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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Sa 25.06.2011 | | Autor: | WWatson |
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine stetige Funktion mit: f(x+y) = f(x) + f(y) für alle x,y [mm] \in \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass dann f(x) = f(1)*x für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt.
Hinweis: Zeigen Sie die Aussage erst für x [mm] \in \IN, [/mm] x [mm] \in \IZ [/mm] und x [mm] \in \IQ. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hänge gerade an dieser Aufgabe und habe überhaupt keine Idee, wie ich dabei ansetzen soll. Ich weiß einfach nicht, wie ich die Voraussetzungen anwenden soll, um die Behauptung zu beweisen.
Kann mir vielleicht jemand einen Hinweis geben?
Gruß,
WWatson
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Hallo WWatson,
> Sei f : [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine stetige Funktion mit: f(x+y) = f(x)
> + f(y) für alle x,y [mm]\in \IR.[/mm] Zeigen Sie, dass dann f(x) =
> f(1)*x für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt.
>
> Hinweis: Zeigen Sie die Aussage erst für x [mm]\in \IN,[/mm] x [mm]\in \IZ[/mm]
> und x [mm]\in \IQ.[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich hänge gerade an dieser Aufgabe und habe überhaupt
> keine Idee, wie ich dabei ansetzen soll. Ich weiß einfach
> nicht, wie ich die Voraussetzungen anwenden soll, um die
> Behauptung zu beweisen.
> Kann mir vielleicht jemand einen Hinweis geben?
Na, der steht doch schon in der Aufgabenstellung.
Zeige die Aussage zunächst mal für [mm] $x=n\in\IN$
[/mm]
Dazu kannst du eine Induktion machen.
$n=2$: [mm] $f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2\cdot{}f(1)$ [/mm] --> passt
IS: [mm] $n\to [/mm] n+1$ ...
Dann dehne es auf [mm] $\IZ$ [/mm] aus und auf [mm] $\IQ$.
[/mm]
Beachte [mm] $x\in\IQ \Rightarrow x=\frac{m}{n}=m\cdot{}\frac{1}{n}$
[/mm]
Wie kommst du dann von [mm] $\IQ$ [/mm] auf [mm] $\IR$?
[/mm]
Wie war das mit den reellen Zahlen als GW rationaler Folgen?
>
> Gruß,
>
> WWatson
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Sa 25.06.2011 | | Autor: | WWatson |
Hallo, schachuzipus,
also, die Induktion mit den natürlichen Zahlen habe ich gemacht.
Für eine ganze Zahl a gilt ja, dass sie sich als Differenz von zwei Zahlen x und y [mm] \in \IN [/mm] darstellen lässt.
Also folgt: f(x-y)=f(x)-f(y)=x*f(1)-y*f(1) wegen der für [mm] \IN [/mm] bewiesenen Aussage.
Ich weiß allerdings nicht genau, wie ich für q [mm] \in \IQ [/mm] vorgehen soll.
Ich habe bisher: Sei q [mm] \in \IQ [/mm] mit [mm] q=\bruch{a}{b} [/mm] mit a,b [mm] \in \IZ. [/mm]
Dann gilt: f(q) = [mm] a*f(\bruch{1}{b}). [/mm] Ich weiß allerdings nicht, wie ich jetzt die Funktion mit [mm] \bruch{1}{b} [/mm] weiter auseinanderziehen kann mit meinen Voraussetzungen.
Kann ich dann für den Übergang von [mm] \IQ [/mm] nach [mm] \IR [/mm] einfach irgendeine rationale Folge betrachten und die Vorüberlegungen übertragen, indem ich den Limes davon betrachte, der ja dann eine reelle Zahl ist?
Gruß
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Moin,
> Ich weiß allerdings nicht genau, wie ich für q [mm]\in \IQ[/mm]
> vorgehen soll.
Sei [mm] =\frac{m}{n}\in\IQ.
[/mm]
Dann gilt [mm] m*f(1)=f(m)=f(n*\frac{m}{n})=n*f(\frac{m}{n})
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 25.06.2011 | | Autor: | WWatson |
Hallo, kamaleonti,
OK, das kann ich nachvollziehen, vielen Dank! Aber nochmal zu meiner obigen Frage mit dem Übergang von [mm] \IQ [/mm] auf [mm] \IR: [/mm] Kann ich da so vorgehen?
Gruß
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> Hallo, kamaleonti,
>
> OK, das kann ich nachvollziehen, vielen Dank! Aber nochmal
> zu meiner obigen Frage mit dem Übergang von [mm]\IQ[/mm] auf [mm]\IR:[/mm]
> Kann ich da so vorgehen?
Jo.
Den Übergang von [mm] \IQ [/mm] nach [mm] \IR [/mm] liefert dir die Voraussetzung, dass die Funktion f stetig ist:
Sei [mm] p\in\IR\backslash\IQ. [/mm] Dann kannst du argumentieren, dass es eine Folge [mm] q_n [/mm] rationaler Zahlen gibt, die gegen p konvergiert (zum Beispiel bei jedem Folgenglied eine Dezimalstelle von p dazunehmen). Wegen der Stetigkeit folgt dann [mm] $f(q_n)\to [/mm] f(p), [mm] n\to\infty$ [/mm] ...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Sa 25.06.2011 | | Autor: | WWatson |
Alles klar, vielen Dank nochmal!
Gruß
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