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Forum "Stetigkeit" - Stetige Funktion
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Stetige Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Mo 02.12.2013
Autor: Idefix_2013

Aufgabe
y= [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm] (-1<x<1)

Ist diese Funktion an den Stellen [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=-1 [/mm] stetig, ist sie dort auch differenzierbar?

Hallo miteinander,

also ich habe schonmal herausgefunden, dass sie an diesen Stellen nicht differenzierbar ist, da f'(1)= undefiniert und f'(-1)= undefiniert.

Stimmt das?

Und wie kann ich die Stetigkeit an diesen Stellen prüfen?

Vielen, vielen Dank!

        
Bezug
Stetige Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Mo 02.12.2013
Autor: reverend

Hallo Idefix,

da stimmt doch generell etwas nicht.

> y= [mm]\wurzel{1-x^{2}}[/mm] (-1<x<1)

Die Funktion ist doch nur im Intervall $(-1;1)$ definiert. Dazu gehören insbesondere x=-1 und x=+1 nicht.
Stimmt denn die Aufgabenstellung so?

> Ist diese Funktion an den Stellen [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{2}=-1[/mm]
> stetig, ist sie dort auch differenzierbar?

So wie oben definiert, stellen sich beide Fragen überhaupt nicht. Aber selbst wenn das abgeschlosse Intervall $[1;-1]$ genommen wird, sind die beiden Fragen nicht so unglaublich sinnvoll...

> also ich habe schonmal herausgefunden, dass sie an diesen
> Stellen nicht differenzierbar ist, da f'(1)= undefiniert
> und f'(-1)= undefiniert.
> Stimmt das?

Ja, das stimmt sowohl auf dem offenen als auch auf dem abgeschlossenen Intervall.
  

> Und wie kann ich die Stetigkeit an diesen Stellen prüfen?

Na, wie ist denn Stetigkeit definiert? Von dieser Definition brauchst hier nur etwa die Hälfte. ;-)

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Stetige Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Mo 02.12.2013
Autor: Idefix_2013

Ja, die Aufgabenstellung ist genau so! Ich habe mich auch schon etwas gewundert!

Also,

1. f muss in [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=-1 [/mm] einen Grenzwert haben
2. [mm] \limes_{x\rightarrow x_{1/2}}=f(x_{1/2}) [/mm]

da, f dort keinen Grenzwert hat ist es nicht stetig?

Also, weder differenzierbar, noch stetig? Stimmt das?

Vielen Dank!

Bezug
                        
Bezug
Stetige Funktion: drastischer
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Mo 02.12.2013
Autor: Loddar

Hallo Idefix!


Es geht viel schneller (wenn denn die Aufgabenstellung so stimmt / gemeint ist):


Für [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -1$ und [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +1$ ist $f_$ nicht definiert.

[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Demnach kann $f_$ an diesen Stellen auch nicht stetig sein.

[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Ohne Stetigkeit gibt es selbstverständlich auch keine Differenzierbarkeit an diesen Stellen.


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Stetige Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:37 Di 03.12.2013
Autor: fred97


> y= [mm]\wurzel{1-x^{2}}[/mm] (-1<x<1)
>  
> Ist diese Funktion an den Stellen [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{2}=-1[/mm]
> stetig, ist sie dort auch differenzierbar?


Ich gehe davon aus, dass sich der Aufgabensteller verschrieben hat under Def.-Bereich das Intervall [-1,1]  ist.


>  Hallo miteinander,
>  
> also ich habe schonmal herausgefunden, dass sie an diesen
> Stellen nicht differenzierbar ist, da f'(1)= undefiniert
> und f'(-1)= undefiniert.

Ja, aber wo sind die Begründungen hierfür


>  
> Stimmt das?
>  
> Und wie kann ich die Stetigkeit an diesen Stellen prüfen?

Zeige:  für [mm] x_0 \in \{-1,1\} [/mm] gilt:

[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) [/mm]

FRED

>  
> Vielen, vielen Dank!


Bezug
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