26.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay, daß
>
> [mm](\lambda\mbox{id}-T)x=\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)\langle x,u_j\rangle u_j~\forall~x\in H[/mm]
>
> erkenne ich jetzt auch, denn da [mm]\left\{u_i\right\}[/mm] eine ONB
> von H ist, kann man jedes [mm]x\in H[/mm] schreiben als
>
> [mm]x=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\langle x,u_j\rangle u_j[/mm]
>
> und demnach ist
>
> [mm]\lambda\mbox{id}(x)=\lambda x=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\lambda\langle x,u_j\rangle u_j[/mm].
>
> Daraus ergibt sich dann
>
> [mm](\lambda\mbox{id}-T)x=\lambda\mbox{id}(x)-Tx=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\lambda\langle x,u_j\rangle u_j-\sum\limits_{j=1}^{\infty}\mu_j\langle x,u_j\rangle u_j=\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)\langle x,u_j\rangle u_j[/mm].
>
>
> > Wie sieht dann wohl
> >
> > [mm](\lambda id-T)^{-1}x[/mm] für [mm]\lambda \notin \{ \mu_j:j \in \IN\} \cup\{0\}[/mm]
>
> >
> > aus ?
>
> Ist das
>
> [mm](\lambda\mbox{id}-T)^{-1}x=\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)^{-1}\langle x,\mu_j\rangle u_j~\forall~x\in H[/mm]?
>
>
Bingo, bis auf einen Tipfehler:
[mm](\lambda\mbox{id}-T)^{-1}x=\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)^{-1}\langle x,u_j\rangle u_j~\forall~x\in H[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mo 26.11.2012 | | Autor: | mikexx |
>
> [mm](\lambda\mbox{id}-T)^{-1}x=\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)^{-1}\langle x,u_j\rangle u_j~\forall~x\in H[/mm]
>
Jetzt muß man noch zeigen, daß das stetig ist, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mo 26.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> >
> >
> [mm](\lambda\mbox{id}-T)^{-1}x=\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)^{-1}\langle x,u_j\rangle u_j~\forall~x\in H[/mm]
>
> >
>
> Jetzt muß man noch zeigen, daß das stetig ist, oder?
Zunächst solltest Du zeigen, dass die Abb:
x [mm] \to \sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)^{-1}\langle x,u_j\rangle u_j
[/mm]
tatsächlich die Inverse von $ [mm] \lambda [/mm] id-T$ ist.
Die Stetigkeit ergibt sich dann aus dem Satz von der stetigen Inversen.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mo 26.11.2012 | | Autor: | mikexx |
> Zunächst solltest Du zeigen, dass die Abb:
>
> x [mm]\to \sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)^{-1}\langle x,u_j\rangle u_j[/mm]
>
> tatsächlich die Inverse von [mm]\lambda id-T[/mm] ist.
Edit 3: Sorry, wieder einen Tippfehler gemacht, jetzt korrigiert:
Dafür muss ich doch Folgendes zeigen:
(1) [mm] $((\lambda\mbox{id}-T)\circ (\lambda\mbox{id}-T)^{-1})(x)=x$
[/mm]
(2) [mm] $((\lambda\mbox{id}-T)^{-1}\circ (\lambda\mbox{id}-T))(x)=x$ [/mm]
---Zu (1)---
[mm] $((\lambda\mbox{id}-T)\circ (\lambda\mbox{id}-T)^{-1})(x)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)\langle\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)^{-1}\langle x,u_j\rangle u_j,u_j\rangle u_j$
[/mm]
Puh, wie löst man das denn nun auf?
Sieht ja doch sehr monströs aus...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mo 26.11.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hallo, mikexx!
Du musst für die beiden Summen verschiedene Indizes nehmen, da es sich nicht um unabhängige Summen handelt.
Also berechne
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty}(\lambda-\mu_i)\langle\sum\limits_{j=1}^{\infty}(\lambda-\mu_j)^{-1}\langle x,\mu_j\rangle\mu_j,\mu_i\rangle\mu_i$,
[/mm]
bedenke hierbei
[mm] $\langle u_i,u_j\rangle=\begin{cases}0, & \mbox{falls } i\neq j\\1, & \mbox{falls } i=j\end{cases}$.
[/mm]
Du wirst sehen, daß tatsächlich am Ende $x$ herauskommt.
Viele Grüße,
Dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mo 26.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:23 Sa 24.11.2012 | | Autor: | mikexx |
> > Es sei [mm]H[/mm] ein separabler Hilbertraum. Sei
> > [mm]T\in\mathcal{L}(H,H)[/mm] diagonalisierbar und kompakt mit den
> > Eigenwerten [mm]\left\{\mu_i\right\}[/mm].
> >
> > Zeige:
> >
> > [mm]\lambda id-T[/mm] stetig invertierbar[mm]\Leftrightarrow \lambda\notin\left\{\mu_i\right\}\cup\left\{0\right\}[/mm]
>
> >
> > Also "[mm]\Rightarrow[/mm]" habe ich schon hinbekommen.
> >
> > Jemand ne Idee, wie man "[mm]\Leftarrow[/mm]" zeigen kann?
>
> Wenn H unendlichdimensionsl ist, so folgt aus der
> Kompaktheit vonT, dass [mm](\mu_j)[/mm] eine Nullfolge ist.
Okay, das verstehe ich. Wir hatten das in der Vorlesung:
Sei [mm] $T\in\mathcal{L}(H,H)$ [/mm] diagonalisierbar, dann gilt:
$T$ kompakt [mm] $\Leftrightarrow$ $(\lambda_i)$ [/mm] bzgl. einer Orthonormalbasis [mm] $\left\{e_i\right\}$ [/mm] aus [mm] $c_0$.
[/mm]
Das trifft hier alles zu, also ist die Folge der Eigenwerte eine Nullfolge.
> Daher ist, weil das Spektrum von T abgesvhlossen ist
Warum ist es abgeschlossen?
Warum gilt wegen der Abgeschlossenheit, dass das Spektrum
>
> [mm]\sigma(T)=\{ \mu_j: j \in \IN\} \cup \{0\}[/mm]
>
ist?
Achso, weil die Eigenwerte im Spektrum sind, diese bilden, wie gesagt, eine Nullfolge, weil das Spektrum abgeschlossen ist, gehört auch der Grenzwert, hier 0, mit zum Spektrum, so sind abgeschlossene Mengen ja gerade definiert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 26.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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