Stetige Funktionen! < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Do 18.12.2008 | | Autor: | Mary1986 |
| Aufgabe | | Seien f,g :[mm]\IR --> \IR[/mm] stetige Funktionen mit f(x)=g(x) für alle [mm]x \in \IQ [/mm]. Zeigen Sie: Dann gilt auch f(x)=g(x) für alle [mm]x \in \IR [/mm]. |
Hallo Ihr
So, irgendwie steh ich entweder auf dem Schlauch, oder die Aufgabe ist tatsächlich so einfach. Die rationalen Zahlen, sind doch durch einen Bruch der Form ganze/natürliche Zahl definiert oder? Damit muss ich doch dann nur noch zeigen, dass x element der Irrationalen Zahlen ist oder? Oder reicht es sogar wenn ich einfach das Delta-Kriterium hinschreibe? Ich mein irgendwie ist es doch logisch, dass das zweite Argument gilt... schließlich kann ich eine stetige Funktion ohne absetzten des Stiftes zeichenen, d.h. wenn x in einer Teilmenge von R enthalten ist dann ist es auch in ganz R enthalten, oder?
Wie schreib ich dann denn jetzt mathematisch auf?
Viele liebe Grüße
Mary
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Do 18.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich glaube Du hast nicht ganz verstanden, worum es geht.
Du hast 2 stetige Funktionen, die auf den rationalen Zahlen übereinstimmen. Zeigen sollst Du, dass sie auf den reellen Zahlen übereinstimmen.
Nimm also ein [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Zu zeigen ist: [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] g(x_0)
[/mm]
Jetzt kommt das Entscheidende: es gibt eine Folge [mm] (r_n) [/mm] rationaler Zahlen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}r_n [/mm] = [mm] x_0.
[/mm]
Was tut dann [mm] (f(r_n)) [/mm] und was tut [mm] (g(r_n)) [/mm] ?? (Stetigkeit nicht vergessen !!)
FRED
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