Stetige Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Do 18.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
Es seien f,g: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] stetige Funktionen mit f(x) < g(x) für alle x [mm] \in [/mm] [0,1]. Dann gibt es ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so dass sogar f(x) + [mm] \varepsilon \le [/mm] g(x) für alle x [mm] \in [/mm] [0,1] gilt. |
Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Aussage stimmt.
Ich würde jetzt sagen, dass ich als [mm] \varepsilon [/mm] den kleinsten Abstand zwischen den Funktionswerten annehme, also min d(f,g) innerhalb dieses Intervalls. Diesen Abstand gibt es ja auf jeden Fall und dann sollte das auch hinhauen, aber was will ich dann weiter dazu sagen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Do 18.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
2h als Zeitraum für eine Antwort ist ein bischen wenig...
> Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
>
> Es seien f,g: [0,1] [mm]\to \IR[/mm] stetige Funktionen mit f(x) <
> g(x) für alle x [mm]\in[/mm] [0,1]. Dann gibt es ein [mm]\varepsilon[/mm] >
> 0, so dass sogar f(x) + [mm]\varepsilon \le[/mm] g(x) für alle x [mm]\in[/mm]
> [0,1] gilt.
> Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Aussage stimmt.
> Ich würde jetzt sagen, dass ich als [mm]\varepsilon[/mm] den
> kleinsten Abstand zwischen den Funktionswerten annehme,
> also min d(f,g) innerhalb dieses Intervalls. Diesen Abstand
> gibt es ja auf jeden Fall und dann sollte das auch
> hinhauen, aber was will ich dann weiter dazu sagen?
Zunächst einmal müsstest du erklären, warum der Abstand nicht 0 werden kann, also warum das Minimum des Abstands
[mm] \min_{x\in[0,1]} g(x)-f(x) [/mm]
existiert und größer als 0 ist. Wenn du das begründet hast, kannst du die Minimum einfach als [mm] $\varepsilon$ [/mm] wählen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Do 18.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
Das ist ja klar, dass der Abstand nicht 0 werden kann, da g(x) > f(x). Ich weiß bloß nicht, was ich dann mit diesem [mm] \varepsilon [/mm] weiter mache. Wie beweise ich, dass f(x) + mein definiertes [mm] \varepsilon \le [/mm] g(x) ist?
Sorry wegen des Zeitraums, bin spät dran...
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> Das ist ja klar, dass der Abstand nicht 0 werden kann, da
> g(x) > f(x). Ich weiß bloß nicht, was ich dann mit diesem
> [mm]\varepsilon[/mm] weiter mache. Wie beweise ich, dass f(x) + mein
> definiertes [mm]\varepsilon \le[/mm] g(x) ist?
>
> Sorry wegen des Zeitraums, bin spät dran...
Hallo
wenn g(x) > f(x), dann ist wie du sagst der Abstand [mm] \not= [/mm] 0
Dann hast du einen Abstand, der grösser als 0 ist, welches irgendwo minimal wird. Jetzt kannst du diesen minimalen Abstand als dein [mm] \varepsilon [/mm] nehmen.
An dieser Stelle, wo der minimale Abstand gerade der Abstand ist, giltet für f(x) + [mm] \varepsilon \le [/mm] g(x) genau die Gleichung, sonst die Ungleichung...
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Fr 19.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das ist ja klar, dass der Abstand nicht 0 werden kann, da
> g(x) > f(x).
Nein, das reicht nicht aus. Du musst zeigen, dass es eine positive untere Schranke [mm] $\varepsilon$ [/mm] gibt. Gegenbeispiel: $f(x) = x$, [mm] $g(x)=\sqrt(x)$ [/mm] auf dem offenen Interval $]0,1[$. Es ist im gesamten Intervall $f(x) < g(x)$, trotzdem existiert das genannte Minimum nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Fr 19.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Setze h(x) = g(x)-f(x)
Dann: h(x) >0 für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1], h ist stetig auf [0,1] und [0,1] ist kompakt.
Ein Satz, den Ihr sicher hattet, besagt nun: es ex. [mm] x_0 \in [/mm] [0,1] mit
[mm] h(x_0) \le [/mm] h(x) für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1].
Somit:
f(x) [mm] +h(x_0) \le [/mm] g(x) für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1].
Weiter ist [mm] \varepsilon [/mm] := [mm] h(x_0) [/mm] > 0
FRED
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