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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Fr 04.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Gibt es eine stetige Funktion f:R nach R, die jeden Wert auf R
a) genau einmal
b) genau zweimal
c) genau dreimal
abbildet (mit Begründung). |
Meines Erachtens dürfte es nur für a) eine Lösung geben, da es bei b)und c) zwangsläufig zu Minimas, Maximas oder/und nicht definierten Stellen kommen muss. Ich habe allerdings im Internet die Klausur einer anderen Uni gefunden, die gerade nach einem Beispiel für c) fragt, womit ich annehme, dass c) doch eine Lösung haben muss. Mir fällt aber kein Beispiel dazu ein.
Ich bin für jeden Tipp dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Fr 04.01.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Gibt es eine stetige Funktion f:R nach R, die jeden Wert
> auf R
> a) genau einmal
> b) genau zweimal
> c) genau dreimal
> abbildet (mit Begründung).
Ich finde die Aufgabenstellung unklar. Z.B. ist bei b) die Frage, ob man eine stetige [mm] f:\IR\rightarrow\IR [/mm] finden kann, so dass f(a)=b und f(a)=c mit [mm] b\not=c [/mm] für alle [mm] a\in\IR [/mm] - jeder Wert wird auf zwei verschiedene Werte abgebildet. Das wäre aber keine Funktion im mathematischen Sinne.
Wahrscheinlich sucht man aber eine stetige f mit [mm] \forall a\in\IR\exists b\in\IR [/mm] mit f(a)=f(b) und [mm] a\not=b.
[/mm]
In diesem Sinne würden bie a) und b) ganz einfache Polynome niedrigen Grades als Beispiel reichen. Bei c) muss man sich das genauer überlegen.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Sa 05.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Erst Mal danke für die schnelle Reaktion.
Bei Polynomen mit gerader Potenz als letztes habe ich ein Minimum oder Maximum, welches leider nur einen x-Wert bietet.
Bei ungeraden Potenzen taucht jeder y-Wert nur einmal auf. Daher glaube ich nicht, dass dies die richtige Antwot sein kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Sa 05.01.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
Was bedeutet die Aufgabenstellung?
Ich verstehe a) etwa so:
- gebe eine stetige f an mit [mm] \Bild(f)=\IR.
[/mm]
Mit f=id=Identität ist man fertig. id ist insbesondere ein Polynom.
Ich habe schon erklärt was ich unter b) verstehe, und dazu wäre [mm] x^{2} [/mm] eine Lösung.
Wenn du die Aufgabenstellung anders auffasst, dann tiele das bitte mit.
> Bei Polynomen mit gerader Potenz als letztes habe ich ein
> Minimum oder Maximum, welches leider nur einen x-Wert
> bietet.
Man hat nur einen x-Wert zur Verfügung, wenn ich mich so ausdrücken darf. Die Definition von einer Funktion ist, dass sobald man einen x-Wert festgelegt hat, dann liefert sie einen y-Wert, der für dieses x immer derselbe ist, d.h. f(a)=b und f(a)=c ist keine Funktion für den Fall, dass [mm] b\not=c.
[/mm]
> Bei ungeraden Potenzen taucht jeder y-Wert nur einmal auf.
> Daher glaube ich nicht, dass dies die richtige Antwot sein
> kann.
Das stimmt nicht. Betrachte [mm] x^{3}+x^{2} [/mm] auf [-1;1]. Andererseits kriegt man das auf ganz [mm] \IR [/mm] nicht hin. Die Begründung darfst du dir überlegen.
Gruß,
dormant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:17 Sa 05.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
x² besitzt allerdings ein Minimum bei x=0, also einen y-Wert, der nur einmal vorkommt. Laut der Aufgabenstellung sollen aber alle y-Werte doppelt vorkommen, womit x² keine Lösung für b) sein kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Sa 05.01.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
Was für Eigenschaften soll die Funktion, die in b) gesucht genau haben?
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Sa 05.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Für b): Gesucht ist eine stetige Funktion mit x aus R, wo jeder y-Wert 2 mal vorkommen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Sa 05.01.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich schreib's zum dritten und letzten Mal:
So was:
> Für b): Gesucht ist eine stetige Funktion mit x aus R, wo
> jeder y-Wert 2 mal vorkommen soll.
Gibt es nicht.
Oder gib mir bitte ein Beispiel, bei dem ein "y-Wert" mehr als ein Mal für verschiedene x vorkommt.
Gruß,
dormant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ich denke mal, dass es so gemeint ist, dass es für alle [mm] c\in \IR [/mm] genau ein/zwei/drei x gibt mit f(x)=c, denn nur so macht die ganze Aufgabe für mich Sinn.
a) wäre dann trivial, denn f(x)=x ist stetig und für alle c gibt es nur genau ein x (nämlich x=c) mit f(x) = c.
b) ist nicht machbar, denn dafür müsste die Funktion nicht stetig sein. Der Beweis dafür ist nicht ganz trivial, aber trotzdem machbar mit einfachen Mitteln. Ein Tipp: Man muss den Zwischenwertsatz öfter mal benutzen, sowie, dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall Minima und Maxima annimmt.
Wegen euren Vorschlägen mit z.b. [mm] f(x)=x^2. [/mm] Diese Funktion hat für c < 0 kein [mm] x\in \IR [/mm] mit f(x)=c und für c = 0 nur eins.
c) hier kann man relativ leicht Funktionen angeben, die die Bedingungen erfüllen. Wir brauchen ja eine Funktion die stetig ist und jedes Niveau genau drei mal annimmt. Dazu kann man sich einfach bei schon bekannten Funktionen bedienen, z.b. bei [mm] f(x)=x^3-x. [/mm] Diese Funktion erfüllt ja in einem Bereich um die Null drumrum die Bedingungen - man muss nur noch geschickt "zerscheiden" und wieder "zusammensetzen", um diese Eigenschaft auf ganz [mm] \IR [/mm] fortzusetzen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:27 Sa 05.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für die Antwort Merle :)
a) und b) bekomm ich hin, denk ich mal. Ich weiß nur noch nicht so ganz, wie ich die Funktion so zerstückeln und wieder zusammensetzen kann, dass sie immer noch stetig ist, aber deren Minimum und Maximum verliert und die Eigenschaft mit den y-Werten sich auf die ganze Funktion ausweitet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Mo 07.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Punkt A liege irgendwo auf dem Graphen von f. Da jeder FktWert doppelt vorkommen soll,gibt es einen weiteren Punkt B mit dem selben y-Wert, der in gleicher Höhe liegt. Er liege rechts von A, sonst vertauschen wir die beiden Bezeichnungen.
Von A aus gehen wir ein Stückchen nach rechts auf B zu, ohne B zu erreichen. Da der Graph nur zwei mal in Höhe von A und B liegt, befinden wir uns jetzt auf einer anderen Höhe, z.B. oberhalb von A und B im Punkte C. Wegen der Stetigkeit gilt nach dem Zwischenwertsatz, dass über dem Intervall zwischen A und C ein Punkt D auf dem Graphen liegen muss, dessen Höhe zwischen der von A und C liegt. Aus demselben Grund muss es zwischen C und B nochmals ein Punkt E in dieser Höhe geben, da der Graph sonst nicht zurück von C nach B kann. Da jeder Wert nur zwei mal vorkommen kann, kann es einen weiteren Wert in der Höhe D-E , z.B. links von A oder rechts von B, nicht geben.
Im Intervall zwischen D und E nimmt nun der Graph wegen der Stetigkeit von f sein Maximum an, und zwar in F (theoretisch könnte F mit C übereinstimmen).
Nun gilt: Für F gibt es keinen 2. Partner auf gleicher Höhe:
Fährt man den Graphen links von A nach links ab, kann dieser die Höhe von D-E nicht mehr erreichen, weil diese Höhe schon mit zwei Punkten besetzt ist, und daher auch nicht diese Höhenlinie durchdringen. Fährt man ihn nach rechts ab, ist das ebenfalls so.
Im Intervall zwischen A und B geht das auch nicht: Gäbe es dort einen Partner [mm] (F_1 [/mm] z.B. rechts davon) auf gleicher Höhe, so müssten alle Punkte zwischen diesen tiefer liegen, da sie nicht gleich hoch liegen dürften (nur 2 sind erlaubt) und nicht höher liegen könnten (F ist maximal). Wegen der Stetigkeit von f sind aber schon links von F und rechts von [mm] F_1 [/mm] alle Höhen einmal belegt, sie würden vom Graphen zwischen F und [mm] F_1 [/mm] nochmals belegt werden, was nicht erlaubt ist.
Also existiert keine solche Funktion.
Bemerkung: Die Beschränkung auf irgendwelche Intervalle [mm] \not=\IR [/mm] für x ist nicht erlaubt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Sa 05.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke HJKweseleit, hab alles prima verstanden :)
Jetzt bleibt nur noch c) zu klären. Da hab ich noch so meine Probleme.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Sa 05.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Merle, deine Idee für c) klingt ganz gut. Es hapert nur leider etwas an der Umsätzung ^^
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Wie wär's mit [Dateianhang nicht öffentlich].
Jeder grüne und jeder rote Punkt kommt jeweils 3 mal in gleicher Höhe vor.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:44 So 06.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Das sieht ganz gut.
Reicht der Graf als Antwort aus oder brauche ich da noch eine Funktionsgleichung?
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Im Prinzip ja. Es ist schwierig, die angegebene Fkt. z.B. mit Hilfe der sin-Fkt.-k*x zu definieren, weil sich Hoch- und Tiefpunkte ungünstig verschieben.
Einfacher ist folgende Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] f(x)=\begin{cases} -2x+3k, & \mbox{für 2k } < x \le \mbox{ 2k+1 } \\ x-3-3k, & \mbox{für 2k+1 } < x \le \mbox{ 2k+2 } \end{cases}
[/mm]
mit k [mm] \in \IZ
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 So 06.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Vielen, vielen Dank, damit hab ich jetzt alles, was ich brauche. :)
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